Sind die Aussagen
xR:yR:xy=0\forall x\in\mathbb{R}:\exists y \in \mathbb{R}:x-y=0 und
xR:yR:xy=0\exists x \in\mathbb{R} : \forall y \in\mathbb{R}: x-y = 0 äquivalent?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen:Quantoren

Betrachten wir die Aussagen genauer: Also für jede reelle Zahl xx gibt es eine reelle Zahl yy, sodass die Differenz der beiden 00 ist: Es existiert somit ein yy für jedes xx. Also ist die Aussage wahr. \blacksquare
Die zweite Aussage xR:yR:xy=0\exists x \in\mathbb{R} : \forall y \in\mathbb{R}: x-y = 0 besagt, dass es eine reelle Zahl xx gibt, zu der alle reellen Zahlen yy die Differenz 00 haben. Dies ist definitiv falsch, da, angenommen es gäbe so eine Zahl xx, so müsste für ein yRy\in \mathbb{R} auch y1y-1 (da dies dann auch eine reelle Zahl ist) Differenz 00 zu xx haben. Wenn man aber x(y1)=0x-(y-1)=0 und xy=0x-y=0 nach xx auflöst, so erhält man zwei unterschiedliche Werte für dieses und damit einen Widerspruch. \blacksquare
Somit sind die beiden Aussagen auch nicht äquivalent. \blacksquare