Aufgaben zum Thema Beweise

1
Formuliere folgende Aussagen mit Quantoren:
1. Die Differenz von 1 und allen natürlichen Zahlen, die größer als 15 sind, ist kleiner als −14.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Beweise
  Die Lösung lautet:
  Also: Für alle $n\geq 16$ soll gelten: $1-n<-14$ .
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2. Jede reelle Zahl $x$ hat ein multiplikatives Inverses, also eine Zahl $y$ mit $x⋅y=1$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Beweise
  Die Lösung lautet:
  $\forall x\in\mathbb{R}:\exists y\in\mathbb{R}:\ x\cdot y=1$ $$
  $$ Also: Für jede reelle Zahl $x$ gibt es also ein reelles $y$ , sodass $x\cdot y=1$ .
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3. Es gibt eine gerade Primzahl. (Hierbei kann der Operator $\mid$ verwendet werden: für zwei ganze Zahlen $a$ und $b$ gilt $a \mid b$ genau dann, wenn $a$ Teiler von $b$ ist.)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Beweise
  Die Lösung lautet:
  Also: Es gibt eine natürliche Zahl $p$ , deren Doppeltes $2p$ (welches natürlich gerade ist) keine Zahl von $2$ bis $2p-1$ teilt (trivial ist, dass $1$ sie und sie sich selber teilt).
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2
Sind die Aussagen
$\forall x\in\mathbb{R}:\exists y \in \mathbb{R}:x-y=0$ und
$\exists x \in\mathbb{R} : \forall y \in\mathbb{R}: x-y = 0$ äquivalent?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Beweise
Betrachten wir die Aussagen genauer: Also für jede reelle Zahl $x$ gibt es eine reelle Zahl $y$ , sodass die Differenz der beiden $0$ ist: Es existiert somit ein $y$ für jedes $x$ . Also ist die Aussage wahr. $\blacksquare$
Die zweite Aussage $\exists x \in\mathbb{R} : \forall y \in\mathbb{R}: x-y = 0$ besagt, dass es eine reelle Zahl $x$ gibt, zu der alle reellen Zahlen $y$ die Differenz $0$ haben. Dies ist definitiv falsch, da, angenommen es gäbe so eine Zahl $x$ , so müsste für ein $y\in \mathbb{R}$ auch $y-1$ (da dies dann auch eine reelle Zahl ist) Differenz $0$ zu $x$ haben. Wenn man aber $x-(y-1)=0$ und $x-y=0$ nach $x$ auflöst, so erhält man zwei unterschiedliche Werte für dieses und damit einen Widerspruch. $\blacksquare$
Somit sind die beiden Aussagen auch nicht äquivalent. $\blacksquare$
3
Folgende Aussagen gelten:
(1) Jeder Student will gute Noten haben.
(2) Kein Student lernt auf langweilige Prüfungen.
(3) Jede Prüfung, die ohne Mathe auskommt, ist langweilig.
(4) Jeder Student, der gute Noten haben will, aber nichts gelernt hat, muss sich nur auf sein Glück verlassen.
Beweise: Wenn alle Prüfungen ohne Mathe auskommen, müssen sich alle Studenten nur auf Ihr Glück verlassen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Beweise
Folgendes ist zu zeigen:
Alle Prüfungen kommen ohne Mathe aus.
$\Rightarrow$ Alle Studenten müssen sich nur auf ihr Glück verlassen.
Annahme: Alle Prüfungen kommen ohne Mathe aus.
$\overset{(3)}\Rightarrow\,\,$ Alle Prüfungen sind langweilig.
$\overset{(2)}\Rightarrow\,\,$ Kein Student lernt (auf irgendeine Prüfung).
$\overset{(1),\,(4)}\Rightarrow\,\,$ Jeder Student muss sich nur auf sein Glück verlassen.
Insgesamt wurde somit gezeigt:
Wenn alle Prüfungen ohne Mathe auskommen, dann müssen sich alle Studenten nur auf Ihr Glück verlassen.
4
Zeige mit vollständiger Induktion, dass $\sum\limits_{k=1}^n{k} ~=~ \frac{n\cdot(n+1)}{2}$ gilt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Beweise
Behauptung: $\sum\limits_{k=1}^n{k}=\frac{n\cdot(n+1)}{2}$
Induktionsanfang: Die Behauptung gilt für $n=1$ . Denn es ist

Induktionsschritt: Vorausgesetzt ist, dass die Behauptung für $n$ gilt. Dann gilt für $n+1$ :
5
Beweise durch vollständige Induktion: für alle $n \in \mathbb{N}_0$ ist 13 ein Teiler von $s(n) := 4^{2n+1} + 3^{n+2}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: vollständige Induktion
Da $n \in \mathbb{N}_0$ ist der Induktionsanfang bei $n = 0$ :
$13\mid4^{2\cdot0+1}+3^{0+2}=4+9=13^{ }$
Darauf folgt der Induktionsschluss mit $n \rightarrow n + 1$ :
$13 \mid 4^{2n + 3} + 3^{n + 3}$
$13 \mid 16 \cdot 4^{2n + 1} + 3 \cdot 3^{n + 2}$
$13 \mid 13 \cdot 4^{2n + 1} + 3 \cdot 4^{2n + 1} + 3 \cdot 3^{n + 2}$
$13 \mid 13 \cdot 4^{2n + 1} + 3 \cdot (4^{2n + 1} + 3^{n + 2})$
Diese Summe ist durch 13 teilbar, da beide Summanden durch 13 teilbar sind. Beim ersten Summanden ist dies der Fall, da der Faktor 13 explizit davor steht. Der zweite Summand lässt sich durch 13 teilen, da er rechte Faktor gleich dem Induktionsanfang ist.
6
Gegeben sei ein Parkett aus 1x4 und 2x2-Stücken. Nun geht ein 1×4-Stück kaputt und wir haben keins mehr im Lager. Daher ersetzen wir es durch ein 2×2-Stück und versuchen, die Ausgangsform wiederherzustellen (die Teile sind noch nicht festgeklebt, können also beliebig umgeordnet werden).
Geht das immer, also für beliebig geformte Flächen, oder nur für gewisse (welche?), oder vielleicht gar nie?
7
Gib für die Aussage $\neg (\exists x ∈ \mathbb{Z} : x^2 = 5)$ eine äquivalente Aussage an, die keinen Existenzquantor enthält (Allquantoren sind erlaubt).
8
Wie lautet die Verneinung von "Alle Kreter sind Lügner“?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Beweise
"Es gibt einen Kreter, der kein Lügner ist."
9
Zeige durch Kontraposition: Wenn die Zahlen $a$ und $b$ verschieden sind, dann ist ihr Mittelwert $(a+b)/2$ von $a$ verschieden. (Dasselbe gilt dann natürlich auch für $b$ .)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Beweise
Du möchtest Folgendes zeigen:
Statt $A \Rightarrow B$ zeigst du $\neg B \Rightarrow \neg A$ :
Kontraposition bedeutet: Anstatt $A⇒B$ direkt zu zeigen, beweist du die äquivalente Aussage $\neg B \Rightarrow \neg A$ .

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

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