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Aufgaben zum Thema Beweise

  1. 1

    Formuliere folgende Aussagen mit Quantoren:

    1. Die Differenz von 1 und allen natĂŒrlichen Zahlen, die grĂ¶ĂŸer als 15 sind, ist kleiner als −14.

    2. Jede reelle Zahl xx hat ein multiplikatives Inverses, also eine Zahl yy mit x⋅y=1x⋅y=1.

    3. Es gibt eine gerade Primzahl. (Hierbei kann der Operator ∣\mid verwendet werden: fĂŒr zwei ganze Zahlen aa und bb gilt a∣ba \mid b genau dann, wenn aa Teiler von bb ist.)

  2. 2

    Sind die Aussagen

    ∀x∈R:∃y∈R:x−y=0\forall x\in\mathbb{R}:\exists y \in \mathbb{R}:x-y=0 und

    ∃x∈R:∀y∈R:x−y=0\exists x \in\mathbb{R} : \forall y \in\mathbb{R}: x-y = 0 Ă€quivalent?

  3. 3

    Folgende Aussagen gelten:

    (1) Jeder Student will gute Noten haben.

    (2) Kein Student lernt auf langweilige PrĂŒfungen.

    (3) Jede PrĂŒfung, die ohne Mathe auskommt, ist langweilig.

    (4) Jeder Student, der gute Noten haben will, aber nichts gelernt hat, muss sich nur auf sein GlĂŒck verlassen.

    Beweise: Wenn alle PrĂŒfungen ohne Mathe auskommen, mĂŒssen sich alle Studenten nur auf Ihr GlĂŒck verlassen.

  4. 4

    Zeige mit vollstĂ€ndiger Induktion, dass ∑k=1nk = n⋅(n+1)2\sum\limits_{k=1}^n{k} ~=~ \frac{n\cdot(n+1)}{2} gilt.

  5. 5

    Beweise durch vollstĂ€ndige Induktion: fĂŒr alle n∈N0n \in \mathbb{N}_0 ist 13 ein Teiler von s(n):=42n+1+3n+2s(n) := 4^{2n+1} + 3^{n+2}.

  6. 6

    Gegeben sei ein Parkett aus 1x4 und 2x2-StĂŒcken. Nun geht ein 1×4-StĂŒck kaputt und wir haben keins mehr im Lager. Daher ersetzen wir es durch ein 2×2-StĂŒck und versuchen, die Ausgangsform wiederherzustellen (die Teile sind noch nicht festgeklebt, können also beliebig umgeordnet werden).

    Geht das immer, also fĂŒr beliebig geformte FlĂ€chen, oder nur fĂŒr gewisse (welche?), oder vielleicht gar nie?

  7. 7

    Gib fĂŒr die Aussage ÂŹ(∃x∈Z:x2=5)\neg (\exists x ∈ \mathbb{Z} : x^2 = 5) eine Ă€quivalente Aussage an, die keinen Existenzquantor enthĂ€lt (Allquantoren sind erlaubt).

  8. 8

    Wie lautet die Verneinung von "Alle Kreter sind LĂŒgner“?

  9. 9

    Zeige durch Kontraposition: Wenn die Zahlen aa und bb verschieden sind, dann ist ihr Mittelwert (a+b)/2(a+b)/2 von aa verschieden. (Dasselbe gilt dann natĂŒrlich auch fĂŒr bb.)


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