Beschreibung zu den Testaufgaben

Aufgaben

Berechne die Fläche des Dreiecks. Schiebe dazu die blauen Felder in die weißen Flächen.

Aufgabenstellung

Leider nein. Probier's nochmal!

Sorry, leider nicht richtig..

Leider nein. Probier's nochmal!

Super gemacht!

Betrachte folgendes Holzhäuschen (Maße in %%\mathrm m%%):

  1. Wie lang ist der längste Faden, den eine Spinne geradlinig im Holzhäuschen spannen könnte?

  2. Wie viel %%\mathrm m^2%% Dachfläche hat das Holzhäuschen?

Gib das Ergebnis beider Teilaufgaben mit einem Strichpunkt getrennt ein - in der Form "x Meter; x Quadratmeter".

7663_gwzK51bI4S.xml

Teilaufgabe 1

Vorüberlegung und Lösungsplan:

Betrachtest du die Zeichnung, dann siehst du:

Der längste Faden ist entweder so lang wie

  • die Strecke %%\left[\mathrm{ET}\right]%%
    (denn diese geht von der unteren Ecke des Raumes in die entgegengesetzt gelegene obere Ecke)

oder so lang wie

  • die Strecke %%\left[\mathrm{EF}\right]%%
    (denn um von %%\mathrm E%% zu %%\mathrm F%% zu kommen, muss die Spinne zwar weniger weit nach rechts, als wenn sie zu %%\mathrm T%% webt, aber dafür etwas weiter nach oben).

Möglichen längste Strecken im Holzhäuschen

Plan zur Lösung der Aufgabe:

  • Berechne zuerst die Längen der beiden Strecken %%\left[\mathrm{ET}\right]%% und %%\left[\mathrm{EF}\right]%%,
  • und prüfe dann, welche von beiden die längere ist.

Berechnung der Länge der Strecke %%\left[\mathrm{ET}\right]%%

Skizze: Dreieck EHT im Holzhäuschen

Die Strecke %%\left[\mathrm{ET}\right]%% ist Seite im Dreieck %%\triangle \mathrm{EHT}%%.

Dieses Dreieck hat bei %%\mathrm H%% einen rechten Winkel.

Also kannst du im Dreieck %%\triangle \mathrm{EHT}%% den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist %%\left[\mathrm{ET}\right]%%.

%%\overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\overline{\mathrm{HT}}^2%%

Die Streckenlänge %%\overline{\mathrm{HT}}=2,03\,\mathrm m%% ist in der Aufgabenstellung angegeben (denn die Strecke %%\left[\mathrm{HT}\right]%% ist natürlich genauso lang wie %%\left[\mathrm{SG}\right]%%.

%%\overline{\mathrm{HT}}=2,03\,\mathrm m%% kannst du daher einfach in die Gleichung einsetzen,

%%\overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\left(2,03\, \mathrm m \right)^2%%

aber die Länge %%\overline{\mathrm{EH}}%% musst du noch gesondert berechnen.

Berechnung von %%\overline{\mathrm{EH}}%%:

Skizze: Dreieck EHG am Boden des Holzhäuschens

Die Strecke %%\lbrack \mathrm{EH}\rbrack%% ist Seite im Dreieck %%\triangle\mathrm{EGH}%% am Boden des Holzhäuschens.

Dieses Dreieck ist bei %%\mathrm G%% rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist %%\lbrack\mathrm{EH}\rbrack%%.

%%\overline{\mathrm{EH}}^2=\overline{\mathrm{EG}}^2+\overline{\mathrm{GH}}^2%%

%%\overline{\mathrm{EG}}=3,40\,\mathrm m%% und %%\overline{\mathrm{GH}}=2,50\,\mathrm m%% sind in der Aufgabe gegeben; setze sie ein

%%\overline{\mathrm{EH}}^2=\left(3,40\mathrm m\right)^2+\left(2,50\mathrm m\right)^2%%

und rechne aus.

%%\overline{\mathrm{EH}}^2=17,81\mathrm m^2%%

Um von %%\overline{\mathrm{EH}}^2%% zu %%\overline{\mathrm{EH}}%% zu kommen, kannst du nun die Wurzel anwenden.

%%\overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{17,81}\,\mathrm m%%

Wenn du einen ungefähren Wert für %%\overline{\mathrm{EH}}%% wissen willst, kannst du diesen jetzt mit dem Taschenrechner ausrechnen:

%%\overline{\mathrm{EH}}\approx4,22\;\mathrm m%%

(Du musst diesen Schritt aber auch nicht machen, da ohnehin mit %%\overline{\mathrm{EH}}^2%% weitergerechnet wird.)

Berechnung der Streckenlänge %%\overline {\mathrm{ET}}%% mithilfe des errechneten %%\overline {\mathrm{EH}}%%:

Skizze: Dreieck EHT zur endgültigen Berechnung der Strecke von E nach T

Du hast bislang erhalten:

  • %%\overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\left(2,03\, \mathrm m \right)^2%%

und

  • %%\overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{17,81}\,\mathrm m%%.

Setze nun %%\overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{17,81}\,\mathrm m%% in die obere Gleichung ein.

%%\overline{\mathrm{ET}}^2=\left( \sqrt{17,81} \, \mathrm m \right)^2 +\left(2,03\, \mathrm m \right)^2%%

%%\overline{\mathrm{ET}}^2=21,9309\, \mathrm m ^2%%

%%\overline{\mathrm{ET}}%% erhältst du aus %%\overline{\mathrm{ET}}^2%%, indem du die Wurzel ziehst.

%%\overline{\mathrm{ET}}=\sqrt{21,9309}\, \mathrm m%%

Gib %%\sqrt{21,9309}%% in den Taschenrechner ein
und runde das Ergebnis auf 2 Stellen hinter dem Komma
(das ist sinnvoll, denn in der Angabe sind die Maße auch nur auf %%\mathrm {cm}%% genau angegeben.)

%%\overline{\mathrm{ET}}\approx4,68 \, \mathrm m%%

Berechnung der Länge der Strecke %%\left[\mathrm{EF}\right]%%

Skizze: Dreieck ENF

Die Strecke %%\left[\mathrm{EF}\right]%% ist Seite im Dreieck %%\triangle \mathrm{ENF}%%.

Dieses Dreieck hat bei %%\mathrm N%% einen rechten Winkel.

Also kannst du im Dreieck %%\triangle \mathrm{ENF}%% den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist %%\left[\mathrm{EF}\right]%%.

%%\overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\overline{\mathrm{NF}}^2%%

Die Streckenlänge %%\overline{\mathrm{NF}}=2,55\,\mathrm m%% ist in der Aufgabenstellung angegeben (denn die Strecke %%\left[\mathrm{NF}\right]%% ist natürlich genauso lang wie %%\left[\mathrm{MD}\right]%%.

%%\overline{\mathrm{NF}}=2,55\,\mathrm m%% kannst du daher einfach in die Gleichung einsetzen,

%%\overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\left(2,55\, \mathrm m \right)^2%%

aber die Länge %%\overline{\mathrm{EN}}%% musst du wieder gesondert berechnen.

Berechnung von %%\overline{\mathrm{EN}}%%:

Skizze: Dreieck EMN

Die Strecke %%\lbrack \mathrm{EN}\rbrack%% ist Seite im Dreieck %%\triangle\mathrm{EMN}%% am Boden des Holzhäuschens.

Dieses Dreieck ist bei %%\mathrm M%% rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist %%\lbrack\mathrm{EH}\rbrack%%.

%%\overline{\mathrm{EN}}^2=\overline{\mathrm{EM}}^2+\overline{\mathrm{MN}}^2%%

Die Streckenlänge %%\overline{\mathrm{MN}}=2,50\,\mathrm m%% ist angegeben und du kannst sie einsetzen
(denn die Strecke %%\left[\mathrm{MN}\right]%% ist natürlich genauso lang wie %%\left[\mathrm{GH}\right]%%).

%%\left[\mathrm{EM}\right]%% ist halb so lang %%\left[\mathrm{EG}\right]%%, und %%\overline{\mathrm{EG}}=3,40\,\mathrm m%% ist ebenfalls in der Aufgabenstellung angegeben.

%%\overline{\mathrm{EN}}^2=\left(\dfrac{3,40}{2}\,\mathrm m\right)^2+\left(2,50\mathrm m\right)^2%%

%%\overline{\mathrm{EN}}^2=9,14\, \mathrm m ^2%%

Um von %%\overline{\mathrm{EN}}^2%% zu %%\overline{\mathrm{EN}}%% zu kommen, kannst du nun die Wurzel anwenden.

%%\overline{\mathrm{EN}}=\sqrt{9,14}\, \mathrm m%%

Wenn du einen ungefähren Wert für %%\overline{\mathrm{EN}}%% wissen willst, kannst du diesen jetzt mit dem Taschenrechner ausrechnen:

%%\overline{\mathrm{EN}}\approx3,02\, \mathrm m%%

(Du musst diesen Schritt aber auch nicht machen, da ohnehin mit %%\overline{\mathrm{EN}}^2%% weitergerechnet wird.)

Berechnung der Streckenlänge %%\overline {\mathrm{EF}}%% mithilfe des errechneten %%\overline {\mathrm{EN}}%%:

Dreieck ENF

Du hast bislang erhalten:

  • %%\overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\left(2,55\, \mathrm m \right)^2%%

und

  • %%\overline{\mathrm{EN}}=\sqrt{9,14}\,\mathrm m%%.

Setze nun %%\overline{\mathrm{EN}}=\sqrt{9,14}\,\mathrm m%% in die obere Gleichung ein.

%%\overline{\mathrm{EF}}^2=\left(\sqrt{9,14}\,\mathrm m \right)^2+\left(2,55\, \mathrm m \right)^2%%

%%\overline{\mathrm{EF}}^2=15,6425 \, \mathrm m^2%%

%%\overline{\mathrm{EF}}%% erhältst du aus %%\overline{\mathrm{EF}}^2%%, indem du die Wurzel ziehst.

%%\overline{\mathrm{EF}}=\sqrt{15,6425}\, \mathrm m%%

Gib %%\sqrt{15,6425}%% in den Taschenrechner ein
und runde das Ergebnis auf 2 Stellen hinter dem Komma
(das ist sinnvoll, denn in der Angabe sind die Maße auch nur auf %%\mathrm {cm}%% genau angegeben.)

%%\overline{\mathrm{EF}}\approx3,96 \, \mathrm m%%

Ergebnis

Die Strecke %%\left[\mathrm{ET}\right]%% mit einer Streckenlänge von ca. %%4,68\,\mathrm m%% ist größer als die Strecke %%\left[\mathrm{EF}\right]%%.

Damit ist die Strecke %%\left[\mathrm{ET}\right]%%der längste Faden, den die Spinne geradlinig spannen kann.

Teilaufgabe 2

Vorüberlegung und Lösungsplan:

Betrachtest du die Zeichnung, dann siehst du:

Die Dachfläche besteht aus zwei Rechtecken, die beide gleich groß sind.

Plan zur Lösung der Aufgabe:

  • Berechne die Fläche des Rechtecks %%\mathrm {DSTF}%% und

  • multipliziere das Ergebnis anschließend mit 2.

Holzhäuschen-Dachflächen

Berechnung der Fläche der Dachhälfte %%\mathrm {DSTF}%%

%%A_\mathrm {DSTF}=?%%

Das Viereck %%\mathrm {DSFT}%% ist ein Rechteck.
Seine Fläche berechnet man daher, indem man zwei aneinander liegende Seiten multipliziert:

%%A_\mathrm {Rechteck} = Länge \cdot Breite%%

%%A_\mathrm {DSTF}= \overline{\mathrm {DS}} \cdot \overline{\mathrm {ST}}%%

Die Streckenlänge %%\overline{\mathrm {ST}}=2,50 \, \mathrm m%% ist angegeben, aber %%\overline{\mathrm {DS}}%% musst du noch gesondert berechnen.

Berechnung von %%\overline{\mathrm{DS}}%%:

Seitenkante mit Pythagoras berechnen

Die Strecke %%\lbrack \mathrm{DS}\rbrack%% ist Seite im Dreieck %%\triangle\mathrm{KSD}%% auf der Vorderfläche des Holzhäuschens.

Dieses Dreieck ist bei %%\mathrm K%% rechtwinklig. Also kannst du auch in ihm den Satz von Pythagoras anwenden.

Die Hypotenuse ist %%\lbrack\mathrm{DS}\rbrack%%.

%%\overline{\mathrm{DS}}^2=\overline{\mathrm{KS}}^2+\overline{\mathrm{DK}}^2%%

%%\left[\mathrm{KS}\right]%% ist halb so lang %%\left[\mathrm{EG}\right]%%, und %%\overline{\mathrm{EG}}=3,40\,\mathrm m%% ist in der Aufgabenstellung angegeben.

%%\overline{\mathrm{DS}}^2=\left(\frac{3,40\;\mathrm m}2\right)^2+\overline{\mathrm{DK}}^2%%

%%\overline{\mathrm {DK}}%% kannst du ausrechnen als Differenz der Strecken %%\left[\mathrm{DM}\right]%% und %%\left[\mathrm{KM}\right]%%:

%%\overline{\mathrm{DK}}=\overline{\mathrm{DM}}-\overline{\mathrm{KM}}%%

%%\overline{\mathrm{DM}}=2,55 \, \mathrm m%% ist angegeben.

%%\overline{\mathrm{KM}}=2,03 \, \mathrm m%% kannst du ebenfalls der Aufgabenstellung entnehmen (denn die Strecke %%\left[\mathrm{KM}\right]%% ist natürlich genauso lang wie %%\left[\mathrm{SG}\right]%%.

%%\overline{\mathrm{DK}}=2,55\, \mathrm m - 2,03 \,\mathrm m = 0,52 \,\mathrm m%%

Setze dies nun ein.

%%\overline{\mathrm{DS}}^2=\left(\frac{3,40\;\mathrm m}2\right)^2+ \left(0,52\, \mathrm m\right)^2%%

Das kannst du jetzt ausrechnen.

%%\overline{\mathrm{DS}}^2=3,1604 \, \mathrm m^2%%

%%\overline{\mathrm{DS}}%% erhältst du aus %%\overline{\mathrm{DS}}^2%%, indem du die Wurzel ziehst.

%%\overline{\mathrm{DS}}=\sqrt{3,1604}\, \mathrm m%%

Gib %%\sqrt{3,1604}%% in den Taschenrechner ein
und runde das Ergebnis auf 2 Stellen hinter dem Komma
(das ist sinnvoll, denn in der Angabe sind die Maße auch nur auf %%\mathrm {cm}%% genau angegeben.)

%%\overline{\mathrm{DS}}\approx1,78\;\mathrm m%%

Diesen gerundeten Wert für %%\overline{\mathrm{DS}}%% kannst du nun für die Berechnung der Dachfläche verwenden.

Berechnung der Dachfläche

%%A_\mathrm {DSTF}= \overline{\mathrm {DS}} \cdot \overline{\mathrm {ST}}%%

Hier setzt du nun %%\overline{\mathrm{DS}}\approx1,78\;\mathrm m%% und %%\overline{\mathrm {ST}}=2,50 \, \mathrm m%% ein.

%%A=2\cdot2,5\,\mathrm m\cdot 1,78\,\mathrm m=8,9\,\mathrm m^2%%

Der Flächeninhalt des Daches beträgt %%8,9 \ m^2%%.

Ein 8,4m langer Pfahl steckt zu %%\frac14%% im Boden und zu 30% im Wasser. Fertige eine Skizze mit den gegebenen Daten an und berechne wie viele Meter des Pfahls aus dem Wasser herausragen.

Aus der Angabe entnimmst du folgende Informationen:

Länge des Pfahls: %%8,4 m%%

im Wasser: %%30\% %% des Pfahls

im Boden: %%\frac{1}{4}%% des Pfahls

Zeichne zuerst eine Skizze mit den angegebenen Daten.

Nun gibt es 2 Möglichkeiten, die Aufgabe zu lösen.

1. Möglichkeit

Skizze eines Pfahls im Wasser

Strategie: Berechne zuerst wie viel Prozent des Pfahls aus dem Wasser herausragen und rechne das Ergebnis anschließend in Meter um.

Wandle dazu die Anteile in Prozentangaben um.

%%30\% %% des Pfahls sind im Wasser.

%%\frac14=25\%%% des Pfahls stecken in der Erde.

Addiere die Prozentangaben um den Anteil zu erhalten, der im Wasser und im Boden steckt.


%%25\% + 30\% = 55\% %%

Berechne den Anteil des Pfahls der aus dem Wasser herausragt. %%100\% %% entsprechen der gesamten Länge des Pfahls. %%55\% %% des Pfahls sind unter Wasser oder in der Erde.


Also sind %%100\% - 55\% = 45\%%% über Wasser.

Jetzt kannst du den Anteil in Meter mit einer Formel berechnen, der aus dem Wasser herausragt.


%%0.45 \cdot 8,4m= 3,78 m%%

Die Länge des Pfahls, die aus dem Wasser herausragt ist damit %%3.78m%%.

2. Möglichkeit:

Strategie: Berechne zunächst wie viel Meter des Pfahls im Wasser bzw. im Boden sind und subtrahiere dies anschließend von der Gesamtlänge des Pfahls.

Skizze ienes Pfahls im Wasser

Bestimme also zunächst die Länge des Pfahls, die im Boden steckt.

%%\frac14%% von den %%8,4m%% stecken im Boden. %%\frac14 \cdot 8,4m =2,1m%%.

%%\Rightarrow 2,1m%% des Pfahls stecken im Boden.

Berechne die Länge des Pfahls, die im Wasser steht, mit Hilfe des Dreisatzes.

%%8,4 m%% %%\widehat{=}%% %%100\% %%

%%\frac{8.4}{100}m = 0.084 m%% %%\widehat{=}%% %%1\% %%

%%\frac{8.4}{100}m \cdot 30%% %%\widehat{=}%% %%1\% \cdot 30%%

%%\Rightarrow 30\%%% %%\widehat{=}%% %%2,52m%%

%%\Rightarrow 2,52m%% des Pfahls stehen im Wasser.

Subtrahiere die beiden Längen von der Gesamtlänge, um die Länge des Pfahls zu berechnen, die aus dem Wasser herausragt.

%%8.4 m - 2.52 m -2.1 m =3,78 m%%

Es ragen also %%3,78m%% des Pfahls aus dem Wasser.

Test2: Ein 8,4m langer Pfahl steckt zu %%\frac14%% im Boden und zu 30% im Wasser. Fertige eine Skizze mit den gegebenen Daten an und berechne wie viele Meter des Pfahls aus dem Wasser herausragen.

Aus der Angabe entnimmst du folgende Informationen:

Länge des Phals: %%8,4 m%%

im Wasser: %%30\% %% des Pfahls

im Boden: %%\frac{1}{4}%% des Phals

Zeichne zuerst eine Skizze mit den angegebenen Daten.

Nun gibt es 2 Möglichkeiten, die Aufgabe zu lösen.

1. Möglichkeit:

Strategie: Berechne zuerst wie viel Prozent des Pfahls und anschließend wie viele Meter des Pfahls aus dem Wasser herausragen.

Skizze eines Pfahls im Wasser

Wandle deshalb zunächst die Anteile in Prozentangaben um.

%%30\% %% des Pfahls sind im Wasser.

%%\frac14=25\%%% des Pfahls stecken in der Erde.

Addiere die Prozentangaben um den Anteil zu erhalten, der nicht aus dem Wasser herausragt.

%%25\% + 30\% = 55\% %%

Berechne den Anteil des Pfahls der aus dem Wasser herausragt.

%%100\% %% entsprechen der gesamten Länge des Pfahls. %%55\% %% des Pfahls sind unter Wasser oder in der Erde.

Also sind %%100\% - 55\% = 45\% %% über Wasser.

Jetzt kannst du den Anteil in Meter mittel Formel berechnen, der aus dem Wasser herausragt.

%%0.45 \cdot 8,4m= 3,78 m%%

Diese %%45\% %% entsprechen %%3,78m%%.

Die Länge des Phals, die aus dem Wasser herausragt ist damit %%3.78m%%.

2. Möglichkeit:

Strategie: Berechne zunächst wie viel Meter des Pfahls im Wasser bzw. im Boden sind und subtrahiere dies anschließend von der Gesamtlänge des Pfahls.

Skizze eines Pfahls im Wasser

Bestimme also zunächst die Länge des Pfahls, die im Boden steckt.

%%\frac14%% von den %%8,4m%% stecken im Boden. %%\frac14 \cdot 8,4m =2,1m%%.

%%\Rightarrow%% 2,1m%%des Pfahls stecken im Boden.

[Berechne](\1769) die Länge des Pfahls, die im Wasser steht, mit Hilfe des [Dreisatzes](/1769).

%%8,4 m%%%%\widehat{=}%%%%100\%%%

%%\frac{8.4}{100}m = 0.084 m%%%%\widehat{=}%%%%1\%%%

%%\frac{8.4}{100}m \cdot 30%%%%\widehat{=}%%%%1\% \cdot 30 %%

%%\Rightarrow 30\% %%%%\widehat{=}%%%%2,52m%%

%%\Rightarrow 2,52m%%des Pfahls stehen im Wasser.

Subtrahiere die beiden Längen von der Gesamtlänge, um die Länge des Pfahls zu berechnen, die aus dem Wasser herausragt.

%%8.4 m - 2.52 m -2.1 m =3,78 m%%

Es ragen also%%3,78m%% des Pfahls aus dem Wasser.

Berechne das Ergebnis und klicke die richtige Lösung an:

%%-4+12=?%%

Leider nicht richtig, denn:

  • %%-4%% und %%+12%% haben unterschiedliche Vorzeichen; man muss also ihre Beträge voneinander subtrahieren und nicht addieren.

Leider nicht richtig, denn:

  • %%-4%% und %%+12%% haben unterschiedliche Vorzeichen; man muss also ihre Beträge voneinander subtrahieren und nicht addieren.

  • %%12%% ist betragsmäßig größer als %%4%%. Daher bestimmt %%+12%% das Vorzeichen und das Ergebnis muss daher positiv sein.

Leider nicht richtig, denn:

  • Das Ergebnis von %%-4+12%% kann nicht negativ sein:
    12 ist betragsmäßig größer als 4 und bestimmt daher das Vorzeichen.

Richtig!

%%+10-24%%

Leider nein. Probier's nochmal!

Leider nicht richtig, denn:

  • %%+10%% und %%-24%% haben unterschiedliche Vorzeichen. Deshalb muss man ihre Beträge voneinander subtrahieren und nicht addieren.

Leider nicht richtig, denn:

  • %%+10%% und %%-24%% haben unterschiedliche Vorzeichen. Deshalb muss man ihre Beträge voneinander subtrahieren und nicht addieren.

  • %%-24%% ist betragsmäßig größer als %%+10%%. Daher bestimmt %%-24%% das Vorzeichen und das Ergebnis muss negativ sein.

Leider nicht richtig, denn:

  • %%-24%% ist betragsmäßig größer als %%+10%%. Daher bestimmt %%-24%% das Vorzeichen, und das Ergebnis muss negativ sein.

Richtig!

Beispielaufgaben Interaktivität (zu Demonstrationszwecken)

multiple choice

Schau nochmal zu Multiplikation

Richtig!

Hilfe gibt es im Artikel Subtraktion.

grün ist auch schön, schau dochmal hier Multiplikation

Bist du dir sicher? Wenn du hilfe brauchst, verwende den Artikel Addition

Erinnere dich an die Regel abc

Schau hier nochmal rein: Brüche kürzen und erweitern

schau dir noch einmal den Artikel Subtraktion Subtraktionan

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Kommentieren Kommentare