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Teilaufgabe 1

Vorüberlegung und Lösungsplan:

Betrachtest du die Zeichnung, dann siehst du:

Berechnung der Länge der Strecke $\left[\mathrm{ET}\right]$

$\overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\overline{\mathrm{HT}}^2$

Die Streckenlänge $\overline{\mathrm{HT}}=2{,}03\,\mathrm m$ ist in der Aufgabenstellung angegeben (denn die Strecke $\left[\mathrm{HT}\right]$ ist natürlich genauso lang wie $\left[\mathrm{SG}\right]$.

$\overline{\mathrm{HT}}=2{,}03\,\mathrm m$ kannst du daher einfach in die Gleichung einsetzen,

$\overline{\mathrm{ET}}^2=\overline{\mathrm{EH}}^2+\left(2{,}03\, \mathrm m \right)^2$

aber die Länge $\overline{\mathrm{EH}}$ musst du noch gesondert berechnen.

Berechnung von $\overline{\mathrm{EH}}$:

$\overline{\mathrm{EH}}^2=\overline{\mathrm{EG}}^2+\overline{\mathrm{GH}}^2$

$\overline{\mathrm{EG}}=3{,}40\,\mathrm m$ und $\overline{\mathrm{GH}}=2{,}50\,\mathrm m$ sind in der Aufgabe gegeben; setze sie ein

$\overline{\mathrm{EH}}^2=\left(3{,}40\mathrm m\right)^2+\left(2{,}50\mathrm m\right)^2$

und rechne aus.

$\overline{\mathrm{EH}}^2=17{,}81\mathrm m^2$

Um von $\overline{\mathrm{EH}}^2$ zu $\overline{\mathrm{EH}}$ zu kommen, kannst du nun die Wurzel anwenden.

$\overline{\mathrm{EH}}=\sqrt{17{,}81}\,\mathrm m$

Wenn du einen ungefähren Wert für $\overline{\mathrm{EH}}$ wissen willst, kannst du diesen jetzt mit dem Taschenrechner ausrechnen:

$\overline{\mathrm{EH}}\approx4{,}22\;\mathrm m$

(Du musst diesen Schritt aber auch nicht machen, da ohnehin mit $\overline{\mathrm{EH}}^2$ weitergerechnet wird.)

Berechnung der Streckenlänge $\overline {\mathrm{ET}}$ mithilfe des errechneten $\overline {\mathrm{EH}}$:

Berechnung der Länge der Strecke $\left[\mathrm{EF}\right]$

$\overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\overline{\mathrm{NF}}^2$

Die Streckenlänge $\overline{\mathrm{NF}}=2{,}55\,\mathrm m$ ist in der Aufgabenstellung angegeben (denn die Strecke $\left[\mathrm{NF}\right]$ ist natürlich genauso lang wie $\left[\mathrm{MD}\right]$.

$\overline{\mathrm{NF}}=2{,}55\,\mathrm m$ kannst du daher einfach in die Gleichung einsetzen,

$\overline{\mathrm{EF}}^2=\overline{\mathrm{EN}}^2+\left(2{,}55\, \mathrm m \right)^2$

aber die Länge $\overline{\mathrm{EN}}$ musst du wieder gesondert berechnen.

Berechnung von $\overline{\mathrm{EN}}$:

$\overline{\mathrm{EN}}^2=\overline{\mathrm{EM}}^2+\overline{\mathrm{MN}}^2$

Die Streckenlänge $\overline{\mathrm{MN}}=2{,}50\,\mathrm m$ ist angegeben und du kannst sie einsetzen (denn die Strecke $\left[\mathrm{MN}\right]$ ist natürlich genauso lang wie $\left[\mathrm{GH}\right]$).

$\left[\mathrm{EM}\right]$ ist halb so lang $\left[\mathrm{EG}\right]$, und $\overline{\mathrm{EG}}=3{,}40\,\mathrm m$ ist ebenfalls in der Aufgabenstellung angegeben.

(Du musst diesen Schritt aber auch nicht machen, da ohnehin mit $\overline{\mathrm{EN}}^2$ weitergerechnet wird.)

Berechnung der Streckenlänge $\overline {\mathrm{EF}}$ mithilfe des errechneten $\overline {\mathrm{EN}}$:

Ergebnis

Die Strecke $\left[\mathrm{ET}\right]$ mit einer Streckenlänge von ca. $4{,}68\,\mathrm m$ ist größer als die Strecke $\left[\mathrm{EF}\right]$.

Damit ist die Strecke $\left[\mathrm{ET}\right]$der längste Faden, den die Spinne geradlinig spannen kann.

Teilaufgabe 2

Berechnung der Fläche der Dachhälfte $\mathrm {DSTF}$

$A_\mathrm {DSTF}=?$

Das Viereck $\mathrm {DSFT}$ ist ein Rechteck. Seine Fläche berechnet man daher, indem man zwei aneinander liegende Seiten multipliziert:

$A_\mathrm {Rechteck} = Länge \cdot Breite$

$A_\mathrm {DSTF}= \overline{\mathrm {DS}} \cdot \overline{\mathrm {ST}}$

Die Streckenlänge $\overline{\mathrm {ST}}=2{,}50 \, \mathrm m$ ist angegeben, aber $\overline{\mathrm {DS}}$ musst du noch gesondert berechnen.

Berechnung von $\overline{\mathrm{DS}}$:

$\overline{\mathrm{DS}}^2=\overline{\mathrm{KS}}^2+\overline{\mathrm{DK}}^2$

$\left[\mathrm{KS}\right]$ ist halb so lang $\left[\mathrm{EG}\right]$, und $\overline{\mathrm{EG}}=3{,}40\,\mathrm m$ ist in der Aufgabenstellung angegeben.

$\overline{\mathrm{DS}}^2=\left(\frac{3{,}40\;\mathrm m}2\right)^2+\overline{\mathrm{DK}}^2$

$\overline{\mathrm {DK}}$ kannst du ausrechnen als Differenz der Strecken $\left[\mathrm{DM}\right]$ und $\left[\mathrm{KM}\right]$:

$\overline{\mathrm{DK}}=\overline{\mathrm{DM}}-\overline{\mathrm{KM}}$

$\overline{\mathrm{DM}}=2{,}55 \, \mathrm m$ ist angegeben.

$\overline{\mathrm{KM}}=2{,}03 \, \mathrm m$ kannst du ebenfalls der Aufgabenstellung entnehmen (denn die Strecke $\left[\mathrm{KM}\right]$ ist natürlich genauso lang wie $\left[\mathrm{SG}\right]$.

$\overline{\mathrm{DK}}=2{,}55\, \mathrm m - 2{,}03 \,\mathrm m = 0{,}52 \,\mathrm m$

Setze dies nun ein.

Diesen gerundeten Wert für $\overline{\mathrm{DS}}$ kannst du nun für die Berechnung der Dachfläche verwenden.

Berechnung der Dachfläche

$A_\mathrm {DSTF}= \overline{\mathrm {DS}} \cdot \overline{\mathrm {ST}}$

Hier setzt du nun $\overline{\mathrm{DS}}\approx1{,}78\;\mathrm m$ und $\overline{\mathrm {ST}}=2{,}50 \, \mathrm m$ ein.

$A=2\cdot2{,}5\,\mathrm m\cdot 1{,}78\,\mathrm m=8{,}9\,\mathrm m^2$

Der Flächeninhalt des Daches beträgt $8{,}9 \ m^2$.