In einer Gruppe von 900 Personen haben sich 600 prophylaktisch gegen Grippe impfen lassen. Nach einer bestimmten Zeit wurde jedes Gruppenmitglied danach befragt, wer an einer Grippe erkrankte. Die Ergebnisse werden in einer 4-Feldtafel dargestellt.

%%\begin{array}{rrrr} \text {Gruppe} &\text {B (erkrankt)} & \overline{\text B }\text{ (gesund)}& \text{Summe} \\ \text {A (geimpft)} &60 &540 &600 \\ \overline{\text A } \text{ (ungeimpft)} &120 &180 &300 \\ \text {Summe} &180 &720 &900 \end{array}%%

Das Ereignis A sei "Person ist geimpft" und das Ereignis B: "Person erkrankt".

Berechnen Sie:

%%P(A)%%     %%P(B)%%    %%P(A \cap B)  %%   %%P_A(B) %%    %%P_B(A)%% ,
sowie    %%P( \overline A%% %%\cap B)%%      %%P_\overline A(B)%%

Geben Sie die Bedeutung der einzelnen Ergebnisse in Textform an.

Wahrscheinlichkeiten und Bedingte Wahrscheinlichkeit

Man berechnet nun nacheinander die gesuchten Wahrscheinlichkeiten. Einige kannst du auch direkt aus der Vierfeldertafel ablesen.


%%P(A)%%

Dies gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine Person geimpft ist. Aus der Angabe kannst du ablesen, dass das 600 der 900 Personen sind (1. Zeile, rechts).

%%\displaystyle P(A) = \frac{600} {900} = \frac{2} {3}%%


%%P(B)%%

Dies gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine Person erkrankt ist. Aus der Vierfeldertafel kannst du ablesen, dass es insgesamt 180 erkrankte Personen sind (1 Spalte, unten).

%%\displaystyle P(B) = \frac{180} {900} = \frac{1} {5}%%


%%P(A \cap B)%%

Dies beschreibt die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Person geimpft und krank ist. Aus der Vierfeldertafel kannst du ablesen, dass dies auf 60 Personen zutrifft (1 Zeile, 1 Spalte).

%%\displaystyle P(A \cap B) = \frac{60} {900} = \frac{1} {15}%%


%%P_A(B)%%

Dies beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person an Grippe erkrankt, obwohl sie geimpft ist. Es geht also darum, wie groß der Anteil unter den Geimpften ist, die trotzdem erkrankt sind. Das sind %%60%% von %%600%% Geimpften

%%P_A(B) = \dfrac{60}{600} = \dfrac{1}{10}%%

Alternativ kannst du auch die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit benutzen: %%P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)} {P(A)} = \dfrac{\frac{1} {15} } {\frac{2} {3}} = \frac{1} {10}%%


%%P_B(A)%%

Dies gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine Person geimpft ist, wenn man weiß dass sie erkrankt ist. Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit erhältst du:

%%\displaystyle = \frac{P(A \cap B)} {P(B)}%%

Diese Wahrscheinlichkeiten hast du oben schon berechnet

%%\displaystyle = \frac{\frac{1} {15} } {\frac{1} {5}} = \frac{1} {3}%%


%%P(\overline A \cap B)%%

Dies gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Person nicht geimpft wurde und krank ist. Du kannst anhand der Vierfeldertafel ablesen (1 Spalte, 2 Zeile), dass es davon 120 Personen gibt.

%%\displaystyle P(\overline A \cap B) = \dfrac{120}{900}=\dfrac2{15}%%


%%P_\overline A (B)%%

Dies gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine zuvor nicht geimpfte Person krank ist. Von den %%300%% nicht geimpften Personen sind %%120%% erkrankt. Also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

%%\displaystyle =\frac{120}{300}=\frac25%%