Das geometrische Mittel ist ein Mittelwert der Statistik. Es ist immer kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel.

Formel

Um das geometrische Mittel von nn Zahlen x1,x2,,xn{ x}_1,{ x}_2,…,{ x}_ n zu ermitteln, muss man deren Produkt bilden und von diesem die nn-te Wurzel ziehen.
Damit ergibt sich die Formel:
G(x1,x2,,xn)=xgeom=x1x2xnn=i=1nxin G({ x}_1,{x}_2,…,{x}_n)={\overline{ x}}_\mathrm{geom}={\sqrt[ n]{{ x}_1\cdot{ x}_2\cdots x}}_n=\sqrt[n]{{\textstyle\prod_{i=1}^n}{x}_i} .

Wichtig

  • Keiner der Werte darf negativ sein. Sonst steht möglicherweise etwas negatives unter der Wurzel stehen.
  • Keiner der Werte darf 0 sein. Sonst wäre das Ergebnis auch 0.

Geometrische Interpretation

Berechnet man das geometrische Mittel zweier Zahlen aa und bb, G(a,  b)=xgeom=ab2=ab\mathrm G(a,\;b)={\overline{x}}_\mathrm{geom}=\sqrt[2]{ a\cdot b}=\sqrt{a\cdot b}, so kann man das geometrische Mittel als die Seitenlänge cc eines Quadrats interpretieren, welches den gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck mit den Seitenlängen aa und bb hat.
legacy geogebra formula
Der Flächeninhalt des roten Rechtecks ist
ARechteck=abA_{\text{Rechteck}}=a\cdot b
und der Flächeninhalt des blauen Quadrats ist
AQuadrat=cc=abab=(ab)2=abA_{\text{Quadrat}}=c\cdot c=\sqrt{a\cdot b}\cdot\sqrt{a\cdot b}=\left(\sqrt{a\cdot b}\right)^2=a\cdot b
Offenbar haben die beiden Vierecke den selben Flächeninhalt.

Anwendung

Gerade für die Finanzmathematik ist das geometrische Mittel wichtig, da man mit ihm durchschnittliche Wachstumsfaktoren, wie zum Beispiel das BIP-Wachstum oder das durchschnittliche Wachstum der Unternehmensgewinne, berechnet werden können.

Beispiel 1

Beispiel 2 mit Herleitung

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