Die Fakultät %%n!%% ist eine Schreibweise für das Produkt aller Zahlen %%1,2,3,\ldots,n%%. Sie wird vor allem in der Kombinatorik oft verwendet, weil die Fakultät %%n!%% die Anzahl der Möglichkeiten angibt, eine beliebige Menge mit %%n%% Elementen zu ordnen. So gibt es %%3!=1\cdot 2\cdot 3=6%% Möglichkeiten, wie sich drei Personen für ein Foto aufstellen können.

Definition

Als Fakultät %%n!%% einer natürlichen Zahl %%n%% bezeichnet man das Produkt der Zahlen von %%1%% bis %%n%%:

%%n!=1\cdot2\cdot3\cdot\;.\;.\;.\;\cdot(n-1)\cdot n%%

Außerdem ist festgelegt, dass %%0!=1%%.

Warum ist %%0!=1%%

Nach der Definition erfüllt die Fakultät die Eigenschaft %%(n+1)! = (n+1)\cdot n!%%. Damit ist %%n! = \frac{(n+1)!}{n+1}%% und diese Formel können wir benutzen, um %%0!%% zu berechnen

$$0!=\frac{(0+1)!}{0+1}=\frac{1}{1}=1$$

Einfache Beispiele

Anwendungen in der Kombinatorik

Permutationen

Die Fakultät einer Zahl %%n%% berechnet die Anzahl der Permutationen einer n-Elementigen Menge. Sie gibt also die Anzahl der Möglichkeiten an, eine Menge mit n Elementen zu sortieren.

Beispiel

Du hast 5 mit 1 bis 5 durchnummerierte Kugeln.

Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese in eine Reihe zu legen?

Lösung:

Für die erste Stelle: 5 verfügbare Kugeln %%\Rightarrow%% 5 Möglichkeiten

Für die zweite Stelle: 4 verfügbare Kugeln %%\Rightarrow%% 4 Möglichkeiten

Für die dritte Stelle: 3 verfügbare Kugeln %%\Rightarrow%% 3 Möglichkeiten

Für die vierte Stelle: 2 verfügbare Kugeln %%\Rightarrow%% 2 Möglichkeiten

Für die fünfte Stelle: 1 verfügbare Kugeln %%\Rightarrow%% 1 Möglichkeit

Insgesamt %%5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=5!%% Möglichkeiten.

Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient %%\binom nk%% gibt die Anzahl der Möglichkeiten wieder, %%k%% Elemente aus einer Menge mit %%n%% Elementen zu ziehen. Der Binomialkoeffizient kann mit Hilfe der Fakultät berechnet werden:

$$\binom nk=\frac{n!}{\left(n-k\right)!\cdot k!}$$

Beispiel

Für das deutsche Glückspiel "Lotto 6 aus 49" kann über den Binomialkoeffizienten %%\binom{49}{6}%% die Anzahl der möglichen Ziehungen bestimmt werden:

$$\binom{49}{6} = \frac{49!}{43!\cdot 6!}=13.983.816$$

Beispielaufgaben

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Zu article Fakultät: Einleitung Überarbeiten
LorenzHuber 2014-09-02 07:54:03
Da Formeln in der Einleitung schlecht für Google sind, formulieren wir Einleitung und Definition neu. Außerdem fügen wir noch leichte Aufgaben für den Einstieg ein.
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