Bei Hypothesentests spielen zwei Fehler eine besondere Rolle. Sie beschreiben die irrtümliche Ablehung bzw. die irrtümliche Bestätigung einer Hypothese

  • Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn bei einem Hypothesentest die Nullhypothese zu Unrecht verworfen wird.
  • Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn bei einem Hypothesentest die Nullhypothese zu Unrecht beibehalten wird.

Der Fehler 1. Art wird oft auch %%\alpha%%-Fehler genannt. Seine Wahrscheinlichkeit wird dann mit %%\alpha%% bezeichnet.
Analog heißt der Fehler 2. Art oft %%\beta%%-Fehler mit Wahrscheinlichkeit %%\beta%%.

Beispiel

Eine Maschine fertigt Werkstücke und produziert dabei 2% Ausschuss (Nullhypothese). Ein Arbeiter hat das Gefühl, dass die Maschine schlechter arbeitet und mehr defekte Teile produziert.
Er notiert sich die Anzahl defekter Stücke unter den nächsten Hundert. Bei fünf oder mehr nimmt er an richtig zu liegen.

Der Fehler 1. Art wäre, wenn die Maschine nach wie vor 2% Ausschuss produziert, unter den Hundert Teilen aber fünf oder mehr defekte sind.
Der Fehler 2. Art tritt auf, wenn die Maschine schlechter arbeitet, aber trotzdem maximal vier defekte Werkstücke unter den Hundert sind.

Übersicht

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über die möglichen Fälle, die bei der Durchführung eines Hypothesentests auftreten können:

 

%%\,%%

%%H_0%% ist wahr.

%%H_0%% ist falsch.

Die Testgröße %%T%% nimmt bei der Stichprobe einen Wert im Annahmebereich von %%H_0%% an.

richtige Entscheidung

(%%H_0%% ist wahr und wird (zu Recht) beibehalten.)

falsche Entscheidung

%%H_0%% ist falsch und wird zu Unrecht beibehalten.

Fehler 2. Art

Die Testgröße %%T%% nimmt bei der Stichprobe einen Wert im Ablehnungsbereich von %%H_0%% an.

falsche Entscheidung

%%H_0%% ist wahr und wird zu Unrecht verworfen.

Fehler 1. Art

richtige Entscheidung

(%%H_0%% ist falsch und wird (zu Recht) verworfen.)

Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeiten der Fehler hängen vom Test und insbesondere von der Entscheidungsregel ab.

Fehler 1. Art

Der Fehler 1. Art tritt auf, wenn eine Trefferzahl erzielt wird, mit der die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist.

Man benutzt also die Trefferwahrscheinlichkeit, die in der Nullhypothese angegeben ist. Damit berechnet man die Wahrscheinlichkeit, die in der Entscheidungsregel für die Ablehnung der Nullhypothese angegebenen Trefferzahlen zu erhalten.

Da die Stichprobe eine Bernoulli-Kette ist, lässt sich die Wahrscheinlichkeit für eine Trefferanzahl mit der Binomialverteilung berechnen.
Man muss also die Binomialverteilung für die Menge der Trefferanzahlen, die im Ablehnungsbereich angegeben ist, berechnen und diese Wahrscheinlichkeiten zusammenzählen.

Berechnung mit dem Tafelwerk der Stochastik

Im Tafelwerk sind die aufsummierten Wahrscheinlichkeiten von 0 bis k Treffern für verschiedene k, n und p angegeben.

Wenn die Nullhypothese für Treffer unter dem kritischen Wert k abgelehnt wird, kann man diese Wahrscheinlichkeit also direkt ablesen.
Wenn sie für Werte über dem kritischen Wert abgelehnt wird muss man über die Gegenwahrscheinlichkeit gehen. Dazu berechnet man 1 minus die Wahrscheinlichkeit für mehr Treffer. Diese lässt sich dann wieder ablesen.

Fehler 2. Art

Dieser Fehler tritt auf, wenn die Nullhypothese falsch ist, aber trotzdem bestätigt wird.

Im Signifikanztest ist für diesen Fall keine Wahrscheinlichkeit angegeben, die Wahrscheinlichkeit ist also im Allgemeinen nicht berechenbar.
Bei einem Alternativtest sind für beide Hypothesen Wahrscheinlichkeiten gegeben. Dann berechnet sich der Fehler 2. Art genauso wie der Fehler 1. Art. Man nimmt die Trefferwahrscheinlichkeit der Gegenhypothese und die Trefferanzahl, mit der man sich für die Nullhypothese entscheidet.

Beispiel

Im obigen Beispiel ist nur die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art berechenbar.

Die Nullhypothese wird bei fünf oder mehr Ausschussteilen abgelehnt, man muss also das Gegenereignis betrachten.

%%p_G=1-p=1-0,02=0,98%%

Bestimme die Wahrscheinlichkeit für 95 oder weniger Treffer, z.B. mit dem Tafelwerk.

%%P^{100}_{0,98}(X\le 95)=0,05083%%

Die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler erster Art zu begehen ist also ca. 5%

Bemerkung

Im zweiseitigen Signifikanztest teilt sich die Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit in zwei Formeln auf, da es zwei kritische Werte gibt.
Um die Entscheidungsregel für vorgegebenes Signifikanzniveau zu bestimmen, stellt man beide Formeln auf und setzt sie jeweils kleiner der Hälfte des Signifikanzniveaus.

Beispiel
Kommentieren Kommentare

Zu article Fehler erster Art und Fehler zweiter Art: Fertigstellung
LorenzHuber 2014-09-09 09:17:01
ich werde Die Berechnung der Fehler hinzufügen und den Artikel insgesamt überarbeiten.
Renate 2014-09-12 12:03:44
@LorenzHuber: Du schreibst, dass man für die Berechnung des Fehlers erster Art das Tafelwerk benutzt.
Ich bin nicht ganz sicher, ob ich richtig informiert bin, aber ich glaube, in manchen anderen Bundesländern (z. B. Baden-Württemberg?) wird in den Schulen für solche Aufgaben der grafikfähige Taschenrechner verwendet.
Deshalb ist es bedenklich, das hier so zu schreiben.

Wir sollten meiner Meinung nach die Formulierung hier lieber allgemein halten, und nur schreiben, WAS man bestimmen muss. Die genauere Beschreibung, WIE man das dann dem dem Tafelwerk entnimmt, sollte dann besser zum Beispiel im Artikel zum Tafelwerk stehen (und zum Tafelwerk-Artikel hier dann nur verlinkt werden);
(und vielleicht schreibt ja, falls überhaupt Bedarf dazu besteht, irgendwer anders irgendwann einen Artikel, in dem steht, wie es mit dem grafikfähigen Taschenrechner geht).
LorenzHuber 2014-09-16 14:57:37
Das wusste ich nicht. Ich schreibe den Teil allgemeiner.
Antwort abschicken