Während die absolute Häufigkeit angibt, wie oft ein bestimmtes Ereignis eintritt (Anzahl), beschreibt die relative Häufigkeit, wie groß der Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtzahl der Versuche ist.

Mit den relativen Häufigkeiten lassen sich Wahrscheinlichkeiten anhand von Beobachtungen bestimmen.

Erläuterung anhand eines Beispiels

Ein Würfel wird 20 Mal geworfen und fünf Mal erscheint die 3. Damit ist die absolute Häufigkeit des Ereignisses "Es fällt eine 3" gleich 5.

Die relative Häufigkeit ist gleich der absoluten Häufigkeit geteilt durch die Anzahl der Versuche:

%%\frac5{20}=0,25=25\%\,%%

Definition

Wie oben schon erwähnt, definiert sich die relative Häufigkeit über die absolute Häufigkeit und die Anzahl der Versuche:

$$\text{relative Häufigkeit} \ h_n =\frac{\text{absolute Häufigkeit} \ H}{\text{Anzahl der Versuche} \ n}$$

Beispiel

Eigenschaften und Rechenregeln

Wenn man zwei Ereignisse eines Zufallsexperiments betrachtet, kann man die relative Häufigkeiten in einer Vierfeldertafel darstellen.

Für die folgenden Eigenschaften seien A und B Ereignisse, z.B. bestimmte Augenzahlen beim Würfeln.

  • %%0 \le \ h_n(A) \ \le 1%%, d.h. die relative Häufigkeit hat nur Werte zwischen 0 und 1.
Begründung

Die Ungleichung kann man mit Hilfe der Defintion von der relativen Häufigkeit erklären:

%%h_n(A) = \frac{H}{n}%%

H und n sind immer natürliche Zahlen, sodass der Bruch größer gleich 0 ist. Beachte dabei, dass H den Wert 0 haben kann, aber n nicht, denn im Nenner steht nie eine 0 (vgl. Bruch).

Ein Ereignis kann nicht öfter auftreten als die Anzahl aller Versuche, sodass H immer kleiner gleich als n ist. Somit ist der Bruch kleiner gleich 1.

Hinweis:

%%0 \le \ h_n(A) \ \le 1%% ist eine Kurzschreibweise und bedeutet:

Einerseits ist %%h_n%% größer gleich 0 (%%\ge 0%%) und andererseits kleiner gleich 1 (%%\le 1%%).

Begründung

%%\Omega%% tritt immer ein, da es das sichere Ereignis ist. Damit sind H und n gleich groß und der Bruch gleich 1.

  • %%h_n(A \cup B) = h_n(A) + h_n(B) - h_n(A \cap B)%% für die Summe von Ereignissen.
Begründung

Anschaulich kann man das an einem Venn-Diagramm erklären (denn die Ereignisse A und B sind Mengen):

Um A und B zu vereinigen kann man nicht einfach deren Elemente zusammenzählen. Elemente die in beiden Mengen enthalten sind würde man dann zweimal (doppelt schraffierter Bereich). Um diesen Fehler zu korrigieren, muss man den Schnitt von A und B einmal abziehen. Damit zieht man alle doppelt vorhanden Elemente wieder ab.

In dieser Aufgabe wird die Formel anhand eines Beispiels rechnerisch überprüft.

Begründung

Da %%\Omega = A \cup \bar{A}%% gilt kann man %%h_n(\bar{A})%% schreiben als %%h_n(\bar{A}) = h_n(\Omega \backslash A)%%.
%%\Omega \backslash A%% steht für die Menge, die bleibt wenn man aus %%\Omega%% alle Elemente von %%A%% entfernt.

Außerdem gilt %%h_n(\Omega \backslash A) =h_n(\Omega)- h_n(A) = 1-h_n(A)%%, da %%\Omega%% das sichere Ereignis ist.

Beziehung zur Wahrscheinlichkeit

Die relative Häufigkeit eines Ereignisses hängt von der Anzahl %%n%% an Wiederholungen eines Zufallsexperiments ab.
Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass je öfter man das Zufallsexperiment durchführt (also je größer %%n%%), desto ähnlicher ist die relative Häufigkeit eines Ereignisses zu seiner echten Wahrscheinlichkeit.

Man benutzt diese Beziehung um unbekannte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Man wiederholt ein Zufallsexperiment sehr oft und vergleicht dabei die relativen Häufigkeiten eines Ereignisses. Aus diesen Vergleichen kann man mithilfe von Grenzwerten die exakte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen.

Bemerkung: Für die Wiederholung eines Experiments benutzt man oft den Computer, denn er kann viel schneller einen Würfel 1.000.000 Mal werfen als der Mensch.

Video zum Thema Relative Häufigkeit

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Zu article Relative Häufigkeit: Überarbeitung des Artikels
LorenzHuber 2014-08-29 12:04:32
Wir werden den Artikel neu schreiben, da er zurzeit nicht ausführlich genug ist. Dabei wollen wir relative Häufigkeit erst mit Beispielen erklären, dann definieren und Rechenregeln einfügen. Zusätzlich wollen wir noch auf die Beziehung zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit durch das Gesetz der großen Zahlen eingehen.
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