Fakultät

Die Fakultät $n!$ ist eine Schreibweise für das Produkt aller Zahlen $1{,}2,3,\ldots,n$ . Sie wird vor allem in der Kombinatorik oft verwendet, weil die Fakultät $n!$ die Anzahl der Möglichkeiten angibt, eine beliebige Menge mit $n$ Elementen zu ordnen. So gibt es $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ Möglichkeiten, wie sich drei Personen für ein Foto aufstellen können.

Definition

Als Fakultät $n!$ einer natürlichen Zahl $n$ bezeichnet man das Produkt der Zahlen von $1$ bis $n$ :

$n!=1\cdot2\cdot3\cdot\;.\;.\;.\;\cdot(n-1)\cdot n$

Außerdem ist festgelegt, dass $0!=1$ .

Einfache Beispiele

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Anwendungen in der Kombinatorik

Permutationen

Die Fakultät einer Zahl $n$ berechnet die Anzahl der Permutationen einer n-Elementigen Menge. Sie gibt also die Anzahl der Möglichkeiten an, eine Menge mit $n$ Elementen zu sortieren.

Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient $\binom nk$ gibt die Anzahl der Möglichkeiten wieder, $k$ Elemente aus einer Menge mit $n$ Elementen zu ziehen. Der Binomialkoeffizient kann mit Hilfe der Fakultät berechnet werden:

\displaystyle \binom nk=\frac{n!}{\left(n-k\right)!\cdot k!}

Beispielaufgaben

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Übungsaufgaben: Fakultät

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Aufgaben zur Kombinatorik im typischen Sinn

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