Bei einer Sportveranstaltung wird ein Dopingtest durchgeführt. Wenn ein Sportler gedopt hat, dann fällt der Test zu 99% positiv aus.

Hat ein Sportler aber nicht gedopt, zeigt der Test trotzdem zu 5% ein positives Ergebnis an. Aus Erfahrung weiß man das 20% der Sportler gedopt sind.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Dopingprobe positiv ausfällt.

%%P:=%%"Positives Testergebnis"

%%D:=%% "Sportler hat gedopt"

%%P(P\left|D)=99\%=0,99\right.%%

Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, unter der Bedingung, dass ein Sportler gedopt hat.

%%P(P |\overline D)=5\%=0,05%%

Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, unter der Bedingung, dass ein Sportler nicht gedopt hat.

%%P(D)=20\%=0,20%%

Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler gedopt hat.

Schreibe die gesuchte Wahrscheinlichkeit auf

%%P(P)%%

Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt.

%%P(P)=P(P\vert D)\cdot P(D)+P(P\vert\overline D)\cdot P(\overline D)%%

Rechne mit dem Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit die gesuchte Wahrscheinlichkeit aus. Berechne dazu zunächst die noch fehlende Wahrscheinlichkeit %%P(\overline D)%%. Dies ist die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von D, also %%P(\overline D)=1-P(D)%%.

%%P(P)=0,99\cdot0,20+0,05\cdot(1-0,20)%%
%%=0,198+0,04=0,238=23,8\% %%

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test negativ ausfällt, obwohl der Sportler gedopt hat?

%%P(\overline P\vert D)%%

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein gedopter Sportler ein negatives Testergebins erhält.

Gesuchte Wahrscheinlichkeit ausrechnen

Verwende einen Satz über die Summe bedingter Wahrscheinlichkeiten.

%%P(\overline P\vert D)=1-P(P\vert D)%%

Stelle um.

%%P(\overline P\vert D)=1-0,99=0,01%%

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein gedopter Sportler ein negatives Testergebins erhält, beträgt 1 %.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler gedopt hat, falls seine Dopingprobe negativ ausgefallen ist.

%%P(D\vert\overline P)%%

Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler gedopt ist, unter der Bedingung, dass der Dopingtest negativ ausgefallen ist.

%%P(D\vert\overline P)=\frac{P(\overline P\vert D)\cdot P(D)}{P(\overline P)}%%

Setze in den Satz von Bayes die benötigten Angaben ein. Entnehme diese aus den Teilaufgaben a) und b). Berechne zunächst %%P(\overline P)%% über das Gegenereignis.

%%P(\overline P)=1-P(P)=1-0,238=0,762%%

Setze nun die benötigten Angaben ein.

%%P(D\vert\overline P)=\frac{0,01\cdot0,20}{0,762}=0,0026%%

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler gedopt ist, unter der Bedingung, dass der Dopingtest negativ ausgefallen ist, beträgt 0,26 %.