Aufgaben zum Thema bedingte Wahrscheinlichkeit

Bei einer Sportveranstaltung wird ein Dopingtest durchgeführt. Wenn ein Sportler gedopt hat, dann fällt der Test zu 99 $\%$ positiv aus.

Hat ein Sportler aber nicht gedopt, zeigt der Test trotzdem zu 5% ein positives Ergebnis an. Aus Erfahrung weiß man, dass 20 $\%$ der Sportler gedopt sind.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine Dopingprobe positiv ausfällt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Ereignisse
Lege die Ereignisse fest.
$P:=$ "Positives Testergebnis"
$D:=$ "Sportler hat gedopt"
Gegebenen bedingten Wahrscheinlichkeiten
In der Angabe findest du bedingte Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, unter der Bedingung, dass ein Sportler gedopt hat, ist $P(P\left|D)=99\%=0{,}99\right.$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, unter der Bedingung, dass ein Sportler nicht gedopt hat ist $P(P |\overline D)=5\%=0{,}05$ .
Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler gedopt hat, ist $P(D)=20\%=0{,}20$ .
Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit
Gesucht wird die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, also $P(P)$ .
$P(P)=P(P\vert D)\cdot P(D)+P(P\vert\overline D)\cdot P(\overline D)$
Rechne mit dem Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit die gesuchte Wahrscheinlichkeit aus. Berechne dazu zunächst die noch fehlende Wahrscheinlichkeit $P(\overline D)$ . Dies ist die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von D, also $P(\overline D)=1-P(D)$ .
$P(P)=0{,}99\cdot0{,}20+0{,}05\cdot(1-0{,}20)$ $=0{,}198+0{,}04\\=0{,}238\\=23{,}8\%$
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Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass der Test negativ ausfällt, obwohl der Sportler gedopt hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: bedingte Wahrscheinlichkeit
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein gedopter Sportler ein negatives Testergebins erhält, also P $(\overline P\vert D)$ .
Verwende einen Satz über die Summe bedingter Wahrscheinlichkeiten.
$P(\overline P\vert D)=1-P(P\vert D)$
$P(\overline P\vert D)=1-0{,}99=0{,}01$
Ergebnis
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein gedopter Sportler ein negatives Testergebins erhält, beträgt 1 %.
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Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler gedopt hat, wenn seine Dopingprobe negativ ausgefallen ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: bedingte Wahrscheinlichkeit
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler gedopt ist, unter der Bedingung, dass der Dopingtest negativ ausgefallen ist, ist $P(D\vert\overline P)$ .
Der Satz von Bayes besagt:
$P(D\vert\overline P)=\frac{P(\overline P\vert D)\cdot P(D)}{P(\overline P)}$
Entnehme zur Berechnung von $P(D\vert\overline P)$ aus den Teilaufgaben a) und b) die schon berechneten Wahrscheinlichkeiten $P(\overline{P}\vert D)$ und $P(D)$ . Berechne noch $P(\overline P)$ über das Gegenereignis.
$P(\overline P)=1-P(P)=1-0{,}238=0{,}762$
Setze nun die benötigten Angaben ein.
$P(D\vert\overline P)=\frac{0{,}01\cdot0{,}20}{0{,}762}=0{,}0026$
Ergebnis
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sportler gedopt ist, unter der Bedingung, dass der Dopingtest negativ ausgefallen ist, beträgt 0,26 %.
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Die Ereignisse

Gegebenen bedingten Wahrscheinlichkeiten

Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit

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Ergebnis

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Ergebnis

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