Die Normalverteilung oder Gauß-Verteilung ist eine der wichtigsten Verteilungen in der Stochastik und Statistik.

Definition

Dichtefunktion

Hat eine Zufallsgröße %%\text X%% den Erwartungswert %%\mu%%, Varianz %%\sigma^2%% und die Wahrscheinlichkeitsdichte

%%\displaystyle f(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12(\frac{x-\mu}\sigma)^2}%%,

so heißt sie normalverteilt mit den Parametern %%\sigma%% und %%\mu%%, kurz auch %%\mathcal{N(\mu, \sigma^2)}%%-verteilt. Man schreibt %%\text{X}∼\mathcal{ N(\mu, \sigma^2)}%%.

Für %%\mu=0%% und %%\sigma=1%% heißt die Zufallsgröße standardnormalverteilt.

Im Graphen rechts ist die Funktion der Standardnormalverteilung abgebildet. Er heißt allgemein Gaußsche Glockenfunktion.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7651_Uh2HSTgGGF.xml

Die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung ist gegeben durch

%%\displaystyle F(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{x}e^{-\frac12(\frac{t-\mu}\sigma)^2}\text dt%%

Substituiere %%z=\frac{t-\mu}{\sigma}%%.

%%\displaystyle F(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\frac{x-\mu}{\sigma}}e^{-\frac12z^2}\text dz\\ \displaystyle=\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})%%

%%\displaystyle\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} t^2} \mathrm dt%%.

%%\Phi%% ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

Die Werte der Standardnormalverteilung lassen sich im Tafelwerk der Stochastik nachlesen.

Eigenschaften

%%\mathcal{N(\mu,\sigma^2)}%%

  • hat Erwartungswert %%\mu%%.
  • hat Standardabweichung %%\sigma%%.
  • ist symmetrisch zur Symmetrieachse %%y=\mu%%.
  • ist nie 0.

Für %%\Phi(x)%%:

  • %%\Phi(-x)=1-\Phi(x)%%

Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

Für große n kann die Binomialverteilung durch die (Standard-)Normalverteilung angenähert (approximiert) werden. Ist %%\text X\sim\text B(n;p;k)%% so gilt:

%%\displaystyle\text P(\text X\leq k)\approx\Phi\left(\frac{k+0,5-\mu}{\sigma}\right)%% und

%%\displaystyle\text P(l\leq \text X\leq k)\approx\Phi\left(\frac{k+0,5-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{l-0,5-\mu}{\sigma}\right)%%

Hinweis

  • Wie bei jeder Binomialverteilung ist

  • der Erwartungswert %%\mu=n\cdot p%%

  • die Standardabweichung %%\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\text{Var(x)}}=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}%%

  • Nur bei großen Zahlen ist der Fehler durch die Näherung klein.
  • Achte darauf %%+0,5%% und %%-0,5%% richtig in die Formel einzusetzen.

Anwendung

Zufallsgrößen bei denen die meisten Werte innerhalb eines gewissen Bereichs liegen und wenige Ausreißer nach oben und unten haben sind meistens annähernd normalverteilt. Wie zum Beispiel bei

  • der Größe von Menschen
  • dem Gewicht von Kaffeepackungen
  • Messfehlern von Experimenten

Beispiel

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