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Normalverteilung

Die Normalverteilung oder Gauß-Verteilung ist eine der wichtigsten Verteilungen in der Stochastik und Statistik.

Definition

Dichtefunktion

Hat eine Zufallsgröße X\text X den Erwartungswert μ\mu, Varianz σ2\sigma^2 und die Wahrscheinlichkeitsdichte

f(x)=1σ2πe12(xμσ)2\displaystyle f(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12(\frac{x-\mu}\sigma)^2},

so heißt sie normalverteilt mit den Parametern σ\sigma und μ\mu, kurz auch N(μ,σ2)\mathcal{N(\mu, \sigma^2)}-verteilt. Man schreibt XN(μ,σ2)\text{X}∼\mathcal{ N(\mu, \sigma^2)}.

Für μ=0\mu=0 und σ=1\sigma=1 heißt die Zufallsgröße standardnormalverteilt.

Im Graphen rechts ist die Funktion der Standardnormalverteilung abgebildet. Er heißt allgemein Gaußsche Glockenfunktion.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung ist gegeben durch

Substituiere z=tμσz=\frac{t-\mu}{\sigma}.

Φ(x)=12πxe12t2dt\displaystyle\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} t^2} \mathrm dt.

Φ\Phi ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung.

Die Werte der Standardnormalverteilung lassen sich im Tafelwerk der Stochastik nachlesen.

Eigenschaften

  • hat Erwartungswert μ\mu.

  • hat Standardabweichung σ\sigma.

  • ist symmetrisch zur Symmetrieachse y=μy=\mu.

  • ist nie 0.

Für Φ(x)\Phi(x):

  • Φ(x)=1Φ(x)\Phi(-x)=1-\Phi(x)

Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

Für große n kann die Binomialverteilung durch die (Standard-)Normalverteilung angenähert (approximiert) werden. Ist XB(n;p;k)\text X\sim\text B(n;p;k) so gilt:

P(Xk)Φ(k+0,5μσ)\displaystyle\text P(\text X\leq k)\approx\Phi\left(\frac{k+0,5-\mu}{\sigma}\right) und

Hinweis

  • Wie bei jeder Binomialverteilung ist

  • der Erwartungswert μ=np\mu=n\cdot p

  • die Standardabweichung σ=σ2=Var(x)=np(1p)\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\text{Var(x)}}=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}

  • Nur bei großen Zahlen ist der Fehler durch die Näherung klein.

  • Achte darauf +0,5+0,5 und 0,5-0,5 richtig in die Formel einzusetzen.

Anwendung

Zufallsgrößen bei denen die meisten Werte innerhalb eines gewissen Bereichs liegen und wenige Ausreißer nach oben und unten haben sind meistens annähernd normalverteilt. Wie zum Beispiel bei

  • der Größe von Menschen

  • dem Gewicht von Kaffeepackungen

  • Messfehlern von Experimenten

Beispiel

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