Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge von:
x+1+4x+4(x+1)2x3+x2x(x+1)=x2+4x(x+4)(x+1)+5x+15(x+1)(x+3)x+1+\frac{\displaystyle 4x+4}{\displaystyle (x+1)^2}-\frac{\displaystyle x^3+x^2}{\displaystyle x(x+1)}=\frac{\displaystyle x^2+4x}{\displaystyle (x+4)(x+1)}+\frac{\displaystyle 5x+15}{\displaystyle (x+1)(x+3)}
Tipp: Schaue dir jeden Bruch explizit an.Klammere aus und kürze, falls es möglich ist.
Achtung! Die Definitionsmenge bleibt gleich auch wenn die Nenner verschwinden.
D=Q\{4,3,1,0}D=\mathbb Q\backslash\{-4,-3,-1,0\}
Hier empfiehlt es sich zunächst mal die Brüche näher zu analysieren, Faktoren auszuklammern und eventuelle Kürzungen vorzuziehen:
  • 4x+4(x+1)2=4(x+1)(x+1)2=4x+1\frac{\displaystyle 4x+4}{\displaystyle (x+1)^2}=\frac{\displaystyle 4\cdot (x+1)}{\displaystyle (x+1)^2}=\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle x+1}
  • x2+4x(x+4)(x+1)=x(x+4)(x+4)(x+1)=xx+1\frac{\displaystyle x^2+4x}{\displaystyle (x+4)(x+1)}=\frac{\displaystyle x\cdot(x+4)}{\displaystyle (x+4)(x+1)}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle x+1}
  • 5x+15(x+1)(x+3)=5(x+3)(x+1)(x+3)=5(x+1)\frac{\displaystyle 5x+15}{\displaystyle (x+1)(x+3)}=\frac{\displaystyle 5(x+3)}{\displaystyle (x+1)(x+3)}=\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle (x+1)}
  • x3+x2x(x+1)=x2(x+1)x(x+1)=x\frac{\displaystyle x^3+x^2}{\displaystyle x(x+1)}=\frac{\displaystyle x^2(x+1)}{\displaystyle x(x+1)}=x
Dies ergibt, dann:
x+1+4x+4(x+1)2x3+x2x(x+1)=x2+4x(x+4)(x+1)+5x+15(x+1)(x+3)x+1+\frac{\displaystyle 4x+4}{\displaystyle (x+1)^2}-\frac{\displaystyle x^3+x^2}{\displaystyle x(x+1)}=\frac{\displaystyle x^2+4x}{\displaystyle (x+4)(x+1)}+\frac{\displaystyle 5x+15}{\displaystyle (x+1)(x+3)}
x+1+4x+1x=xx+1+5x+1\Rightarrow x+1+\frac{\displaystyle4}{\displaystyle x+1}-x=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle x+1}+\frac{\displaystyle5}{\displaystyle x+1}

x+1+4x+1x=xx+1+5x+1\Rightarrow x+1+\frac{\displaystyle4}{\displaystyle x+1}-x=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle x+1}+\frac{\displaystyle5}{\displaystyle x+1}
4x+1|-\frac{\displaystyle4}{\displaystyle x+1}
x+1x=xx+1+5x+14x+1\Rightarrow x+1-x=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle x+1}+\frac{\displaystyle5}{\displaystyle x+1}-\frac{\displaystyle4}{\displaystyle x+1}
Gleicher Nenner
x+1x=x+54x+1\Rightarrow x+1-x=\frac{\displaystyle x+5-4}{\displaystyle x+1}
Auf beiden Seiten Kürzen
1=1\Rightarrow 1=1
Wir bekommen also unendlich viele Lösungen. Um genau zu sein, ist hier die Lösungsmenge L\mathbb L, die Definitionsmenge, also L=D=Q\{4,3,1,0}\mathbb L=D=\mathbb Q\backslash \{-4,-3,-1,0\}. Denn jedes xDx\in D ist für die Gleichung wohldefiniert und löst die gekürzte Gleichung, die unabhängig von xx ist.
Achtung: Für die Zahlen 4,3,1,0-4,-3,-1,0, die wir aus der Definitionsmenge entfernt haben, ist die Gleichung weiterhin nicht definiert, obwohl sich der Nenner kürzen lässt.