Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge von:

%%x+1+\frac{\displaystyle 4x+4}{\displaystyle (x+1)^2}-\frac{\displaystyle x^3+x^2}{\displaystyle x(x+1)}=\frac{\displaystyle x^2+4x}{\displaystyle (x+4)(x+1)}+\frac{\displaystyle 5x+15}{\displaystyle (x+1)(x+3)}%%

%%D=\mathbb Q\backslash\{-4,-3,-1,0\}%%

Hier empfiehlt es sich zunächst mal die Brüche näher zu analysieren, Faktoren auszuklammern und eventuelle Kürzungen vorzuziehen:

  • %%\frac{\displaystyle 4x+4}{\displaystyle (x+1)^2}=\frac{\displaystyle 4\cdot (x+1)}{\displaystyle (x+1)^2}=\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle x+1}%%

  • %%\frac{\displaystyle x^2+4x}{\displaystyle (x+4)(x+1)}=\frac{\displaystyle x\cdot(x+4)}{\displaystyle (x+4)(x+1)}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle x+1}%%

  • %%\frac{\displaystyle 5x+15}{\displaystyle (x+1)(x+3)}=\frac{\displaystyle 5(x+3)}{\displaystyle (x+1)(x+3)}=\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle (x+1)}%%

  • %%\frac{\displaystyle x^3+x^2}{\displaystyle x(x+1)}=\frac{\displaystyle x^2(x+1)}{\displaystyle x(x+1)}=x%%

Dies ergibt, dann:

%%x+1+\frac{\displaystyle 4x+4}{\displaystyle (x+1)^2}-\frac{\displaystyle x^3+x^2}{\displaystyle x(x+1)}=\frac{\displaystyle x^2+4x}{\displaystyle (x+4)(x+1)}+\frac{\displaystyle 5x+15}{\displaystyle (x+1)(x+3)}%%

%%\Rightarrow x+1+\frac{\displaystyle4}{\displaystyle x+1}-x=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle x+1}+\frac{\displaystyle5}{\displaystyle x+1}%%

%%\Rightarrow x+1+\frac{\displaystyle4}{\displaystyle x+1}-x=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle x+1}+\frac{\displaystyle5}{\displaystyle x+1}%%

%%|-\frac{\displaystyle4}{\displaystyle x+1}%%

%%\Rightarrow x+1-x=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle x+1}+\frac{\displaystyle5}{\displaystyle x+1}-\frac{\displaystyle4}{\displaystyle x+1}%%

Gleicher Nenner

%%\Rightarrow x+1-x=\frac{\displaystyle x+5-4}{\displaystyle x+1}%%

Auf beiden Seiten Kürzen

%%\Rightarrow 1=1%%

Wir bekommen also unendlich viele Lösungen. Um genau zu sein, ist hier die Lösungsmenge %%\mathbb L%%, die Definitionsmenge, also %%\mathbb L=D=\mathbb Q\backslash \{-4,-3,-1,0\}%%. Denn jedes %%x\in D%% ist für die Gleichung wohldefiniert und löst die gekürzte Gleichung, die unabhängig von %%x%% ist.

Achtung: Für die Zahlen %%-4,-3,-1,0%%, die wir aus der Definitionsmenge entfernt haben, ist die Gleichung weiterhin nicht definiert, obwohl sich der Nenner kürzen lässt.