Löse die quadratische Gleichung  2x2+5x+t=3x2+3xt2x^2+5x+t=3x^2+3x-t  in Abhängigkeit vom Parameter tt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Mitternachtsformel



Forme die quadratische Gleichung
2x2+5x+t=3x2+3xt2x^2+5x+t=3x^2+3x-t
so um, dass auf einer Seite die Null steht, und fasse so weit wie möglich zusammen.
x2+2x+2t=0-x^2+2x+2t=0
Lese aa, bb und cc ab.
a=1,  b=2,  c=2ta=-1,\;b=2,\;c=2t
Berechne die Diskriminante D=b24acD=b^2-4ac der Gleichung.
D=224(1)2t=4+8t\begin{array}{l}D=2^2-4\cdot(-1)\cdot2t\\=4+8t\end{array}
Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von tt auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.
D=4(1+2t)=0t=12D=4(1+2t)=0\Leftrightarrow t=-\frac12
Da 1+2t1+2t eine Gerade mit positiver Steigung ist, kannst du das Vorzeichenverhalten der Diskriminante bestimmen und erhältst somit eine Aussage über die Anzahl der Lösungen.
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9359_r5SAfHzM25.xml
t>12D>0t>-\frac12\Rightarrow D>0\Rightarrow zwei Lösungen
t=12D=0t=-\frac12\Rightarrow D=0\Rightarrow eine Lösung
t<12D<0t<-\frac12\Rightarrow D<0\Rightarrow keine Lösung
Wende nun die Mitternachtsformel an, aber beachte dabei die verschiedenen Fälle für die Werte von tt.
t>12:  x1,2=2±4(1+2t)2=1±1+2tt>-\frac12:\;x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{4(1+2t)}}{-2}=1\pm\sqrt{1+2t}
t=12:  x1=1t=-\frac12:\;x_1=1
t<12:t<-\frac12: keine Lösung