Löse die quadratische Gleichung  x2+2dx+9=0x^2+2dx+9=0  in Abhängigkeit vom Parameter dd.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: die Mitternachtsformel

Auf der einen Seite der Gleichung steht bereits eine Null. Lies also die Parameter a,ba,b und cc aus der allgemeinen Form von quadratischen Gleichungen ab.
x2+2dx+9=0x^2+2dx+9=0
a=1,  b=2d,  c=9a=1,\;b=2d,\;c=9
Berechne die Diskriminante D=b24acD=b^2-4ac der Gleichung.
D=(2d)2419=4d236=4(d29)\begin{array}{l}D=(2d)^2-4\cdot1\cdot9\\=4d^2-36=4(d^2-9)\end{array}
Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von dd auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt. Dabei ist die dritte binomische Formel hilfreich.
D=4(d29)=4(d+3)(d3)=0D=4(d^2-9)=4(d+3)(d-3)=0
d=3\Leftrightarrow d=3 oder d=3d=-3
Da die Diskriminante in Abhängigkeit von dd eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, bestimmst du das Vorzeichenverhalten der Diskriminante anhand ihrer Nullstellen und leitest darüber die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit vom Parameter dd her.
Ist d<3d<-3 oder d>3d>3, dann ist DD größer also 0 0\ und es gibt zwei Lösungen. Ist d=3d=-3 oder d=3d=3, dann ist die Diskriminante DD gleich 00, sodass genau eine Lösung existiert. Ist stattdessen d (3,3)d\ \in\left(-3,3\right), so gibt es keine Lösung.
Wende nun die Mitternachtsformel auf die verschiedenen Fälle an, um die Lösungen jeweils zu bestimmen.
Für d<3d<-3 oder d>3 d>3\ ist
x1,2=2d±4(d+3)(d3)2            =d±(d+3)(d3)\begin{array}{l}x_{1,2}=\frac{-2d\pm\sqrt{4\cdot(d+3)\cdot(d-3)}}2\\\;\;\;\;\;\;=-d\pm\sqrt{\textstyle(d+3)\cdot(d-3)}\end{array}
Für d=3d=-3 oder d=3:d=3:
x=2d±02=d\begin{array}{l}x=\frac{-2d\pm\sqrt0}2=-d\\\end{array}
Für d (3,3)d\ \in\left(-3,3\right) existieren keine Lösungen.