Die Diskriminante D einer quadratischen Gleichung %%ax^2+bx+c=0%% ist definiert durch:

$$\style{font-size:18px}{D=b^2-4ac}$$

Die Diskriminante stellt den in der  Mitternachtsformel unter der Wurzel stehenden Term dar:

$$x_{1;2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}$$

An der Diskriminante kann man ablesen, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung besitzt: Für %%D>0%% gibt es zwei, für %%D=0%% eine und für %%D<0%% keine Lösung.

Zusammenhang zwischen Diskriminante und Nullstellen

Vorzeichen der Diskriminante

$$D<0$$

$$D=0$$

$$D>0$$

Anzahl der Lösungen der Mitternachtsformel

keine Lösung, da keine negative Zahl unter der Wurzel sein darf

eine Lösung, da die Wurzel in der Mitternachtsformel 0 wird

zwei Lösungen wegen Plus und Minus in der Mitternachtsformel

Anzahl der Nullstellen

keine Nullstelle

eine doppelte Nullstelle

zwei einfache Nullstellen

Beispiel

$$f(x)=x^2+2 \\ \Rightarrow a=1, b=0, c=2\\ \Rightarrow D=0^2-4 \cdot 1 \cdot 2=-8<0$$

$$f(x)=x^2-4x+4 \\ \Rightarrow a=1,b=-4,c=4 \\ \Rightarrow D=\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot4=0$$

$$f(x)=-x^2+1 \\ \Rightarrow a=-1,b=0,c=1 \\ \Rightarrow D=0^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot1=4>0$$

Graph

Graph Parabel ohne Nullstelle

Graph Parabel doppelte Nullstelle

Graph Parabel zwei einfache Nullstellen

Beispielaufgaben

Zusammenhang von Diskriminante und Schnittstellen zweier Funktionen

Das Wissen über den Zusammenhang von Diskriminante und Nullstellen kann man nun benutzen, um Aussagen über die Existenz von Schnittpunkten von Funktionen zu machen:

Zur Berechnung der Schnittpunkte setzt man die zwei betreffenden Funktionen %%f%% und %%g%% gleich: %%f(x)=g(x)%%

Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage %%f-g=0%%. Daraus folgt nun, dass, falls der Ausdruck %%f-g%% eine quadratische Funktion ist, die Diskriminante von %%f-g%% die Aussage liefert, ob und wie viele Schnittpunkte existieren.

 

Vorzeichen der Diskriminante von %%f-g%%

%%-%%

%%0%%

%%+%%

Beispiel

%%f(x)=x^2+1%% %%g(x)=-x^2-1 \\ f(x)-g(x)=x^2+1 - \left(-x^2-1 \right)=2x^2+2 \\ 2x^2+2=0 \\ D=0^2-4 \cdot 2 \cdot 2=-8%% kein Schnittpunkt

%%f(x)=x^2+1 \\ g(x)=-x^2+1 \\ f(x)-g(x)=x^2+1 - \left(-x^2+1 \right)=2x^2 \\ 2x^2=0 \\ D=0^2-4 \cdot 2 \cdot 0=0%% ein Schnittpunkt: %%(0,1)%%

%%f(x)=x^2 \\ g(x)=-x^2+2 \\ f(x)-g(x)=x^2 - \left(-x^2+2 \right)=2x^2-2 \\ 2x^2-2=0 \\ D=0^2-4 \cdot 2 \cdot (-2)=16%% zwei Schnittpunkte: nach Rechnung erhält man %%(-1,1)%% und %%(1,1)%%

Graph

Graph Parabel kein Schnittpunkt

Graph Parabel ein Schnittpunkt

Graph Parabel zwei Schnittpunkte

Video zum Thema Diskriminante

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