Gegeben sei eine allgemeine quadratische Funktion %%f(x) = ax^2 + bx + c%%. Die Punkte %%\mathrm{R}(1|2)%%, %%\mathrm{Q}(-1|3)%% und %%\mathrm{S}(0|1)%% liegen auf dem Graphen der Funktion %%f%%.

Du möchtest nun mithilfe dieser Informationen auf die Parameter %%a%%, %%b%% und %%c%% schließen.

Stelle ein lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten aa, bb und cc auf.
Tipp: Setze die gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein.

Lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten

Der Funktionsgraph hat die Gleichung y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c.
Wenn ein Punkt auf einem Funktionsgraph liegt, bedeutet das, dass die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.
Aus den gegebenen drei Punkten, kannst du drei Gleichungen aufstellen, die alle erfüllt sein müssen.

Punkt R\mathrm{R} einsetzen

y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c
Setze den Punkt R(12)\mathrm{R}(1|2) in die Gleichung ein.
2=a12+b1+c2 = a\cdot 1^2 + b\cdot 1 + c
Du erhältst deine erste Gleichung.
I2=a+b+c\mathrm{I}\quad 2 = a + b + c

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Punkt Q\mathrm{Q} einsetzen

y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c
Setze den Punkt Q(13)\mathrm{Q}(-1|3) in die Gleichung ein.
3=a(1)2+b(1)+c3 = a\cdot (-1)^2 + b\cdot (-1) + c
Du erhältst deine zweite Gleichung.
II3=ab+c\mathrm{II}\quad 3 = a - b + c

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Punkt S\mathrm{S} einsetzen

y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c
Setze den Punkt S(01)\mathrm{S}(0|1) in die Gleichung ein.
1=a(0)2+b0+c1 = a\cdot (0)^2 + b\cdot 0 + c
Du erhältst deine dritte Gleichung.
III1=c\mathrm{III}\quad 1 = c

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Das Gleichungssystem lautet also:
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2& = &a& + &b& + &c&\\\mathrm{II} &3& = &a& - &b& + &c&\\\mathrm{III} &1& = &&&&&c&\end{array}%%

Löse das Gleichungssystem.
Tipp: Setze die Gleichung III\mathrm{III} in Gleichung I\mathrm{I} und II\mathrm{II} ein. Du erhältst dann ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.
Du hast folgendes Gleichungssystem gegeben:
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2& = &a& + &b& + &c&\\\mathrm{II} &3& = &a& - &b& + &c&\\\mathrm{III} &1& = &&&&&c&\end{array}%%

Aus der dritten Gleichung folgt direkt:
c=1c = 1
Setze c=1c = 1 in die anderen beiden Gleichungen ein:
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I'} &2& = &a& + &b& + &1&\\\mathrm{II'} &3& = &a& - &b& + &1&\\\end{array}%%

Beachte: Die Information der dritten Gleichung steckt nun in den Gleichungen I\mathrm{I'} und II\mathrm{II'}.
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Löse nun das neue Lineare Gleichungssystem. Da die Koeffizienten vor der Variable bb mit unterschiedlichem Vorzeichen und gleichem Betrag sind, bietet sich hierfür das Additionsverfahren an.

Addiere die Gleichung I\mathrm{I'} zu II\mathrm{II'}. Du erhältst eine neue Gleichung I\mathrm{I''}.
%%\begin{array}{rlrl}\mathrm{I'} + \mathrm{II'} \rightarrow \mathrm{I''} &| &5 &= &2a &+ &2 \\\end{array}%%
Löse nach der Unbekannten aa auf.
a=32a = \frac{3}{2}

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Setze a=32a = \frac{3}{2} in Gleichung I\mathrm{I'} ein, um den Parameter bb zu bestimmen.
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I'} &2& = &\frac{3}{2}& + &b& + &1&\\\end{array}%%
Löse nach bb auf.
b=12b = -\frac{1}{2}

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Gib die Lösungsmenge an:
L={(abc)R3a=32 ; b=12 ; c=1}\displaystyle \mathbb{L}=\{(a|b|c) \in \mathbb{R^3}|a=\frac{3}{2}\ ;\ b=-\frac{1}{2} \ ;\ c =1\}