Löse die Gleichungssysteme.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad 3x + 4 = 2y%%

%%\mathrm{II}) \quad 4y = 2x + 10%%

Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad 3x + 4 = 2y%%

%%\mathrm{II}) \quad 4y = 2x + 10%%

1. Beide Gleichungen nach y auflösen**

Löse beide Gleichungen nach einer Variablen auf. In diesem Fall ist %%y%% schon einzeln, also ist es einfacher nach %%y%% aufzulösen.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad 3x + 4 = 2y%%

%%\mid:2%%

%%\mathrm{II}) \quad 4y = 2x + 10%%

%%\mid : 4%%

%%\mathrm{I})' \quad 1,5x + 2 = y%%

%%\mathrm{II})' \quad y = 0,5x + 2,5%%

2. Gleichsetzen

Setze die beiden Gleichungen %%\mathrm{I'}%% und %%\mathrm{II'}%% gleich.

%%\Rightarrow 1,5x + 2 = 0,5x + 2,5%%

3. Gleichung nach x auflösen

%%1,5x + 2 = 0,5x + 2,5%%

%%\mid - 0,5x%%

%%x + 2 = 2,5%%

%%\mid -2%%

%%x = 0,5%%

4. x einsetzen, um y heraus zu finden

Setze %%x%% in %%\mathrm{I'}%% oder %%\mathrm{II'}%% ein.

%%y = 0,5 \cdot 0,5 + 2,5 = 0,25 + 2,5 = 2,75%%

Gib die Lösungsmenge an

%%\displaystyle{L = \left\lbrace \left(0,5 \ ; \ 2,75 \right) \right\rbrace}%%

%%\hphantom{\mathrm{I}} \mathrm{I}) \quad y - 1 = 2x + 3%%

%%\mathrm{II}) \quad 2y - 2 = 5x - 1%%

Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad y-1 = 2x +3%%

%%\mathrm{II}) \quad 2y-2 = 5x - 1%%

1. Beide Gleichungen nach x auflösen

Löse beide Gleichungen nach einer Variablen auf. Zum Beispiel nach der Variablen %%x%%.

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})\quad y-1 = 2x +3\\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})'\quad y-4 = 2x \\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})''\quad 0,5y-2 = x%%

%%| -3%%

%%| :2%%

%%\mathrm{II}) \quad 2y-2 = 5x - 1\\ \mathrm{II})' \quad 2y-1 = 5x\\ \mathrm{II})'' \quad 0,4y-0,2 = x %%

%%| +1%%

%%| :5%%

2. Gleichsetzen

Setze die beiden Gleichungen %%\mathrm{I''}%% und %%\mathrm{II''}%% gleich.

%%\Rightarrow 0,5y-2 = 0,4y-0,2%%

3. Gleichung nach y auflösen

%%0,5y-2 = 0,4y-0,2%%

%%0,5y = 0,4y+1,8%%

%%0,1y = 1,8%%

%%y = 18%%

%%| +2%%

%%|-0,4y%%

%%| : 0,1%%

4. y einsetzen, um x heraus zu finden

%%y%% in %%\mathrm{I''}%% einsetzen

%%0,5\cdot 18 -2 = x = 9-2 = 7%%

%%L = \{(7,18)\}%%

Gib die Lösungsmenge an

%%\hphantom{\mathrm{I}} \mathrm{I}) \quad 2x + 3y = 4x - 5%%

%%\mathrm{II}) \quad 3x - 2y = 2y + 8%%

Lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren

%%\hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) \quad 2x+3y = 4x -5%%

%%\mathrm{II}) \quad 3x-2y = 2y+8%%


1. Beide Gleichungen nach einer Variable auflösen

Löse beispielsweise nach %%y%% auf

%%\begin{array}{lrl} \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I}) & 2x+3y &= &4x -5 \\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})' & 3y &= &2x -5 \\ \hphantom{\mathrm{I}}\mathrm{I})'' & y &= &\frac{2}{3}x - \frac{5}{3} \end{array}%%

%%| -2x%%

%%| :3%%


%%\begin{array}{lrl} \mathrm{II}) & 3x-2y &= &2y+8 \\ \mathrm{II})' & 3x-8 &= &4y \\ \mathrm{II})'' & \frac{3}{4}x-2 &= &y \end{array}%%

%%|+2y \qquad |-8\\ | :4%%

2. Gleichsetzen

Setze %%\mathrm{I'}%% und %%\mathrm{II'}%% gleich.

%%\begin{array}{lrl}\Rightarrow &\frac{3}{4}x-2 &= &\frac{2}{3}x-\frac{5}{3} \end{array}%%

3. Nach der einen Variable auflösen

Löse nach %%x%% auf.

%%\begin{array}{rrl} \frac{3}{4}x-2 &= &\frac{2}{3}x-\frac{5}{3} \\ \frac{3}{4}x-\frac{2}{3}x-2 &= &-\frac{5}{3} \\ \frac{9}{12}x-\frac{8}{12}x &= &-\frac{5}{3} +2 \\ \frac{1}{12}x &= &\frac{1}{3} \\ x &= &4 \\ \end{array}%%

%%| -\frac{2}{3}x \\ | +2 \phantom{\frac{0}{0}}\\ \phantom{\frac{0}{0}} \\ | \cdot12%%

4. In eine Gleichung einsetzten, um die andere Variable heraus zu finden

Setze %%x%% beispielsweise in %%\mathrm{II'}%% ein.

%%\begin{array}{rl} \frac{3}{4}\cdot (4)-2 &= &y \\ 3-2 &= &y \\ y &= &1 \end{array}%%

%%L = \{(4,1)\}%%

%%4%% wird für %%x%% eingesetzt. %%\quad \\ \quad%%

Lösungsmenge angeben!