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Welche der folgenden Systeme ist ein lineares Gleichungssystem? Markiere alle zutreffenden Antworten.
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2& = &a& + &b& + &c&\\\mathrm{II} &3& = &a& - &b& + &c&\\\mathrm{III} &1& = &&&&&c&\end{array}%%
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &x& + &y& = &2&\\\mathrm{II} &5& - &y& = &4&\\\end{array}%%
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &x& = &1\\\mathrm{II} &y& = &2\\\end{array}%%
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &x& = &0\\\mathrm{II} &x& = &2&\\\end{array}%%
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &\frac7x&-&\frac{12}y&=&\frac56\\\mathrm{II} &x&-&y& = &2\\\end{array}%%
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &-3& = &x& + &2y&\\\mathrm{II} &1& = &x^2& + &y&\\\end{array}%%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Gleichungsystem

Überlege dir, was ein lineares Gleichungssystem überhaupt ist:
  • Mehrere Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen, nennt man Gleichungssystem.
  • Wenn zusätzlich noch jede Variable höchstens mit dem Exponenten 11 auftaucht, wird es Lineares Gleichungssystem genannt.
Überprüfe nun die beiden Kriterien.
Du erkennst, dass…
I7x12y=56IIxy=2\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &\frac7x&-&\frac{12}y&=&\frac56\\\mathrm{II} &x&-&y& = &2\\\end{array}
… kein Lineares Gleichungssystem ist, weil in der ersten Gleichung sowohl xx als auch yy den Exponenten 1-1 haben.
Du erkennst weiter, dass…
I3=x+2yII1=x2+y\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &-3& = &x& + &2y&\\\mathrm{II} &1& = &x^2& + &y&\\\end{array}
… kein Lineares Gleichungssystem ist, weil xx in der zweiten Gleichung mit dem Exponenten 22 auftaucht.
In allen anderen Fällen sind beide Kriterien erfüllt. Es handelt es sich somit um lineare Gleichungssysteme.
Wie viele Lösungen hat folgendes lineares Gleichungssystem?
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &-3& = &x& + &2y&\\\mathrm{II} &1& = &x& + &2y&\\\end{array}%%
keine
unendlich viele
genau eine

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösbarbarkeit von Gleichungssystemen

Du zeigst, dass die Gleichungen I\mathrm{I} und II\mathrm{II} nicht gleichzeitig erfüllt sein können. Dabei verwendest du am besten das Subtraktionsverfahren.
Subtrahiere Gleichung II\mathrm{II} von Gleichung I\mathrm{I}.
III  4=0\begin{array}{rlrl}\mathrm{I} - \mathrm{II} \;\rightarrow &-4 &= &0 \\\end{array}
Die Gleichung ist offensichtlich falsch. Damit ist auch das gegebene Gleichungssystem falsch und hat keine Lösung.
Die Lösungsmenge ist somit L={}\mathbb{L}=\{\}.
Wie viele Lösungen hat folgendes Gleichungssystem?
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &\frac{9}{2}x&-&\frac{3}{2}y&=&3\\\mathrm{II} &3x& = &2&+&y\\\end{array}%%
unendlich viele
genau eine
keine

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösbarkeit von Gleichungssystemen

Du zeigst, dass die Gleichungen I\mathrm{I} und II\mathrm{II} äquivalent sind. Das heißt, jedes xx und yy, das Gleichung I\mathrm{I} löst, liefert auch für Gleichung II\mathrm{II} eine wahre Aussage.
Eine Möglichkeit, dies zu zeigen, ist das Einsetzungsverfahren.
Stelle zunächst Gleichung II\mathrm{II} nach y um.
II3x=2+y2\begin{array}{rrll}\mathrm{II} &3x& = &2&+&y &\vert -2\\\end{array}
II3x2=y\begin{array}{lrll}\mathrm{II}' &3x&-&2& = &y\\\end{array}
Setze nun II\mathrm{II}' in Gleichung I\mathrm{I} ein. Du erhältst die neue Gleichung I\mathrm{I'}.
I92x32(3x2)=3\begin{array}{rrll}\mathrm{I'} &\frac{9}{2}x&-&\frac{3}{2}(3x - 2)&=&3\\\end{array}
Fasse die linke Seite der Gleichung zusammen.
I3=3\begin{array}{rrll}\mathrm{I'} &3&=&3\\\end{array}
Die Gleichung I\mathrm{I'} ist wahr und zwar unabhängig von xx. Es gibt also unendlich viele Lösungen.

L={(xy)  y=3x2}\mathbb{L}=\{(x|y)|\;y=3x-2\}
Wie viele Lösungen hat folgendes lineares Gleichungssystem?
%%\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2x&+&y&=&\frac56\\\mathrm{II} &x&-&2y& = &2\\\end{array}%%
genau eine
unendlich viele
keine

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösbarkeit der Gleichungssysteme

Ein lineares Gleichungssystem hat genau eine Lösung, wenn es eindeutig nach xx und yy aufgelöst werden kann.
Um das herauszufinden, bietet sich das Einsetzungsverfahren an, da man zum Beispiel Gleichung I\mathrm{I} sehr einfach nach yy umstellen kann.
Stelle zunächst Gleichung I\mathrm{I} nach yy um.
I2x+y=562x\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2x&+&y& = &\frac{5}{6} & \vert -2x\\\end{array}
Iy=562x\begin{array}{rrll}\mathrm{I'} &y& = &\frac{5}{6}&-&2x\\\end{array}
Setze nun I\mathrm{I'} in Gleichung II\mathrm{II} ein. Du erhältst die neue Gleichung II\mathrm{II'}.
IIx2(562x)=2\begin{array}{rrll}\mathrm{II'} &x&-&2(\frac56 - 2x)&=&2\\\end{array}
Fasse die linke Seite zusammen.
II5x53=2\begin{array}{rrll}\mathrm{II'} &5x&-&\frac53&=&2\\\end{array}
Löse nach xx auf.
x=1115x = \frac{11}{15}
x=1115x = \frac{11}{15} zum Beispiel in Gleichung I\mathrm{I} ein, um yy zu bestimmen.
I2(1115)+y=56\begin{array}{rrll}\mathrm{I} &2\cdot(\frac{11}{15})&+&y& = &\frac{5}{6}\\\end{array}
Löse nach yy auf.
y=1930y = -\frac{19}{30}
Es gibt also genau eine Lösung.