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Welche der folgenden Systeme ist ein lineares Gleichungssystem? Markiere alle zutreffenden Antworten.

In Gleichung %%\mathrm{II}%% kommt das %%x%% als zweite Potenz vor.

Die Gleichung %%\mathrm{I}%% ist eine Bruchgleichung und damit nicht linear.

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Überlege dir, was ein lineares Gleichungssystem überhaupt ist:

%%\;%%

Mehrere Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen, nennt man Gleichungssystem.

Wenn zusätzlich noch jede Variable höchstens mit dem Exponenten %%1%% auftaucht, wird es Lineares Gleichungssystem genannt.

%%\;%%

Überprüfe nun die beiden Kriterien.

%%\;%%

Du erkennst, dass…

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &\frac7x&-&\frac{12}y&=&\frac56\\ \mathrm{II} &x&-&y& = &2\\ \end{array}%%

… kein Lineares Gleichungssystem ist, weil in der ersten Gleichung sowohl %%x%% als auch %%y%% den Exponenten %%-1%% haben.

%%\;%%

Du erkennst weiter, dass…

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &-3& = &x& + &2y&\\ \mathrm{II} &1& = &x^2& + &y&\\ \end{array}%%

… kein Lineares Gleichungssystem ist, weil %%x%% in der zweiten Gleichung mit dem Exponenten %%2%% auftaucht.

%%\;%%

In allen anderen Fällen sind beide Kriterien erfüllt. Es handelt es sich somit um Lineare Gleichungssysteme.

Wie viele Lösungen hat folgendes lineares Gleichungssystem?

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &-3& = &x& + &2y&\\ \mathrm{II} &1& = &x& + &2y&\\ \end{array}%%

Schau dir die Gleichungen nochmal an. %%x + 2y%% kann nicht gleichzeitig gleich %%3%% und gleich %%-1%% sein!

Die Gleichungen sind nicht identisch!

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Du zeigst, dass die Gleichungen %%\mathrm{I}%% und %%\mathrm{II}%% nicht gleichzeitig erfüllt sein können. Dabei verwendest du am besten das Subtraktionsverfahren.

%%\;%%

Subtrahiere Gleichung %%\mathrm{II}%% von Gleichung %%\mathrm{I}%%.

%%\begin{array}{rlrl} \mathrm{I} - \mathrm{II} \;\rightarrow &-4 &= &0 \\ \end{array}%%

Die Gleichung ist offensichtlich falsch. Damit ist auch das gegebene Gleichungssystem falsch und hat keine Lösung.

Die Lösungsmenge ist somit %%\mathbb{L}=\{\}%%.

Wie viele Lösungen hat folgendes Gleichungssystem?

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &\frac{9}{2}x&-&\frac{3}{2}y&=&3\\ \mathrm{II} &3x& = &2&+&y\\ \end{array}%%

Wenn du die Gleichungen umformst, siehst du, dass sie identisch sind!

Nein. Die Gleichungen sehen zwar auf den ersten Blick verschieden aus, aber wenn du sie umformst, siehst du, dass sie identisch sind!

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Du zeigst, dass die Gleichungen %%\mathrm{I}%% und %%\mathrm{II}%% äquivalent sind. Das heißt, jedes %%x%% und %%y%%, das Gleichung %%\mathrm{I}%% löst, liefert auch für Gleichung %%\mathrm{II}%% eine wahre Aussage.

Eine Möglichkeit, dies zu zeigen, ist das Einsetzungsverfahren.

%%\;%%

Stelle zunächst Gleichung %%\mathrm{II}%% nach y um.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II} &3x& = &2&+&y\\ \end{array}%%

%%|-2%%

%%\begin{array}{lrll} \mathrm{II}' &3x&-&2& = &y\\ \end{array}%%

%%\;%%

Setze nun %%\mathrm{II}'%% in Gleichung %%\mathrm{I}%% ein. Du erhältst die neue Gleichung %%\mathrm{I'}%%.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I'} &\frac{9}{2}x&-&\frac{3}{2}(3x - 2)&=&3\\ \end{array}%%

Fasse die linke Seite der Gleichung zusammen.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I'} &3&=&3\\ \end{array}%%

Die Gleichung %%\mathrm{I'}%% ist wahr und zwar unabhängig von %%x%%. Es gibt also unendlich viele Lösungen.

%%\mathbb{L}=\{(x|y)|\;y=3x-2\}%%

Wie viele Lösungen hat folgendes lineares Gleichungssystem?

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &2x&+&y&=&\frac56\\ \mathrm{II} &x&-&2y& = &2\\ \end{array}%%

Die Gleichungen sind (auch nach Umformungen) nicht identisch!

Versuche nochmal das Gleichungssystem zu lösen. Entsteht dabei wirklich eine falsche Aussage (wie z. B. %%5=7%%)? Wenn nicht, dann gibt es mindestens eine Lösung!

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Ein Lineares Gleichungssystem hat genau eine Lösung, wenn es eindeutig nach %%x%% und %%y%% aufgelöst werden kann.

Um das herauszufinden, bietet sich das Einsetzungsverfahren an, da man zum Beispiel Gleichung %%\mathrm{I}%% sehr einfach nach %%y%% umstellen kann.

%%\;%%

Stelle zunächst Gleichung %%\mathrm{I}%% nach y um.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &2x&+&y& = &\frac{5}{6}\\ \end{array}%%

%%|-2x%%

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I'} &y& = &\frac{5}{6}&-&2x\\ \end{array}%%

%%\;%%

Setze nun %%\mathrm{I'}%% in Gleichung %%\mathrm{II}%% ein. Du erhältst die neue Gleichung %%\mathrm{II'}%%.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II'} &x&-&2(\frac56 - 2x)&=&2\\ \end{array}%%

Fasse die linke Seite zusammen.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{II'} &5x&-&\frac53&=&2\\ \end{array}%%

Löse nach %%x%% auf.

%%x = \frac{11}{15}%%

%%\;%%

%%x = \frac{11}{15}%% zum Beispiel in Gleichung %%\mathrm{I}%% ein, um %%y%% zu bestimmen.

%%\begin{array}{rrll} \mathrm{I} &2\cdot(\frac{11}{15})&+&y& = &\frac{5}{6}\\ \end{array}%%

Löse nach %%y%% auf.

%%y = -\frac{19}{30}%%

%%\;%%

Es gibt also genau eine Lösung.