Das Gaußverfahren ist ein Verfahren, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Dabei wird das Additionsverfahren auf die erweiterte Koeffizientenmatrix angewandt.

Die Koeffizientenmatrix wird so umgeformt, dass auf der Diagonalen nur noch Einsen und sonst überall Nullen stehen:

$$\left(\begin{array}{ccccc|c} 1&0&\dots&\dots&0&b_1\\ 0&1&0&\dots&0&b_2\\ \vdots&&\ddots&&\vdots&\vdots\\ 0&\dots&0&1&0&b_{n-1}\\ 0&\dots&\dots&0&1&b_n \end{array}\right)$$

Dann lässt sich in der Spalte ganz rechts der Lösungsvektor %%\vec{b}=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\b_n\end{pmatrix}%% ablesen.

Was heißt Lösungsvektor?

Die Einträge des Lösungsvektors sind die einzelnen Lösungen der Variablen des Gleichungssystems. Sind zum Beispiel in einem Gleichungssystem die Unbekannten %%x,y%% und %%z%%, stehen im Lösungsvektor drei Einträge für die Werte dieser Unbekannten. Setzt man die Werte für die Unbekannten ein, werden alle Gleichungen des Gleichungssystems erfüllt.

Beispiel

In folgendem Beispiel werden das Additionsverfahren am Gleichungssystem und das Gaußverfahren an der Koeffizientenmatrix gegenübergestellt.

Gleichungssystem

Erweiterte Koeffizientenmatrix

Rechenschritt

$$\begin{array}{ccccccccc} \mathrm{I}&2x&-&4y&=&0\\ \mathrm{II}&\frac12x&+&y&=&\frac34 \end{array}$$

$$\left(\begin{array}{cc|c} 2&-4&0\\ \frac12&1&\frac34 \end{array}\right)$$

erste Zeile %%:2%% und %%2\cdot%% zweite Zeile

$$\begin{array}{ccccccccc} \mathrm{I}&x&-&2y&=&0\\ \mathrm{II}&x&+&2y&=&\frac32 \end{array}$$

$$\left(\begin{array}{cc|c} 1&-2&0\\ 1&2&\frac32 \end{array}\right)$$

zweite Zeile - erste Zeile

$$\begin{array}{ccccccccc} \mathrm{I}&x&-&2y&=&0\\ \mathrm{II}&&&4y&=&\frac32 \end{array}$$

$$\left(\begin{array}{cc|c} 1&-2&0\\ 0&4&\frac32 \end{array}\right)$$

zweite Zeile %%:4%%

$$\begin{array}{ccccccccc} \mathrm{I}&x&-&2y&=&0\\ \mathrm{II}&&&y&=&\frac38 \end{array}$$

$$\left(\begin{array}{cc|c} 1&-2&0\\ 0&1&\frac38 \end{array}\right)$$

erste Zeile + %%2\cdot%% zweite Zeile

$$\begin{array}{ccccccccc} \mathrm{I}&x&&&=&\frac34\\ \mathrm{II}&&&y&=&\frac38 \end{array}$$

$$\left(\begin{array}{cc|c} 1&0&\frac34\\ 0&1&\frac38 \end{array}\right)$$

Jetzt kann man die Lösungen ablesen:

%%x=\frac34,\; y=\frac38%% bzw. %%\vec{b}=\begin{pmatrix}\frac34\\ \frac38\end{pmatrix}%%

Gaußverfahren Schritt für Schritt

Wie auch beim Additionsverfahren kann man beim Gaußverfahren auf verschiedenen Wegen zum Ziel gelangen. Mit der Zeit entwickelt man einen Blick für geschickte Rechenschritte. Im Folgenden wird ein Vorgehen beschrieben, das zwar oft nicht das geschickteste ist, jedoch immer funktioniert.

Es wir anhand einer sogenannten %%4\times4%%-Matrix, also eine Matrix die vier Zeilen und vier Spalten (und die Spalte für die konstanten Werte) hat, vorgeführt. Es funktioniert jedoch auch für größere oder kleinere Matrizen.

Gleichungssystem

Im folgenden Gleichungssystem sind %%w,x,y,z%% Variablen und %%w_i, x_i, y_i, z_i%% (wobei i für die Zahlen von 1 bis 4 steht) die dazu gehörenden Koeffizienten aus %%\mathbb{R}%%. Die %%b_i%% sind ebenfalls aus %%\mathbb{R}%% und bezeichnen die konstanten Terme.

$$\begin{array}{cccccc} \mathrm{I}&w_1\cdot w&+&x_1\cdot x&+&y_1\cdot y&+&z_1\cdot z&=&b_1\\ \mathrm{II}&w_2\cdot w&+&x_2\cdot x&+&y_2\cdot y&+&z_2\cdot z&=&b_2\\ \mathrm{III}&w_3\cdot w&+&x_3\cdot x&+&y_3\cdot y&+&z_3\cdot z&=&b_3\\ \mathrm{IV}&w_4\cdot w&+&x_4\cdot x&+&y_4\cdot y&+&z_4\cdot z&=&b_4 \end{array}$$

Zugehörige erweiterte Koeffizientenmatrix

$$\left(\begin{array}{cccc|c} w_1&x_1&y_1&z_1&b_1\\ w_2&x_2&y_2&z_2&b_2\\ w_3&x_3&y_3&z_3&b_3\\ w_4&x_4&y_4&z_4&b_4\\ \end{array}\right)$$

1. Schritt

Man erzeugt in der ersten Spalte lauter Einsen, indem man jede Zeile durch ihren ersten Eintrag (blau markiert) teilt.

1. Schritt

2. Schritt

Man subtrahiert von der zweiten (dritten,…. letzten) Zeile die erste Zeile.

Jetzt "passt" schon die erste Spalte.

2. Schritt

Bemerke: Damit die Grafiken übersichtlich bleiben, werden lange Terme durch neue Bezeichnungen ersetzt! Hier:

%%\frac{x_1}{w_1}:=\tilde{x_1}, \frac{y_2}{w_2}:=\tilde{y_2},%% usw.

Die beiden ersten Schritte wiederholt man nun für die oben markierte kleinere Matrix und danach weiter bis auf der Diagonalen lauter Einsen und darunter Nullen stehen:

3. Schritt

3. Schritt

Nun müssen noch alle Zahlen oberhalb der Einsen zu Nullen werden. Dazu arbeitet man sich von unten nach oben durch. Als Erstes wird %%z'_3%% eliminiert, indem man von der dritten Zeile das %%z'_3%%-fache der vierten Zeile subtrahiert.

An der Stelle berechnet sich dann nämlich %%z'_3-z'_3\cdot1=0%%.

3. Schritt Teil 1

Auf dem selben Weg werden die Nullen an den Stellen von %%z'_2%% und %%\tilde{z}_1%% erzeugt.

3. Schritt Teil 2

Man verfährt weiter so, um die übrigen Einträge zu eliminieren:

3. Schritt Teil 3

Nun kann man ganz rechts den Lösungsvektor ablesen.

Beispielaufgaben

Mehr zum Thema auf unserer Partnerseite www.brinkmann-du.de

Kommentieren Kommentare

Zu article Gaußverfahren: Farbliche Markierung
Lisa_K 2015-11-03 15:45:56
Vielleicht markiert ihr die Werte, mit den gerade gearbeit wird in Farbe, damit man dem Artikel leichter folgen kann!
Nessa 2015-11-09 12:56:43
Hallo Lisa_K,

schön, dass wir mit deiner Hilfe unseren Artikel überarbeiten konnten!
Ich würde mich sehr über ein Feedback zur Umsetzung deiner Verbesserungsvorschläge freuen.

Liebe Grüße,
Nessa
Antwort abschicken
Zu article Gaußverfahren: Ziel des Gaußverfahrens
Lisa_K 2015-11-03 15:40:19
Gleich am Anfang neben die vier Gleichungen auch die Matrix setzen, damit man einen Bezug hat, wie es am Ende auszusehen hat.
Vielleicht ganz am Anfang bei "Schritt für Schritt" einmal erläutern, warum wir die Matrix nehmen. Wo kommen die Daten für die Matrix her? Nochmal drauf eingehen, dass man bei vier Unbekannten auch mindestens vier vollständige Funktionen braucht, aus der man die Matrix überhaupt ableiten kann. Oft springt man ja in den Artikel rein und muss deswegen nochmal eingeleitet werden.
Antwort abschicken
Zu article Gaußverfahren: Ziel des Gaußverfahrens
Lisa_K 2015-11-03 15:40:16
Gleich am Anfang neben die vier Gleichungen auch die Matrix setzen, damit man einen Bezug hat, wie es am Ende auszusehen hat.
Vielleicht ganz am Anfang bei "Schritt für Schritt" einmal erläutern, warum wir die Matrix nehmen. Wo kommen die Daten für die Matrix her? Nochmal drauf eingehen, dass man bei vier Unbekannten auch mindestens vier vollständige Funktionen braucht, aus der man die Matrix überhaupt ableiten kann. Oft springt man ja in den Artikel rein und muss deswegen nochmal eingeleitet werden.
Antwort abschicken