Die n-te Wurzel ( %%n\geq2%% ) einer Zahl %%a\in ℝ_0^+%% , bezeichnet als %%\sqrt[n]a%% ist diejenige Zahl, die man mit n potenzieren muss ( "hoch n nehmen") um a zu erhalten. Anders gesagt: Die Lösung der Gleichung %%x^n=a%% bezeichnet man als %%\sqrt[n]a%% .

Zum Beispiel ist %%\sqrt[3]{27}=3%% , denn %%3^3=27%% .

Wurzeln aus negativen Zahlen sind nicht zugelassen, da es für %%n%% gerade die Gleichung %%x^n=a%% keine Lösung gibt, weil die gerade Potenz einer reellen Zahl nie negativ werden kann. Zwar gibt es für %%n%% ungerade eine Gleichung %%x^n=a%% für negative %%a%%, allerdings gelten dann die Potenzgesetze teilweise nicht mehr.

z.B: %%\sqrt[4]{-1}%% ist nicht definiert, denn %%x^4=\left(x^2\right)^2=-1%% besitzt keine Lösung in den reellen Zahlen.

z.B. %%-2\;=\;\sqrt[3]{-8}\;\neq\;\sqrt[6]{(-8)^2}\;=\sqrt[6]{64}\;=\;\sqrt[3]8\;=2%%

Im Falle %%\mathrm n=2%% spricht man von der Quadratwurzel und schreibt statt %%\sqrt[2]a%% einfach %%\sqrt a%% .

Was ist was bei der n-ten Wurzel?

$$\sqrt[n]x$$

  • Das %%n%% nennt man Wurzelexponent.
  • Das %%x%% nennt man Radikand.
  • %%\sqrt[n]x%% nennt man einen Wurzelterm oder auch eine n-te Wurzel.

Beispiele

  1. %%\begin{array}{l}\sqrt[3]{125}=5\\\end{array}%% , denn %%5^3=125%% .

  2. %%\sqrt[4]{-3}%% ist nicht definiert, denn %%x^4=\left(x^2\right)^2=-3%% besitzt keine Lösung in den reellen Zahlen.

  3. %%\sqrt[4]{48}=\sqrt[4]3\cdot2%% , denn %%48\;=\;3\;\cdot\;16%% , wobei %%\begin{array}{l}2^4\;=\;16\\\end{array}%% und %%\sqrt[4]3%% sich nicht vereinfachen lässt.

Rechenregeln

%%\sqrt[\mathrm n]{\mathrm a}\;\cdot\;\sqrt[\mathrm n]{\mathrm b}=\sqrt[\mathrm n]{\mathrm a\cdot\mathrm b}%%

%%\frac{\sqrt[n]a}{\sqrt[n]b}=\sqrt[n]{\frac ab}%%

%%\sqrt[\mathrm n]{\mathrm a}=\mathrm a^\frac1{\mathrm n}%%

%%\mathrm a^\frac mn=\sqrt[n]{\mathrm a^m}=\left(\sqrt[n]a\right)^m%%

%%\sqrt[\mathrm m]{\sqrt[\mathrm n]{\mathrm a}}=\sqrt[{\mathrm m\cdot\mathrm n}]{\mathrm a}%%

 

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Zu article Höhere Wurzel:
Hauke 2018-01-08 19:44:37
"Zwar gibt es für n ungerade eine Gleichung xn=a für negative a, allerdings gelten dann die Potenzgesetze teilweise nicht mehr." Ich denke, dass hier eine genauere Erläuterung an einem Beispiel gut wäre, um zu klären, was genau nicht mehr gilt. Das Beispiel aus Wikipedia zeigt ja die Problematik, aber vielleicht nicht auf den ersten Blick. Andererseits ist x=-2 eine Lösung für x^3=-8 - problematisch ist erst die Quadrierung der Wurzel, was aber für gerade Exponenten mit negativen Ergebnissen genauso problematisch wäre, denn x^2 = -1 hat keine Lösung, aber (x^3)^2 = (-1)^2 hat die Lösung 1, denn 1^6 = (-1)^2 . Daher ist das Quadrieren von Gleichungen auch keine Äquivalenzumformung. Passend zur Definition mit "Verbot" negativer Werte in einer Wurzel wäre dann die Schreibweise einer negativen Lösung einer Gleichung mit einer Potenz mit ungeradem Exponenten, wie in dem ersten Vorschlag bei Wikipedia - das Vorzeichen einfach vor die Wurzel setzen, die Lösung von x^3 = -8 wird geschrieben: x = - 3sqrt(8)

Bei den Beispielen 1.-3. schlage ich vor, ein 4. mit einer ungeraden Wurzel und einem negativen Wert einzubeziehen, z.B. - 3sqrt(125) = -5 Sobald das Vorzeichen vor den Wurzelausdruck gezogen wird, gelten alle Potenzgesetze. Zum Verständnis des 2.Beispiels wiederhole ich auch gerne "minus mal minus gibt plus" und wenn ich das in einer geraden Anzahl habe, kann es nur positive Ergebnisse geben, bei einer Ungeraden für negative Werte negative Lösungen, für positive Werte positive Lösungen - vielleicht lässt sich dies auch irgendwie in den artikel einbeziehen.

Ich hatte das Thema heute in der 9.Klasse und fand auch als typische Anwendung die Seitenlänge eines Würfels mit gegebenem Volumen anschaulich für Kubikwurzeln, das könnte hier auch gut passen.

Schöne Grüße, Hauke
Renate 2018-01-08 22:14:42
Hallo Hauke,
erstmal vielen Dank für das ausführliche Feedback!

Der Artikel sollte meiner Meinung nach in der Tat in mancherlei Hinsicht überarbeitet und verbessert werden - ich dachte mir das schon, als ich vor Weihnachten auf genau dieselbe Stelle stieß, die du zu Beginn ansprichst:

Beim Artikel "Potenzfunktion" (https://de.serlo.org/1687) hatte seagull nämlich eine Diskussion gestartet, die letzlich gerade auf das Thema mit den ungeraden Wurzeln aus negativen Zahlen hinauslief. Es ging um den Definitionsbereich der Potenzfunktion %%x\mapsto x^s%% für z. B. %%s=\frac{1}{3}%%.

Ich habe mich dann dort (an dritter Stelle) in die Diskussion eingeschaltet und argumentiert, warum meiner Meinung nach dieser Definitionsbereich doch nicht %%\mathbb {R}%%, sondern nur %%\mathbb {R}_0^+%% ist.

Bevor ich jetzt hier lange weiterschreibe, würde ich dich bitten - wenn es dir nichts ausmacht - die Diskussion dort durchzulesen und dir eine Meinung dazu zu bilden.

(Es ist nämlich recht mühsam, hier in der Diskussion Formelcode zu schreiben, und ich fände es dann eigentlich sinnvoller, wenn ich oder irgendwer sonst die Begründung gleich in den Artikel schreibt, falls wir zu einer Einigung kommen - ich habe nur gezögert, das damals gleich zu machen, zumal es ja anscheinend - wie ich aus dem Wikipedia-Artikel jetzt entnommen habe - tatsächlich verschiedene Meinungen gibt?).

Ich bin gespannt auf deine Antwort.

Viele Grüße
Renate
Hauke 2018-02-06 21:43:22
ich schau mir die Diskussion mal demnächst an :-)
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