Vorübungen zur Polynomdivision - Subtraktion von Polynomen

Polynome subtrahiert man der besseren Übersichtlichkeit wegen oft spaltenweise.

Beispiel:

Gegeben sind die beiden Polynomfunktionen$$f(x) = 3x^4-2x^3+x^2-1\quad\text{und}\quad g(x)= 2x^4+x^3-2x^2+x$$ Berechne %%f(x)-g(x)%%.

%%\begin{align}f(x)-g(x) &=(3x^4-2x^3+x^2-1)-(2x^4+x^3-2x^2+x)\\ \;\;\;&=3x^4-2x^3+x^2-1-2x^4-x^3+2x^2-x\\ &=x^4-3x^3+3x^2-x-1\end{align}%%

Die Rechnung wird übersichtlicher, wenn man die beiden Polynome für %%f(x)%% und %%g(x)%% untereinander schreibt und darauf achtet, dass die Glieder mit gleichen Exponeten genau untereinander stehen.

  1. Weg

2.Weg

Wer lieber spaltenweise addiert, der bildet zuerst %%\color{red}{-}g(x)%%.

Hinweise

Achte vor jeder Rechnung darauf, dass die Polynome nach fallenden Exponenten ihrer Glieder geordnet sind. Dies erreichst du durch eventuelles Umstellen der Glieder. Nur dadurch bleibt die Rechnung - auch bei späteren Polynomdivisionen - übersichtlich und du vermeidest Flüchtigkeitsfehler. Die beiden Polynome 4.Grades in diesem Beispiel sind bereits "geordnet".

Achte auch auf folgende Stolperfallen, die hier oft Ärger verursachen:

Es gilt z.B. %%x^2-(-2x^2)=x^2+2x^2=3x^2%%.

Beachte auch, dass beim Übergang von %%g(x)%% zu %%\color{red}{-}g(x)%% %%\color{red}{\text{alle}}%% Glieder des Polynoms ihr Rechenzeichen ändern.

Bilde für folgende Aufgaben die Differenz %%f(x)-g(x)%%.

%%\begin{align} f(x) &=\;\;x^4-2x^3+\;x^2-x+2\\ g(x) &=2x^4+\;\,x^3-3x^2-x-3 \end{align}%%

Klicke an was stimmt!

Hier ist %%f(x)+g(x)%% gebildet!

Der Fehler liegt beim linearen Glied!

prima!

%%\begin{align} f(x) &=x^4-2x^3+x^2-x+2\\g(x) &=2x^4+x^3-3x^2-x-3\end{align}%%

Bilde %%\color{red}{-}g(x)%% und addiere dann %%f(x)%% und %%\color{red}{-}g(x)%% spaltenweise.

%%\begin{align} f(x) &=\quad \,x^4-2x^3+\;\;\;x^2-x+2\\\color{red}{-}g(x) &=\underline{\color{red}{-}2x^4\,\color{red}{-}\;x^3\;\color{red}{+}3x^2\;\color{red}{+}x\color{red}{+}3}\\ f(x)-g(x) &=\;\;-x^4-3x^3+4x^2\quad\quad+5\end{align}%%

%%f(x)=1-x^3%% und %%g(x)=x^3+2x+x%%

Klicke an was stimmt!

Hier wurde %%g(x)-f(x)%% berechnet!

Das lineare Glied stimmt nicht!

prima!

Die Polynome sind noch nicht geordnet (%%f(x))%% bzw. zusammengefasst (%%g(x)%%).

%%f(x)=1-x^3%% noch nicht geordnet:

Geordnet: %%f(x)=-x^3+1%%

%%g(x)=x^3+2x+x%% noch nicht zusammengefasst:

Zusammengefasst: %%\color{red}{-}g(x)=\color{red}{-}x^3\color{red}{-}3x%%

Addiere die geordneten und zusammengefassten Poynome spaltenweise.

%%\begin{align} f(x) &=-x^3\quad\quad+1\\ \color{red}{-}g(x) &=\underline{-x^3\;-3x\quad\quad}\\ f(x)-g(x) &=-2x^3-3x+1 \end{align}%%

Das Polynom %%x^3-1%% sei das Ergebnis der Polynomdifferenz %%f(x)-g(x)%%.

Kreuze an was stimmt.

Leider nein. Probier's nochmal!

Dies ist nur in einem Sonderfall möglich. Sieh in der Lösung nach!

Richtig überlegt. Kannst du das Ergebnis auch angeben?

Stets kann man aus %%f(x)-g(x)%% auch %%g(x)-f(x)%% erschließen, da immer gilt: $$g(x)-f(x)=-(f(x)-g(x))$$

Also ist hier:$$g(x)-f(x)=-(x^3-1)=1-x^3$$

%%f(x)+g(x)%% kann man aus %%f(x)-g(x)%% nur im Sonderfall, dass %%g(x)%% das Nullpolynom %%g(x)=0%% ist erschließen. Dann ist %%f(x)+g(x)=f(x)-g(x)%%.