Löse die quadratische Gleichung  %%2x^2+5x+t=3x^2+3x-t%%  in Abhängigkeit vom Parameter %%t%%

Mitternachtsformel mit Parametern

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%%2x^2+5x+t=3x^2+3x-t%%

Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht, und fasse so weit wie möglich zusammen.

%%-x^2+2x+2t=0%%

Lese %%a%%, %%b%% und %%c%% abliest.

%%a=-1,\;b=2,\;c=2t%%

Berechne die Diskriminante %%D=b^2-4ac%% der Gleichung.

%%\begin{array}{l}D=2^2-4\cdot(-1)\cdot2t\\=4+8t\end{array}%%

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von %%t%% auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

%%D=4(1+2t)=0\Leftrightarrow t=-\frac12%%

Da %%1+2t%% eine Gerade mit positiver Steigung ist, kannst du das Vorzeichenverhalten der Diskriminante bestimmen und erhältst somit eine Aussage über die Anzahl der Lösungen.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9359_r5SAfHzM25.xml

%%t>-\frac12\Rightarrow D>0\Rightarrow%% zwei Lösungen

%%t=-\frac12\Rightarrow D=0\Rightarrow%% eine Lösung

%%t<-\frac12\Rightarrow D<0\Rightarrow%% keine Lösung

Wende nun die Mitternachtsformel an.

%%t>-\frac12:\;x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{4(1+2t)}}{-2}=1\pm\sqrt{1+2t}%%

%%t=-\frac12:\;x_1=1%%

%%t<-\frac12:%% keine Lösung