Löse die quadratische Gleichung  %%x^2+2bx+9=0%%  in Abhängigkeit vom Parameter %%b%%

Mitternachtsformel mit Parametern

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%%x^2+2bx+9=0%%

Erkenne, dass auf einer Seite die Null steht und du nichts mehr ausklammern kannst.

Lies %%a%%, %%b%% und %%c%% ab. Beachte, dass das %%b%% auch als Parameter inder allgemeinen Form der Gleichung vorkommt.

%%a=1,\;b=2b,\;c=9%%

Berechne die Diskriminante %%D=b^2-4ac%% der Gleichung.

%%\begin{array}{l}D=(2b)^2-4\cdot1\cdot9\\=4b^2-36=4(b^2-9)\end{array}%%

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von %%b%% auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt. Dabei ist die dritte binomische Formel hilfreich.

%%D=4(b^2-9)=4(b+3)(b-3)=0%%

%%\Leftrightarrow b=3%% oder %%b=-3%%

Da die Diskriminante in Abhängigkeit von %%b%% eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, bestimmst du das Vorzeichenverhalten der Diskriminante anhand ihrer Nullstellen und leitest darüber die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit vom Parameter %%b%% her.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9367_S9ZJJNmii4.xml

%%b<-3%% oder %%b>3\;\Rightarrow D>0\;\Rightarrow%% zwei Lösungen

%%b=-3%% oder %%b=3\;\Rightarrow\;D=0\;\Rightarrow%% eine Lösung

%%b\in(-3,\;3)\;\Rightarrow\;D<0\;\Rightarrow%% keine Lösung

Wende nun die Mitternachtsformel an.

%%b<-3%% oder %%b>3:%%

%%\begin{array}{l}x_{1,2}=\frac{-2b\pm\sqrt{4\cdot(b+3)\cdot(b-3)}}2\\\;\;\;\;\;\;=-b\pm\sqrt{\textstyle(b+3)\cdot(b-3)}\end{array}%%

%%b=-3%% oder %%b=3:%%

%%\begin{array}{l}x=\frac{-2b\pm\sqrt0}2=-b\\\end{array}%%

%%b\in(-3,\;3):%%

keine Lösung