Aufgaben
Herbert war fünfmal im Kino-Center für je 8,40€ Eintritt und dreimal im Filmpalast. Im Durchschnitt hat er 8,70€ pro Kinobesuch bezahlt. Was kostet die Eintrittskarte im Filmpalast?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Durchschnitt

Herbert ist insgesamt 88 Mal ins Kino gegangen. Er bezahlte dabei jeweils im Schnitt 8,70 €8,70 \text{ €}.
Für alle 88 Kinobesuche zahlte er insgesamt:
88,70 €=69,60 €\displaystyle 8\cdot 8,70 \text{ €} = 69,60 \text{ €}
Nun kostete ein Besuch im Kino-Center jeweils 8,40 €8,40 \text{ €}. Für die 55 Besuche dort bezahlte er also:
58,40 €=42,00 €\displaystyle 5\cdot 8,40 \text{ €} = 42,00 \text{ €}
Um die Kosten von den drei Kinobesuchen im Filmpalast zu berechnen, müssen von den Gesamtkosten 69,60 €69,60 \text{ €} die Kosten für die Kinobesuche im Kino-Center abgezogen werden.
69,60 €42 €=27,60 €\displaystyle 69,60 \text{ €} - 42 \text{ €} = 27,60 \text{ €}
Das sind die Kosten für drei Kinobesuche im Filmpalast. Für einen Besuch folgt also:
27,60 €:3=9,20 €\displaystyle 27,60 \text{ €}:3 = 9,20 \text{ €}

Alternative Lösung für Fortgeschrittene

Definiere eine Variable xx:
x:x: Kosten für einen Kinobesuch im Filmpalast
Aus den Informationen im Text kannst du eine Gleichung aufstellen.
(5840ct+3x):8=870ct\left(5\cdot840\mathrm{ct}+3\cdot x\right):8=870\mathrm{ct}
Nun brauchst du nur noch nach xx auflösen.
x=920ctx=920\mathrm{ct}
        \;\;\Rightarrow\;\; Die Eintrittskarte im Filmpalast kostet 9,20€.

 Frau Meier kauft einen neuen Wohnzimmerschrank zum Preis von 6768€. Ein Viertel des Preises bezahlt sie sofort.

  1. Wieviel muss sie pro Monat bezahlen, wenn sie den Rest des Kaufpreises auf 12 Monate verteilen läßt? (Gib einen Gesamtansatz an!)

  2. Fünf Monate nach dem Kaufabschluß bekommt sie eine Gehaltserhöhung und bezahlt ab dem 6. Monat 100€ mehr zurück. Im letzten Monat muss sie dann nur noch 346€ bezahlen. Nach wievielen Monaten ist der Schrank vollständig bezahlt? (Gib einen Gesamtansatz an!)

Teilaufgabe a.

 

Kaufpreis %%=6768€%%

Summe die direkt bezahlt wird %%=\frac14\cdot6768€%%

Gesamtansatz für die monatliche Rate aufstellen.

%%\left(6768€-\frac14\cdot6768€\right):12=%%

 

%%=423€%% pro Monat

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Sie muss monatlich %%423€%% zahlen.

Teilaufgabe b.

 

Summe die direkt bezahlt wird %%=\frac14\cdot6768€%%

5 Monate lang Rate von %%423€%% + letzen Monat Rate von %%346€%% (insgesamt %%6%% Monate)

%%x%% Monate lang Rate von %%523€%%

 

Gesamtanastz aufstellen.

%%x=\left[\left(6768€-\frac14\cdot6768€\right)-\left(5\cdot423€+346€\right)\right]:523€%%

 

%%x=(5089,5€-2466€):524€%%

 

%%x=5%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Sie braucht %%11%% Monate um ddas Geld abzubezahlen.

 

Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€. Marco hat 2€ weniger als Sabine, Volker hat doppelt so viel wie Sabine und Lena doppelt so viel wie Marco. Berechne wie viel Geld Marco, Sabine, Volker und Lena haben.
Löse mit Hilfe eines Gesamtansatzes.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen

Schreibe dir die Informationen aus der Angabe übersichtlich auf. Setze s als Variable für den Geldbetrag, den Sabine besitzt, denn in Bezug zu Sabine sind viele Angaben in der Aufgabenstellung gemacht worden.

Name

Beschreibung

Rechnung

Sabine

%%s%%

Marco

Marco hat 2€ weniger als Sabine.

%%s-2€%%

Volker

Volker hat doppelt so viel wie Sabine.

%%2s%%

Lena

Lena hat doppelt so viel wie Marco.

%%2\cdot(s-2€)%%

Alle zusammen

Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€

%%s+(s-2€)+2s+2(s-2€)=66€%%

Berechne mit dem Gesamtansatz nun ss.
s+(s2)+2s+2(s2)s+\left(s-2€\right)+2s+2\left(s-2€\right)==6666€
Löse die Klammern auf.
s+s2+2s+2s4s+s-2€+2s+2s-4€==6666€
Fasse zusammen.
6s66s-6€==6666€|+6+6€
6s6s==7272€|:6:6
ss==1212€
Nachdem du s=12s=12€ nun berechnet hast, kannst du berechnen, wie viel Geld die anderen Kinder haben.

Name

Beschreibung

Rechnung

Sabine

%%s=12€%%

Marco

Marco hat 2€ weniger als Sabine.

%%s-2€=12€-2€=10€%%

Volker

Volker hat doppelt so viel wie Sabine.

%%2s=2\cdot 12€=24€%%

Lena

Lena hat doppelt so viel wie Marco.

%%2(s-2€)=2\cdot 10€=20€%%

Alle zusammen

Marco, Sabine, Volker und Lena haben zusammen 66€

%%12€+10€+24€+20€=66€\;\checkmark%%

Sabine hat also 1212€, Marco hat 1010€, Volker hat 2424€ und Lena hat 2020€.
Monika kauft im Supermarkt drei Tafeln Schokolade, fünf Päckchen Bonbons, zwei Mathematikhefte und einen Füller. Ein Päckchen Bonbons kosten 30 Cent mehr als eine Tafel Schokolade, ein Heft ist um 40 Cent billiger als eine Tafel Schokolade. Der Füller kostet 7,95€. An der Kasse muss sie 17,15€ bezahlen.

Wieviel kostet eine Tafel Schokolade, ein Päckchen Bonbons und die beiden Hefte zusammen? Stelle für die Rechnung einen Gesamtansatz auf!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Größen und Einheiten

X ist der Preis der Schokolade in Cent.
 
3x+5(x+30)+2(x40)+795=17153\cdot x+5\cdot\left(x+30\right)+2\cdot\left(x-40\right)+795=1715
3x+5x+150+2x80+795=17153\cdot x+5\cdot x+150+2\cdot x-80+795=1715
10x+865=171510\cdot x+865=1715

Preis der Schokolade: 0,85€
Preis der Bonbons: 1,15€
Preis der Hefte: 20,45=0,902\cdot0,45€=0,90€
Herr Meier hat am Monatsanfang 3476€ auf seinem Girokonto. Von diesem Betrag werden im Laufe des Monats 560€ für Miete, 434€ für Versicherungen und 2067€ für eine Urlaubsreise abgebucht. Für den täglichen Bedarf hebt Herr Meier darüber hinaus noch 1670€ von seinem Konto ab.
Berechne den Kontostand von Herrn Meiers Konto am Monatsende.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Subtraktion

Der Kontostand am Monatsanfang beträgt 34763476€.
Abgezogen werden insgesamt: 560+434+2067+1670=4731560€+434€+2067€+1670€=4731€
Subtrahiere nun die Abzüge vom Kontostand am Monatsanfang.
3476(560+434+2067+1670)Abzu¨ge=34764731=12553476€-\overbrace{\left(560€+434€+2067€+1670€\right)}^{\text{Abzüge}}\\=3476€-4731€\\=-1255€
        \;\;\Rightarrow\;\; Der Kontostand ist am Ende des Monats 1255-1255€. Herr Meier hat somit mehr Geld in diesem Monat ausgegeben als er auf dem Konto hatte.
Die Tabelle zeigt, wie viele Euro-Geldscheine am 31. Mai 2007 in Umlauf waren. Beispielsweise befanden sich von den 200 Euro-Scheinen 153 Millionen Stück in Umlauf.

Wert

Anzahl der Scheine in Millionen

%%500%%

%%429%%

%%200%%

%%153%%

%%100%%

%%1116%%

%%50%%

%%3983%%

%%20%%

%%2244%%

%%10%%

%%1804%%

%%5%%

%%1325%%

a. Wie hoch war der Gesamtwert aller 50 Euro-Scheine?

b. Ungefähr wie viel Prozent aller in Umlauf befindlichen Scheine waren 20 Euro-Scheine? Die notwendigen Rechnungen brauchen nicht exakt ausgeführt werden, es genügt ein Ansatz.

c. Ungefähr wie viel Prozent des in Scheinen in Umlauf befindlichen Geldes lag in 20 Euro-Scheinen vor? Die notwendigen Rechnungen brauchen nicht exakt ausgeführt werden, es genügt ein Ansatz.

d. Überlege dir je eine Situation, in der das Ergebnis aus Teil b. bzw. c. von Bedeutung sein könnte.

Teilaufgabe a.

Der Gesamtwert aller 50 Euro-Scheine G50G_{50} ergibt sich als Produkt des Wertes eines Scheins und deren Anzahl.
G50=503.983.000.000200Mrd.G_{50}=50€\cdot3.983.000.000\approx200 Mrd. €

Teilaufgabe b.

Vorgehensweise: Bestimme die Summe aller im Umlauf befindlichen Geldscheine. Bestimmte dann den Anteil der 20 Euro-Scheine.
Anzahl der 20 Euro-Scheine in Millionen: 22442244
Gesamtsumme aller im Umlauf befindlichen Geldscheine in Millionen: 429+153+1116+3983+2244+1804+1325=10.054429+153+1116+3983+2244+1804+1325=10.054
Anteil der 20 Euro-Scheine: 2.244:10.05422,32%{\textstyle2}{\textstyle.}{\textstyle244}{\textstyle:}{\textstyle10}{\textstyle.}{\textstyle054}\approx22,32\% 

Teilaufgabe c.

Vorgehensweise:Bestimme den Wert der im Umlauf befindlichen 20 Euro-Geldscheine G20G_{20} als Produkt des Einzelwerts und der Anzahl an 20 Euro-Scheine.
Bestimme danach den Anteil dieses Wertes am gesamten Geldvolumen GSummeG_{Summe} in Scheinen. Dieses gesamte Geldvolumen bestimmt sich als Summe der Gesamtwerte der verschiedenen Scheine. Also Gesamtwert der 5 Euro-Scheine plus Gesamtwert der 10 Euro-Scheine, etc.
Teile also G20G_{20} durch GSummeG_{Summe}, um den Anteil zu bestimmen.

Teilaufgabe d.

Lösungsidee:
Die Information aus Teilaufgabe b. kann z.B. für die Druckerei von Interesse sein, die neues Geld drucken möchte. Will sie beispielsweise 10 Mio. neue Scheine erstellen, wobei sich die Druckquote der einzelnen Scheine an den bisherigen Anteilen orientiert, kann sie so die Menge an Papier bestimmen, welches für den Druck benötigt wird.
Die Information aus Teilaufgabe c. zielt auf den Wert des Geldes ab. Wenn beispielsweise ein bestimmter Schein seinen Wert verliert, kann so das Ausmaß des Verlustes für den Staat oder Privatmann bestimmt werden. Eine solche Orientierung auf den Wert findet sich häufig im wirtschaftlichen Kontext.
Die Zwillinge Tina und Tim besuchen gemeinsam mit ihren Eltern und ihrem jüngeren Bruder Christian einen kleinen Freizeitpark am Rande der Stadt. Da es noch früh ist, sind sie die ersten Gäste des Parkes an diesem Tag. Eine Eintrittskarte für einen Erwachsenen kostet doppelt so viel wie eine Eintrittskarte für ein Kind.
Nachdem die Mutter die Karten für die ganze Familie bezahlt hat, hat der Kassierer 45,50 € in der Kasse.
Was kostet eine Eintrittskarte für ein Kind, und was kostet eine Eintrittskarte für einen Erwachsenen?

Verschiedene Lösungsmethoden der Aufgabe

Diese Aufgabe kann mathematisch auf verschiedene Arten gelöst werden:
  • durch schrittweises, logisches Nachdenken und Rechnen
  • mit einer Gleichung
  • mit einem System aus zwei Gleichungen.
Je nach dem, in welcher Schule und in welcher Klassenstufe du bist, wird von dir die eine oder die andere Lösungsmethode erwartet.

Lösung durch logisches Nachdenken und Rechnen

Nachdenken

Idee:
In der Aufgabe steht, dass eine Eintrittskarte für einen Erwachsenen doppelt so viel kostet wie eine Eintrittskarte für ein Kind. Das bedeutet:
Anstatt eines Erwachsenen könnten auch zwei Kinder kommen, und es würde genauso viel kosten.
In der Aufgabe kann man daher so rechnen, als ob statt der beiden Erwachsenen vier weitere Kinder kommen würden. Die Eintrittskarten für Tina, Tim, Christian und ihre beiden Eltern kosten zusammen genauso viel wie die Eintrittskarten für sieben Kinder.
Denke dir also:
  • 45,5045,50\, € = Preis für 7 Kinder-Eintrittskarten

Rechnen

Da 7 Kinder-Eintrittskarten zusammen 45,50 € kosten, musst du
  • 45,50 € durch 7 teilen,
damit du weißt, was 1 Kindereintrittskarte kostet.
Das Teilen machst du am besten schriftlich.
45,50:7=6,5045,50\, € :7 = 6,50\, €
Da eine Erwachsenen-Eintrittskarte doppelt so viel wie eine Kinder-Eintrittskarte kostet, musst du
  • 6,506,50 \, € mal 2 nehmen,
damit du den Preis für 1 Erwachsenen-Eintrittskarte erhältst.
6,502=13,006,50\, € \cdot 2= 13,00\, €

Antwort

Eine Eintrittskarte für ein Kind kostet 6,506,50\, €, und eine Eintrittskarte für einen Erwachsenen kostet 13,0013,00\, €.
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