Dreisatz

Der Dreisatz ist eine Vorgehensweise, mit der Fragestellungen im Zusammenhang mit Proportionalitäten gelöst werden können. Meistens wird er für Aufgaben mit einer direkten Proportionalität verwendet. Wie du damit Aufgaben mit einer indirekten Proportionalität lösen kannst, findest du weiter unten beschrieben.

Die Grundstruktur ist folgendermaßen:

• Gegeben sind zwei proportionale Größen (Grundgröße, zugeordnete Größe) mit festen Werten.
• Der Wert der Grundgröße wird geändert.
• Der neue Wert der zugehörigen Größe wird mit dem Dreisatz berechnet.

Im folgenden Beispiel siehst du wie der Dreisatz angewendet wird.

%%\\%%

%%\\%%

Vorgehen am Beispiel (direkt proportional)

Du willst einen Regenbogenkuchen für %%7%% Personen backen. Letztes Mal als du für %%4%% Personen einen Regenbogenkuchen gebacken hast, hast du %%200\;\mathrm g%% Mehl dafür gebraucht. Wie viel Mehl brauchst du, um einen Kuchen für %%7%% Personen zu backen?

Überlege dir, welche Größen beteiligt sind und ob eine Abhängigkeit zwischen ihnen besteht.

Die beteiligten Größen sind offenbar die Anzahl an Personen, für die der Kuchen gebacken wird, und die Menge an Mehl, die dafür benötigt wird. Die Anzahl an Personen ist dabei die Grundgröße und die Menge an Mehl die zugeordnete Größe. Diese Größen sind direkt proportional.

Jetzt kannst du die Struktur der Aufgabe untersuchen:

• Du hast zwei direkt proportionale Größen, nämlich die Anzahl an Personen als Grundgröße und die Menge an Mehl als zugeordnete Größe.
• Du weißt, dass du für %%4%% Personen %%200\;\mathrm g%% Mehl brauchst.
• Eine der beiden Größen ändert sich, nämlich die Anzahl an Personen. Sie steigt von %%4%% auf %%7%%.
• Gesucht ist die Menge an Mehl, die du für diese %%7%% Personen brauchst.

Offensichtlich hat die Aufgabe die oben beschriebene Grundstuktur.

Folglich kannst du nun den Dreisatz anwenden, wobei du wie folgt vorgehst:

Jede Person beschreibt %%1%% Einheit der Grundgröße, also der Gesamtzahl der Personen. Du weißt, dass du für %%4%% Personen (dies entspricht %%4%% Einheiten der Grundgröße) %%200\;\mathrm g%% Mehl brauchst und willst jetzt herausfinden, wieviel Mehl du für %%1%% Person (dies entspricht %%1%% Einheit der Grundgröße) brauchst. Da die Größen Anzahl der Personen und Menge an Mehl direkt proportional sind, teilst du dafür die Menge an Mehl für %%4%% Personen, also %%200\;\mathrm g%%, durch %%4%%.

%%\dfrac{200\;\mathrm g}{4} = 50\;\mathrm{g}%%

Jetzt weißt du also, dass du %%50\;\mathrm g%% Mehl für %%1%% Person brauchst.

Da die Größen Anzahl an Personen und Mehl direkt proportional sind, kannst du die Menge an Mehl für %%7%% Personen berechnen, indem du die Menge an Mehl für %%1%% Person, also %%50\;\mathrm g%% mit %%7%% multiplizierst.

%%7 \cdot 50\;\mathrm g = 350\;\mathrm g%%

Dies ist die gesuchte Größe. Folglich musst du für %%7%% Personen %%350\;\mathrm g%% Mehl verwenden.

Zusammengefasst bist du folgendermaßen vorgegangen:

%%\begin{array} &\text{4 Personen}\ &\widehat{=}&\text{ 200 g Mehl} & \text{Berechne, wie viel Mehl für eine Person benötigt wird.}\\ \text{1 Person}&\widehat{=}&\frac{200\text{ g}}{4}=50\text{ g Mehl} & \text{Berechne die Menge Mehl für 7 Personen.}\\ \text{7 Personen}&\widehat{=}&7 \cdot 50\text{ g}=350\text{ g Mehl} \end{array}%%

In dieser Darstellung erkennst du ganz klar, dass genau %%3%% Schritte gemacht wurden. Daher kommt auch der Name Dreisatz.

Allgemeine Vorgehensweise

Der Dreisatz besteht in der Regel aus drei Schritten:

Erster Schritt: Gegebenes Wertepaar finden und aufschreiben

Aus der Aufgabenstellung liest man die beiden Größen, um die es in der Aufgabe geht, heraus und sucht ein Paar zusammengehöriger Werte.

Dieses Wertepaar schreibt man auf. Dafür verwendet man ein "entspricht"-Zeichen ("%%\widehat{=}%%").
Dabei soll diejenige Größe links stehen, die sich schon in der Aufgabenstellung ändert; die andere Größe, also die, deren neuer Wert gesucht ist, steht dann rechts.

Allgemein

%%\text{a Einheiten } \widehat {=} \text{ b Einheiten }%%

Hierbei sind a und b Zahlenangaben für die beiden Größen.

In der Beispielaufgabe

%%\text{4 Personen }\widehat{=} \text{ 200 g Mehl}%%

Zweiter Schritt: Schließen von der "Viel-heit" auf die "Ein-heit"

Man teilt beide Seiten so durch dieselbe Zahl, dass auf der linken Seite eine 1 bei der betreffenden Größe steht.

Anmerkung: Wenn bereits vorher auf der linken Seite 1 Einheit stand, kann man den zweiten Schritt natürlich überspringen.

Allgemein

Die Werte auf der linken und rechten Seite des Entspricht-Zeichens werden beide durch die Zahl a geteilt, die auf der linken Seite als Zahlenangabe steht.

Dadurch steht danach auf der linken Seite die Angabe "1 Einheit".
%%\text{1 Einheit }\widehat {=} \dfrac{b}{a} \text{ Einheiten}%%

In der Beispielaufgabe

1 Person %%\widehat{=}%% 50 g Mehl

%%(\text{denn 200 g : 4 = 50 g)}%%

Dritter Schritt: Schließen von der "Ein-heit" auf die neue "Viel-heit"

Man multipliziert beide Seiten so, dass auf der linken Seite der in der Aufgabenstellung gewünschte neue Wert für die eine Größe steht.

Dann ergibt sich auf der rechten Seite der gesuchte neue Wert für die andere Größe.

Allgemein

In der Aufgabe ist für die Größe, die jetzt auf der linken Seite mit 1 Einheit steht, ein neuer Wert %%c%% angegeben.

Beide Seiten des Wertepaares werden mit %%c%% multipliziert.

%%\text{c Einheiten }\widehat {=} \left( c \cdot \frac{b}{a} \right) \text{ Einheiten}%%

In der Beispielaufgabe

7 Personen %%\widehat{=}%% 350 g Mehl

%%\left( \text{denn }7 \cdot 50 \text{g }= 350 \text{ g}\right)%%

Zusammengefasst bist du also wie folgt vorgegangen

%%\begin{array} &\text{a Einheiten}\ &\widehat{=}& \text{ b Einheiten} & \text{Teile durch } a.\\ \text{1 Einheit}&\widehat{=}&\frac{b}{a} \text{ Einheiten} & \text{Multipliziere mit } c.\\ \text{c Einheiten}&\widehat{=}&\left( c \cdot \frac{b}{a} \right) \text{ Einheiten} \end{array}%%

Vorgehen am Beispiel (indirekt proportional)

Du bastelst mit deiner Schwester Tischdekorationen für eine Geburtstagsfeier. Wenn ihr ohne Pause daran arbeitet, braucht ihr %%6%% Stunden. Wie lange braucht ihr, wenn euch noch eine Freundin dabei hilft?

Überlege dir, welche Größen beteiligt sind und ob eine Abhängigkeit zwischen ihnen besteht.

Die beteiligten Größen sind offenbar die Anzahl an Personen, die basteln, und die Dauer (Anzahl der Stunden), die ihr beschäftigt seid. Diese Größen sind indirekt proportional.

Jetzt kannst du die Struktur der Aufgabe untersuchen:

• Du hast zwei indirekt proportionale Größen, nämlich die Anzahl an Personen als Grundgröße und die Dauer als zugeordnete Größe.
• Du weißt, dass %%2%% Personen %%6%% Stunden brauchen.
• Eine der beiden Größen ändert sich, nämlich die Anzahl an Personen. Sie steigt von %%2%% auf %%3%%.
• Gesucht ist Dauer der Bastelaktion, wenn %%3%% Personen an den Tischdekorationen basteln.

Offensichtlich hat die Aufgabe die oben beschriebene Grundstuktur.

Folglich kannst du nun den Dreisatz anwenden, wobei du wie folgt vorgehst:

Jede Person beschreibt %%1%% Einheit der Grundgröße, also der Gesamtzahl der Personen. Du weißt, dass %%2%% Personen (dies entspricht %%2%% Einheiten der Grundgröße) %%6%% Stunden benötigen und willst jetzt herausfinden, wie lange es dauert, wenn %%3%% Personen (dies entspricht %%3%% Einheiten der Grundgröße) zusammen arbeiten. Da die Größen Anzahl der Personen und Dauer indirekt proportional sind, multiplizierst du dafür die Dauer bei %%2%% Personen, also %%6%% Stunden mit %%2%%.

%%6\text{ Stunden}\cdot2=12\text{ Stunden}%%

Jetzt weißt du also, dass %%1%% Person für die gleiche Arbeit %%12%% Stunden benötigen würde.

Da die Größen Anzahl an Personen und Dauer indirekt proportional sind, kannst du die Dauer bei %%3%% Personen berechnen, indem du die Dauer bei %%1%% Person, also %%12%% Stunden durch %%3%% dividierst.

%%12\text{ Stunden}\;\div3=4\text{ Stunden}%%

Dies ist die gesuchte Größe. Folglich könnt ihr mit %%3%% Personen die Tischdekoration in nur %%4%% Stunden basteln.

Vorgehensweise Beispiel:

%%\begin{array} &\text{2 Personen}\ &\widehat{=}&\text{ 6 Stunden} & \text{Berechne, wie lange eine Person benötigen würde.}\\ \text{1 Person}&\widehat{=}& \text{6 Stunden} \cdot 2 =\text{12 Stunden} & \text{Berechne die Dauer für 3 Personen.}\\ \text{3 Personen}&\widehat{=}&\text{12 Stunden} : 3=\text{4 Stunden} \end{array}%%

Zusammengefasst bist du also wie folgt vorgegangen

$$\begin{array}&\text{a Einheiten}\ &\widehat{=}& \text{ b Einheiten} & \text{Multipliziere mit } a.\\\text{1 Einheit}&\widehat{=}&\ b \cdot a \text{ Einheiten} & \text{Teile durch } c.\\\text{c Einheiten}&\widehat{=}&\left( \frac{b \cdot a}{c} \right) \text{ Einheiten}\end{array}$$

Beispiele zum Dreisatz

1. Musterbeispiel

Mit 5 Eimern kann Gärtner Florian insgesamt 40 Liter in sein Regenfass füllen. Welche Füllmenge ergibt sich aus 12 Eimern?

Lösung

%%\begin{array} &\mathbf{Schritt 1} & \text{5 Eimer } &\hat{=}& \text{40 Liter} & \text{Teile durch 5.}\\ \mathbf{Schritt 2} & \text{1 Eimer } &\hat{=}& \frac{40}{5}=\text{8 Liter} & \text{Multipliziere mit 12.}\\ \mathbf{Schritt 3} & \text{12 Eimer } &\hat{=}& \text{12 } \cdot \text{8} = \text{96 Liter} & \end{array}%%

Mit %%12%% Eimern ergibt sich also eine Gesamtfüllmenge von %%96%% Litern.

2. Musterbeispiel

5 Gläser kosten 20€.
Wieviel kosten 3 Gläser?

Bemerkung
Die Anwendung des Dreisatzes ist in diesem Fall zulässig, weil jedes Glas gleich viel kostet. Der Preis steigt also direkt proportional zur Anzahl der Gläser.

Lösung

Ordne die Informationen und benenne die unbekannte Größe x:

x beschreibt einen Preis und hat daher die Einheit €.

Zuordnung

Nun stellt man folgende Zuordnung auf:

%%\begin{array} &\text{5 Gläser } &\rightarrow& \text{20 €} & |\div 5 \\ \text{1 Glas} &\rightarrow& \frac{20}{5}=\text{4 €} & |\cdot 3 \\ \text{3 Gläser } &\rightarrow& \text{x} = 3 \cdot \text{4} = \text{12 €} & \end{array}%%

Dreisatz Schema

%%\begin{array} &\mathbf{Schritt 1} & \text{5 Gläser } &\hat{=}& \text{20 €} & \text{Teile durch 5.}\\ \mathbf{Schritt 2} & \text{1 Glas } &\hat{=}& \frac{20}{5}=\text{4 €} & \text{Multipliziere mit 3.}\\ \mathbf{Schritt 3} & \text{3 Gläser } &\hat{=}& \text{3 } \cdot \text{4} = \text{12 €} & \end{array}%%

%%3%% Gläser kosten also %%12%%€.

3. Musterbeispiel (indirekt proportional)

Annika und ihre Freundinnen wollen den Gartenzaun zusammen streichen. Sie haben ausgerechnet, dass sie zu fünft dafür 20 Stunden benötigen. Als sie anfangen wollen, ist eine der Freundinnen krank. Wie lange brauchen die Mädchen jetzt?

Lösung

%%\begin{array} &\mathbf{Schritt 1} & \text{5 Personen } &\hat{=}& \text{20 Stunden} & \text{Multipliziere mit 5.}\\ \mathbf{Schritt 2} & \text{1 Person } &\hat{=}& \text{20 Stunden } \cdot \text{5} =\text{100 Stunden} & \text{Dividiere durch 4.}\\ \mathbf{Schritt 3} & \text{4 Personen } &\hat{=}& 100 : 4 \text{ Stunden} = \text{25 Stunden} & \end{array}%%

Zu viert brauchen die Mädchen %%25%% Stunden.

Merke

• Beim Dreisatz ist es vorallem wichtig, dass man sich zu Beginn klarmacht, welche Größen untereinander stehen.

• In der ersten Zeile stehen immer die Größen, von denen man weiß, dass sie etwas miteinander zu tun haben.

• in der zweiten Zeile steht links immer eine 1.

• in der dritten Zeile steht rechts immer der Wert, der gesucht wird.

• alle Größen, die die gleiche Einheit (also Preis, Länge, Stück…) haben, stehen untereinander.

Oft steht in der linken Spalte die Stückanzahl bzw die Menge, während rechts der Preis, die Größe oder Ähnliches steht.

Alle Einheiten können immer stehen bleiben, da man nicht durch die Einheit, sondern durch den Wert vor der Einheit dividiert oder damit multipliziert.

Weitere Übungsaufgaben

Beispiel- und Übungsaufgaben findet man im Aufgabenordner "Gemischte Aufgaben zu Proportionalität und Dreisatz".