Dreisatz

Mithilfe des Dreisatzes werden Werte in drei Schritten umgerechnet, wobei immer als Bezug der Wert $1$ verwendet wird.

Sind zwei Größen, wie "Anzahl von Stunden" und "Gelaufene Kilometer" zueinander proportional, können unbekannte Werte mit einem Dreisatz bestimmt werden.

Es gibt auch den umgekehrt proportionalen / antiproportionalen Fall, bei denen mit dem sogenannten umgekehrten Dreisatz gerechnet wird.

Erklärung am Beispiel

Hast du schon einmal Pfannkuchen gemacht? Das Rezept ist sehr einfach, für $3$ Personen benötigst du außer Eiern und Salz, $270$ g Mehl und $240$ ml Milch. Angenommen, du würdest $6$ Personen zum Essen einladen, dann wäre es die doppelte Menge an Zutaten. Doch wie viele Zutaten brauchst du, wenn $5$ Personen eingeladen sind?

Umrechnung der Milch

Aus dem Rezept wissen wir, dass $3$ Personen $240$ ml benötigen. Da es nicht einfach ist direkt von $3$ auf $5$ Personen mit einem Faktor zu schließen, verwenden wir einen Trick:

Wir berechnen die Menge Milch, die eine Person benötigt, mit einer Division. Von da aus können beliebige Werte mit einer simplen Multiplikation bestimmt werden.

Es ergibt sich also:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcr} 3\text{ Personen}\quad &\widehat{=}&\quad 240\text{\,ml Milch}\\ 1\text{ Person}\quad &\widehat{=}&\quad 80\text{\,ml Milch}\\ 5\text{ Personen}\quad &\widehat{=}&\quad 400\text{\,ml Milch} \end{array}$

Umrechnung des Mehls

Dieselbe Rechnung wird für das Mehl durchgeführt.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcr} 3\text{ Personen}\quad &\widehat{=}&\quad 270\text{\,g Mehl}\\ 1\text{ Person}\quad &\widehat{=}&\quad 90\text{\,g Mehl}\\ 5\text{ Personen}\quad &\widehat{=}&\quad 450\text{\,g Mehl} \end{array}$

Insgesamt lässt sich das Rezept für $5$ Personen zu $400$ ml Milch und $450$ g Mehl berechnen.

BeachteSchreibweise mit $\widehat{=}$

Da auf beiden Seiten der Gleichung

\displaystyle 3\text{ Personen}\quad \widehat{=}\quad 270\text{\,g Mehl}

unterschiedliche Größen stehen, mit verschiedenen Einheiten, kann kein $"="$ in der Mitte stehen. Anstatt dessen sagt man: " $3$ Personen entsprechen der Menge von $270$ g Mehl."

Allgemeines Vorgehen

Einige Schritte sind beim Dreisatz immer gleich, sodass das Verfahren auf alle Umrechnungen allgemein formuliert werden kann.

BeachteAbkürzung des Dreisatzes

Mit dem richtigen Faktor kann eine Umrechnung zwischen zwei Werten direkt erfolgen und muss nicht über den Zwischenschritt mit der $1$ getan werden.

Mithilfe des Bruchs $\dfrac{7}{4}$ kann direkt von $4$ auf $7$ gerechnet werden: $20\cdot\dfrac{7}{4}=35$

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Übungsaufgaben

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