Ein Bruch heißt unechter Bruch, wenn der Betrag seines Zählers größer oder gleich groß ist wie der Betrag seines Nenners.

Umwandlung eines unechten Bruches in einen gemischten Bruch

Einen unechten Bruch kann man in einen gemischten Bruch umwandeln.
Dabei geht man in zwei Schritten vor:

  • Schritt 1: Teilen mit Rest
    Man bestimmt, wie oft der Nenner in den Zähler passt, und welcher Rest dabei bleibt.
    "Zähler Z : Nenner N = Ganze Zahl Y + Rest R"

  • Schritt 2: Richtiges Hinschreiben des Ergebnisses
    Den unechten Bruch kann man jetzt aufgeteilt in eine ganze Zahl und einen echten Bruch schreiben.
    %%\dfrac {Z}{N}= Y \frac {R}{N}%%

Erklärung der Vorgehensweise am Beispiel

Umgewandelt werden soll zum Beispiel der Bruch %%\dfrac{9}{4}%%.

%%\dfrac{9}{4}= \fbox{ ..?} \frac{\fbox{..?}}{\fbox{…?}}%%

Teile 9 durch 4; diese Division geht nicht auf; aber es ist %%9=8+1=2\cdot 4 + 1%%.
Wenn man mit Rest teilt, erhält man also %%9:4=2 \ \text{Rest} 1%%.

%%9:4=2 \ \text{Rest} 1%%

Die 2, die man als Ergebnis erhält, ist die ganze Zahl des gemischten Bruches;

%%\dfrac{9}{4}= \fbox{2} + \frac{\fbox{..?}}{\fbox{…?}}%%

und der an die ganze Zahl angefügte Bruch hat

  • als Zähler die 1 (die man als Rest erhalten hat), und
  • als Nenner die 4 (so wie der ursprüngliche Bruch).

%%\dfrac{9}{4}= 2 +\frac{1}{4}%%

Damit kann man das Ergebnis hinschreiben.

Ergebnis: %%\frac{9}{4}= 2\frac{1}{4}%%

Warum funktioniert das Verfahren?

Begründung im Beispiel:

Es ist deshalb %%9:4=2 \ \text{Rest} 1%%, weil %%9=8+1=2\cdot 4 + 1%% ist.

Und daher ist dann

%%\dfrac {9}{4}= \dfrac{2\cdot 4+1}{4}= \dfrac{2\cdot 4}{4} + \dfrac{1}{4} = 2 +\dfrac {1}{4}=2\frac{1}{4}%%;
damit hat man das Ergebnis erhalten.

Begründung in der allgemeinen Regel:
Wenn sich beim Teilen mit Rest ergibt
"Zähler Z : Nenner N = Ganze Zahl Y + Rest R",
dann passt N gerade Y-mal in Z, und es muss dann noch R addiert werden, damit man wirklich Z erhält.

Mathematisch heißt das:
%%Z:N=Y\cdot N +R%%.

Und somit folgt:

%%\dfrac {Z}{N}= \dfrac{Y\cdot N+R}{N}= Y +\dfrac {R}{N}=Y\frac{R}{N}%%

Video zum Thema Gemischte Zahl - unechter Bruch

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