Wenn eine Dezimalzahl sehr viele Nachkommastellen hat und dadurch unhandlich wird, verwendet man oft anstelle der genauen Zahl einen gerundeten Wert.

Beispiel: %%3,1415926…\approx3,14%%,
wenn man die Zahl auf zwei Stellen hinter dem Komma runden möchte.

Runden der Zahl Pi

(Das Zeichen "%%\approx%%" bedeutet: "ist ungefähr gleich")

Grundprinzip

Beim Runden wird die ursprüngliche "lange" Dezimalzahl mit den vielen Nachkommastellen ersetzt durch eine "kürzere" Zahl mit weniger Nachkommastellen, die zwar nicht genau, aber ungefähr den gleichen Wert hat wie die wirkliche Zahl.
Anders als beim bloßen "Abschneiden" der Dezimalzahl achtet man beim Runden aber darauf, dass die gerundete Zahl so nah wie möglich an der Ausgangszahl liegt.

Beispiel:

%%1,79%% ergibt auf eine Stelle hinter dem Komma gerundet %%1,8%% und nicht %%1,7%%;
denn 1,79 liegt näher an 1,8 als an 1,7.

Technische Vorgehensweise

Schritt 1: Zuerst muss man wissen, auf welche Stelle gerundet werden soll, und wie viele Stellen hinter dem Komma die gerundete Zahl somit noch haben darf.

  • auf ganze Zahlen runden heißt: Die gerundete Zahl hat überhaupt keine Nachkommastellen mehr
  • auf Zehntel runden heißt: Die gerundete Zahl hat 1 Nachkommastelle.
  • auf Hundertstel runden heißt: Die gerundete Zahl hat 2 Nachkommastellen.
  • auf Tausendstel runden heißt: Die gerundete Zahl hat 3 Nachkommastellen.
  • usw.

Schritt 2: Die zu rundende Zahl unterteilt man nun in Gedanken in zwei Teile:

  • Der erste Teil geht bis zu der Stelle, auf die gerundet wird,
  • der zweite Teil ist der "Rest" der Zahl.
Beispiel

Wenn man die Zahl %%41,6581724%% auf Hundertstel runden möchte, unterteilt man die Zahl nach der zweiten Nachkommastelle, das heißt, zwischen der 5 und der 8:
%%41,65\, |\,81724%%

Schritt 3: Jetzt schaut man sich die erste Zahl vom zweiten Teil der Zahl an, d. h. diejenige Stelle, die unmittelbar auf die Stelle, auf die gerundet werden soll, folgt.

  • Wenn diese Stelle eine %%0,1,2,3%% oder %%4%% ist, wird abgerundet, das heißt, man verwendet als gerundeten Wert einfach den ersten Teil der Zahl.
Beispiel

%%5,824178%% ergibt auf Tausendstel gerundet den Wert %%5,824%%,
denn nach der 3. Stelle hinter dem Komma folgt eine 1.

  • Wenn diese Stelle eine %%5,6,7,8%% oder %%9%% ist, wird aufgerundet, das heißt, die letzte Stelle des ersten Teils der Zahl wird um 1 erhöht - sofern das noch geht und sie nicht bereits eine 9 war.
    Wenn sie bereits eine 9 war, müssen die letzte und die vorletzte (und eventuell sogar noch weitere Stellen) angepasst werden.
Beispiele
  • %%41,69%% ergibt auf Zehntel gerundet %%41,7%%
  • %%8,2419278%% ergibt auf die 4. Stelle hinter dem Komma gerundet %%8,2420%%; denn da die 9 nicht auf 10 erhöht werden kann, muss die 19 auf 20 erhöht werden.
  • %%279,9999%% ergibt auf Tausendstel gerundet %%280,000%%. Hier beeinflusst das Runden mehrere Stellen.
  • %%9,99742%% ergibt auf Hundertel gerundet %%10,00%%.

Auf ganze Zahlen runden

Auf ganze Zahlen runden heißt, dass man die ganze Zahl sucht, die der gegebenen Dezimalzahl am nächsten ist. Bei ganzen Zahlen ist das die Zahl selbst.
Abrunden bedeutet, dass bei Zehntelstellen von 0 bis einschließlich 4 auf die Zahl vor dem Komma gerundet wird.
Aufrunden bedeutet, dass bei Zehntelstellen von 5 bis einschließlich 9 auf die nächst größere Zahl gerundet wird.

Achtung! Es wird nicht auf kleinere Zahlen gerundet!

Beispiele an der Stellenwerttafel

E

z

h

Dezimalzahl

0,

7

3

Dezimalzahl

1,

2

6

gerundete Zahl

1,

0

0

  • Bei 0,77 wird wegen der 7 an der Zehntelstelle auf die 1 gerundet
  • Bei 1,26 wird wegen der 2 an der Zehntelstelle auf die 1 abgerundet.

E

z

h

Dezimalzahl

1,

5

0

gerundete Zahl

2,

0

0

  • Bei der 1,5 wird wegen der 5 an der Zehntelstelle auf 2 gerundet.

Beispiele am Zahlenstrahl

%%\text{A}_1%% = 0,77 und %%\text{A}_2%% = 1,26 werden auf %%\text{A}%% =1 gerundet,
%%\text{B}_1%% = 1,5 auf %%\text{B}%% = 2.

Zahlenstrahl

Rechenbeispiele

a) 2,3 %%\approx%% 2

Weil die Zehntelstelle 3 zwischen 0 und 4 liegt, wird abgerundet,
d.h. die 2 wird stehen gelassen.

b) 3,7 %%\approx%% 4

Weil die Zehntelstelle 7 zwischen 5 und 9 liegt, wird aufgerundet,
d.h. die 3 wird zur 4.

c) 2,48 %%\approx%% 2

Weil die Zehntelstelle 4 zwischen 0 und 4 liegt, wird abgerundet,
d.h. die 2 wird stehen gelassen.

2,48 %%\approx%% 2,5 %%\approx%% 3

Achtung Fehlerteufel
Man darf bei mehreren Nachkommastellen nicht schrittweise runden! Bei c) sieht man die richtige Lösung.

Übungsaufgaben

Sinnvoll runden

Häufig steht in Aufgabenstellungen die Forderung "Runde sinnvoll!" - Was ist damit gemeint? In verschiedenen Situationen, z.B. beim Rechnen mit Maßeinheiten, sind nur bestimmte Rundungen hilfreich.
Bei Geldbeträgen ist es üblich, auf Hundertstel zu runden. Schließlich gibt es keine Tausendstel Euro.

Beispielaufgabe:

Peter fährt 20 Minuten mit dem Auto. Er fährt beständig 100 km/h. Wie weit ist Peter gefahren? Runde das Ergebnis sinnvoll.

Lösung:

20 Minuten sind %%\dfrac{1}{3}%% Stunde. In einer Stunde legt er 100 Kilometer zurück, also in %%\dfrac{1}{3}%% Stunde %%\dfrac13 \cdot 100%% Kilometer. Das sind %%33,\overline3%% km. Das wiederum sind 33 km 333 m 33 cm 3 mm usw.
Bei langen Strecken, die mit dem Auto zurückgelegt werden, ist eine Angabe der Strecke in Millimeter oder noch genauer nicht sinnvoll!

%%\Rightarrow%% Peter ist %%\approx%% 33 Kilometer gefahren.

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