Aufgaben

Denke dir eine Textaufgabe zu folgender Situation aus und löse sie!
(Hinweis: Im Bild sind zwei gleich große Pizzen zu sehen. Die Pizzastücke einer Pizza haben immer dieselbe Größe.)

Pizza: noch nicht aufgegessen

20 Minuten später

%%\qquad\qquad \Rightarrow%%

Pizza: zum Teil aufgegessen

Sachaufgaben erfinden

Zu dieser Aufgabe gibt es viele Lösungen! Du hattest eine andere Idee als die in der Lösung? Schreib sie uns gerne in die Kommentare!

Hier siehst du eine mögliche Lösung, in der es um Anteile geht.

Eine Beispielaufgabe könnte so lauten:

Für eine Geburtstagsfeier hat Tina zwei Bleche Pizza gebacken und wie auf den Bildern in Stücke geschnitten. Nach kurzer Zeit wurden schon einige Stücke gegessen. Welcher Anteil der zwei Pizzen ist jeweils noch vorhanden?

Aufstellen der Rechnung

Zähle zunächst, in wie viele Stücke die beiden Pizzen jeweils geschnitten wurden:

Anzahl der Pizzastücke

Die erste Pizza wurde in %%10%% Stücke geschnitten, die zweite Pizza in %%16%%.

In der Aufgabenstellung sieht man, dass von der ersten Pizza noch %%5%% Stücke vorhanden sind und von der zweiten noch %%8%%.

Schreibe als Anteil:

  • %%5%% Stücke von %%10%% Stücken entspricht %%\frac{5}{10}=\frac 1 2%%.
  • %%8%% Stücke von %%16%% Stücken entspricht %%\frac{8}{16}=\frac 1 2%%.

Antwort: Es ist jeweils noch die Hälfte der Pizza vorhanden.

Zusatzfrage: Welcher Anteil der ursprünglichen Menge ist noch vorhanden?

Da die beiden Pizzen zu Beginn gleich groß waren und jeweils die Hälfte noch übrig ist, ist zusammengerechnet noch eine Pizza da (%%\frac 12 + \frac12 = 1%%).

Damit ist eine Pizza von zwei Pizzen übrig. Also genau die Hälfte der ursprünglichen Menge.

Berechne den Wert des Terms %%\frac{12}{24}-\frac13+\frac7{42}%%. Gib das Ergebnis als Bruch der Form a/b, z.B. 4/5, ein.

Rechnen mit Brüchen

Für diese Aufgabe brauchst du Wissen über die Addition und Subtraktion von Brüchen.

Am Besten erkennst du zuerst, welche Brüche in der Aufgabenstellung gekürzt werden können. Dann wird die Aufgabe etwas einfacher. Weiter unten findest du den Rechenweg, ohne dass zuerst gekürzt wurde.

%%\frac{12}{24}-\frac13+\frac7{42}=%%

Kürze %%\frac{12}{24}%% mit %%12%% und %%\frac{7}{42}%% mit %%7%%.

%%\frac{1}{2}-\frac13+\frac16=%%

Bilde den Hauptnenner (6) und erweitere alle Brüche auf diesen.

%%\frac 36 - \frac 26 + \frac 16 =%%

%%\frac{3-2+1}6=%%

%%\frac 26=%%

Kürze mit %%2%%.

%%\frac13%%


Falls du nicht erkannt hast, dass du vorher kürzen kannst, löst du die Aufgabe auf die gleiche Art mit größeren Nennern:

%%\frac{12}{24}-\frac13+\frac7{42}=%%

Bilde den Hauptnenner (168) und erweitere alle Brüche auf diesen.

%%\frac{84}{168}-\frac{56}{168}+\frac{28}{168}=%%

Schreibe alle drei Zähler auf einen gemeinsamen Bruchstrich.

%%\frac{84-56+28}{168}=%%

%%\frac{56}{168}=%%

Mit 56 kürzen.

%%\frac13%%

Welche Aussagen über den Bruch %%\frac 4 {10}%% sind wahr? Wähle alle richtigen Antworten aus!

Leider falsch! Es gibt eine Primzahl, durch die man sowohl den Zähler als auch den Nenner teilen kann. Findest du sie?

Leider falsch! Beachte, dass du sowohl Zähler als auch Nenner mit einer Zahl multiplizieren musst, um den Bruch zu erweitern.

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Gemischtes Wissen zu Brüchen

In dieser Aufgabe geht es darum, Brüche zu erweitern und zu kürzen, ihren Kehrbruch zu bilden, sie zu multiplizieren und sie zu vergleichen.

Betrachte jede der vier Aussagen einzeln:

%%\frac 4 {10}%% ist vollständig gekürzt

Diese Aussage ist falsch, da sowohl die %%4%% als auch die %%10%% noch durch %%2%% teilbar sind:

%%\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}%%.

%%\dfrac 2 5%% ist vollständig gekürzt, da %%2%% und %%5%% als Primzahlen teilerfremd sind.

Sein Kehrwert ist %%\frac{5}{2}%%

Diese Aussage stimmt!
Der Kehrwert eines Bruches wird gebildet, in dem man Zähler und Nenner vertauscht. Kürzt man außerdem %%\frac{10}{4}%% mit der Zahl %%2%%, so ergibt sich der Bruch %%\frac 5 2%%.

%%\frac 4{10}%% ist kleiner als %%\frac 3 4%%

Diese Aussage ist richtig! Bringe die Brüche auf den gleichen Nenner, um sie zu vergleichen. Hierzu erweiterst du auf den Hauptnenner %%20%%:

%%\dfrac 4 {10}=\dfrac 8 {20}%% erweitert mit %%2%%.

und

%%\dfrac 3 4= \dfrac {15}{20}%% erweitert mit %%5%%.

Da der Zähler von %%\dfrac{15}{20}%% größer ist als der von %%\dfrac 8 {20}%%, ist %%\dfrac{15}{20}%% auch die größere Zahl.

Alternative:

Du kannst auch die Dezimalbruchdarstellung verwenden, um die Brüche leicht miteinander zu vergleichen. Du kannst die jeweiligen Dezimalbrüche berechnen, falls du sie nicht auswendig kennst. Damit erhältst du folgende Werte:

%%\frac{4}{10} = \frac 25 = 0,4%% und %%\frac 34 = 0,75%%

%%0,4%% ist kleiner als %%0,75%% und damit ist die Aussage richtig.

Multipliziert man ihn mit %%\frac 1 2%%, so erhält man %%\frac 1 5%%

Diese Aussage ist wahr. Berechne:

%%\dfrac{4}{10} \cdot \dfrac 1 2%%

Multipliziere die Brüche: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.

%%= \dfrac{4\cdot 1}{10 \cdot 2}%%

Kürze mit %%2%% bevor du multiplizierst.

%%=\dfrac{2}{10}%%

Kürze erneut mit %%2%%.

%%=\dfrac 1 5%%

Hinweis zum Kürzen

Man kann hier auch direkt mit %%4%% kürzen. Dass das geht, bemerkt man, wenn man Zähler und Nenner komplett in Primfaktoren zerlegt.

Erweitert man ihn mit %%3%%, so erhält man %%\frac{12}{10}%%

Diese Aussage ist falsch. Beim Erweitern werden Zähler und Nenner des Bruchs mit der Zahl %%3%% multipliziert:

%%\dfrac 4 {10}=\dfrac {12}{30}%%

Welche Rechnung hat das Ergebnis %%\frac {12}{10}%%?

%%\dfrac{12}{10}%% erhältst du als Ergebnis der Multiplikation:

%%3\cdot \dfrac{4}{10}= \dfrac{3\cdot 4}{10}=\dfrac{12}{10}%%

Anschließend könntest du erneut kürzen.

Setze die Bausteine so zusammen, dass ein Bruch mit dem Wert %%\dfrac {4}{7}%% entsteht. Findest du drei verschiedene Lösungen?

Rechnen mit Brüchen

Suche einen passenden Nenner und ergänze zu einem korrekten Bruch mit richtigem Wert.

1. Möglichkeit

Beginne mit einem Bruch, der bereits den gewünschten Nenner hat.

%%\dfrac{?}{7}%%

Jetzt kannst du die Summe im Zähler verwenden.

%%\dfrac{?+?}{7}%%

Mit den Summanden %%1%% und %%3%% kannst du den Zähler %%4%% zusammenbauen:

%%\dfrac{1+3}{7}%%

2. Möglichkeit

Da dir zwei Brüche als Bausteine zur Verfügung stehen, kannst du auch eine Summe aus Brüchen bauen. Beachte dazu die Regeln zur Addition und Subtraktion von Brüchen.

%%\dfrac 1 7 + \dfrac 3 7%%

Hinweis: Hast du Möglichkeit 1 bereits entdeckt, kannst du die 2. Möglichkeit durch Rückwärtsrechnen erhalten:

%%\dfrac 4 7 = \dfrac{1+3}{7} = \dfrac 1 7 + \dfrac 3 7%%

3. Möglichkeit

Überlege, ob das Pluszeichen auch im Nenner zum gewünschten Ergebnis führen kann.

%%\dfrac{?}{?+?}%%

Mit den gegebenen Ziffern führt keine Summe zum Ergebnis %%7%%. Jedoch kannst du einen ungekürzten Bruch bauen.

%%\dfrac{?}{7+7} \mathop{=} \dfrac{?}{14}%%

Jetzt erhältst du eine dritte Lösung, indem du das gewünschte Endergebnis mit %%2%% erweiterst.

%%\dfrac{8}{7+7}%%

Weitere Möglichkeiten

Es gibt noch ein paar weitere Möglichkeiten diese Aufgabe zu lösen. Beispielsweise kannst du in den Summen das Kommutativgesetz verwenden, um die jeweiligen "vertauschten" Lösungen zu erhalten. Beispielsweise ist neben %%\frac 17 + \frac 37%% auch %%\frac 37 + \frac 17%% eine Lösung.
Findest du noch andere Lösungen, schreib sie uns gerne in die Kommentare.

Bilde einen Term mit dem Termwert %%\dfrac{7}{15}%%.

Rechnen mit Brüchen

Beginne mit einem Bruch, der bereits den gewünschten Nenner hat.

%%\dfrac{?}{15}%%

Das Ziel ist es, im Zähler die Zahl %%7%% zu erzeugen. Beginnst du mit der Ziffer %%8%% musst du noch %%1%% abziehen. Da dir keine %%1%% zur Verfügung steht, kannst du diese zuerst mit einer Differenz aus %%3%% und %%2%% bilden.

%%8-(3-2)=8-1%%

Beachte hierbei, dass die Klammer zuerst berechnet wird.

Setze alles nun zu einem Bruch zusammen:

%%\dfrac{8-(3-2)}{15}=\dfrac{8-1}{15}=\dfrac 7{15}%%


Alternative Lösung

Wenn du die Rechnung %%7+8 = 15%% mit den Bausteinen bemerkst, fällt dir vielleicht der Zusammenhang mit Brüchen %%\frac{7}{15} + \frac{8}{15} = 1%% auf. Um das richtige Ergebnis zu erhalten, kannst du auch %%1-\frac{8}{15} = \frac{7}{15}%% rechnen. Damit ergibt sich eine weitere Lösung.

Mit diesem Ansatz fehlt dir nur noch eine %%1%%. Diese kannst du auch hier mit den verbleibenden Bausteinen bauen: %%3-2 = 1%%.

Insgesamt erhältst du die Rechnung: $$(3-2)-\dfrac{8}{15} = 1- \dfrac{8}{15} = \dfrac{7}{15}$$

Berechne den Wert des Terms %%\left(\frac{12}{24}+\frac{15}{20}\right):\frac{27}{36}%%. Gib dein Ergebnis als Bruch der Form a/b ein!

Rechnen mit Brüchen

Für diese Aufgabe brauchst du Wissen über die Addition und Division von Brüchen.

%%\left(\frac{12}{24}+\frac{15}{20}\right):\frac{27}{36}=%%

Kürze den ersten Bruch mit %%6%%, den zweiten mit %%5%% und den dritten mit %%9%%.

%%=\left(\frac12+\frac34\right):\frac34=%%

Erweitere die beiden Summanden in der Klammer auf den Hauptnenner %%4%% .

%%=\left(\frac24+\frac34\right):\frac34=%%

Addiere in der Klammer.

%%=\frac54:\frac34=%%

Zur Division multiplizierst du mit dem Kehrbruch .

%%=\frac54\cdot\frac43=%%

Kürze mit %%4%%.

%%=\frac53%%

Setze die Bausteine so zusammen, dass ein Bruch mit dem Wert %%\dfrac 3 5%% entsteht. Finde mindestens drei verschiedene Lösungen.

Rechnen mit Brüchen

Suche einen passenden Nenner und ergänze zu einem korrekten Bruch mit dem richtigen Wert.

1. Möglichkeit

Beginne mit einem Bruch, der bereits den gewünschten Nenner hat:

%%\dfrac{?}{5}%%

Jetzt kannst du mit einer Summe im Zähler einfach das richtige Endergebnis erhalten.

%%\dfrac{1+2}{5}=\dfrac 3 5%%

2. Möglichkeit

Beginne wieder mit einem Bruch, der bereits den gewünschten Nenner hat:

%%\dfrac{?}{5}%%

Diesmal kannst du mit einer Differenz im Zähler einfach das richtige Endergebnis erhalten.

%%\dfrac{4-1}{5}=\dfrac 3 5%%

3. Möglichkeit

Diesmal verwendest du das Doppelte von %%5%%, also %%10%%, im Nenner:

%%\dfrac{?}{10}%%

Im Zähler benötigen wir jetzt ebenfalls das Doppelte, damit du später durch Kürzen wieder den gleichen Bruch erhältst, also %%6%%. Addiere dazu im Zähler:

%%\dfrac{5+1}{10} = \dfrac{6}{10}%%

Jetzt erhältst du eine dritte Lösung, indem du das gewünschte Endergebnis mit %%2%% kürzt.

%%\dfrac 6{10}=\dfrac 3 5%%

Weitere Möglichkeiten

Es gibt viele weitere Möglichkeiten, um den gewünschten Bruch zu erhalten. Wir haben bisher die folgenden Lösungen entdeckt.

  • %%\dfrac{5-2}{4+1} = \dfrac 35%%

  • %%\dfrac{4+2}{10}=\dfrac{6}{10} = \dfrac 35%%

  • %%\dfrac{5+(2-1)}{10} = \dfrac{5+1}{10} = \dfrac 35%%

  • Zu allen Lösungen mit einer Summe kannst du mit dem Kommutativgesetz auch die beiden Summanden vertauschen: zum Beispiel: %%\frac{1+2}{5} = \frac{2+1}{5}%%

Hast du noch eine weitere Möglichkeit gefunden? Schreibe sie uns einfach in die Kommentare.

Setze zwei der Zahlen so in die Lücken ein, dass das Ergebnis der Rechnung möglichst klein wird.

Brüche dividieren

Bei der Lösung dieser Aufgabe hilft der Artikel zur Division von Brüchen und Wissen zur Multiplikation von Brüchen.

Hier musst du vier Dinge beachten:

  • Du dividierst zwei Brüche durcheinander, indem du den Kehrbruch des zweiten Bruchs bildest und die beiden Brüche anschließend multiplizierst.

  • Da du beim Multiplizieren von Brüchen jeweils die beiden Zähler und Nenner miteinander multiplizieren musst, sollte dieser Kehrbruch bereits eine möglichst kleine Zahl sein.

  • Ein Bruch mit gleichbleibendem Zähler ist umso kleiner, je größer sein Nenner ist. So ist zum Beispiel %%\frac 1 9%% kleiner als %%\frac 1 4%%.

  • Ein Bruch mit gleichbleibendem Nenner ist umso kleiner, je kleiner sein Zähler ist. So ist zum Beispiel %%\frac 2 7%% kleiner als %%\frac 4 7%%.

Aus den Ziffern von %%2%% bis %%9%% ist der kleinste Bruch, den man bauen kann, also %%\frac 2 9%%, da der Zähler kleinstmöglich und der Nenner größtmöglich ist.

Um das Ergebnis zu bekommen, musst du noch den Kehrbruch von %%\frac 2 9%% bilden, indem du Zähler und Nenner vertauschst.

Die Lösung ist also %%\frac 9 2%%.

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