Aufgaben

Die Masse des herumliegenden Beton-Steins beträgt nach Schätzung des Maurers 10 kg, nach Schätzung des Architekten 16 kg. Ergänze die Sätze:

Die Schätzung des Maurers liegt …% unter der Schätzung des Architekten.

Die Schätzung des Architekten war …% größer als die des Maurers.

Prozentrechnen

Ergänze zuerst den ersten Satz:

%%x\%\widehat=10\,\text{kg}%% (Schätzung des Maurers)

%%100\%\widehat=16\,\text{kg}%% (Schätzung des Architekten)

%%\left|:100\right.%%

%%1\%\widehat=0,16\,\text{kg}%%

Errechne die Differenz der beiden Schätzungen.

%%16\,\text{kg}-10\,\text{kg}=6\,\text{kg}%%

Dividiere nun den Wert eines Prozents durch die errechnete Differenz.

%%\frac{6\,\text{kg}}{0,16\,\text{kg}}=37,5\% %%

Ergänze den Satz.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Schätzung des Maurers liegt 37,5% unter der Schätzung des Architekten.

Ergänze nun den zweiten Satz:

%%x\%\widehat=16\,\text{kg}%%

%%100\%\widehat=10\,\text{kg}%%

%%\left|:100\right.%%

%%1\%\widehat=0,1\,\text{kg}%%

Errechne die Differenz der beiden Schätzungen.

%%16kg-10kg=6\,\text{kg}%%

Dividiere nun den Wert eines Prozents durch die errechnete Differenz.

%%\frac{6\,\text{kg}}{0,1\,\text{kg}}\widehat=60\% %%

Ergänze den Satz.

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Schätzung des Architekten war 60% größer als die des Maurers.

Eine Kundin kauft in einem Sportgeschäft einen Heimtrainer zum Preis von 399,50 €. Als Mitglied eines Sportvereins bekommt sie Ermäßigung und zahlt nur 367,54 €.      
Wie viel % betrug der Preisnachlass?

Überlege dir zuerst wie viel Geld gespart wurde.

%%399,50\,€-367,54\,€=31,96\,€%%

Ordne nun die gegebenen Werte den Fachbegriffen zu.

Gegeben: Grundwert %%G = 399,50\,€%%, der berechnete Wert entspricht dem Prozentwert %%W=31,96\,€%%

Gesucht: Prozentsatz %%p%%

Berechne den Prozentsatz mit Hilfe der Prozentformel.

Lösung:

%%p=\frac WG \\=\frac{31,96\,€}{399,50\,€}=0,08 =8\% %%

 

Antwort: Der Preisnachlass betrug 8%.

Du siehst in einem Geschäft folgende Preistafel:

 

Preistafel zur Prozentrechnung

 

Was meinst du dazu?

Gegeben: %%100\,€=100\% %%

Gesucht: Wert von %%25% %% Rabatt=%%W%%

Dreisatz anwenden.

%%100\,€=100\% %%

%%x=25\% %%

 

%%W=\left(100\,€\cdot25\%\right):100\% %%

 

%%=25\,€%%

Die Lösung von %%100\,€%% subtrahieren.

%%100\,€-25\,€=75\,€%%

 

Antwort: Die Werbetafel beinhaltet eine falsche Aussage, da der reduzierte Preis 75 € betragen müsste, wenn der Preis um 25% gesenkt wird.

Wahrscheinlicher Fehler: Der Schreiber hat anscheinend die 25% Preisnachlass auf die 80 € bezogen, da 25% von 80 € 20 € sind. Die Summe von 20 € und 80 € ergibt 100 €.

Das ist aber bei dieser Aufgabenstellung der falsche Ansatz!

In einem Kaufhaus mit einer Fotoabteilung werden Poster der Größe 20 x 30 cm vom Negativ im Sonderangebot für 0,57 € angeboten. Normal kosten solche Vergrößerungen 0,95 €.

Wie viel Prozent beträgt die Ermäßigung?

Ein Maurer bekommt einen Stundenlohn von 11,76 €, da er im Akkord arbeitet.      
Um wie viel Prozent liegt er damit über dem Normallohn von 11,20 €?

Der Stundenlohn eines Industriemechanikers von 11,20 € soll um 2,5% erhöht werden.      
Wie hoch ist der neue Stundenlohn?

Grundwert %%G = 11,20\,€%%

Prozentsatz %%p = 2,5\% %%

Gesucht ist der Prozentwert %%W%%.

%%W=\frac G{100\%}\cdot p%%

%%=\frac{11,20\,€}{100\%}\cdot2,5\%=0,28\,€%% (Lohnerhöhung)

Neuer Lohn:

%%11,20\,€+0,28\,€=11,48\,€%%

 

Der neue Stundenlohn des Industriemechanikers beträgt 11,48 €.

Wie viel Prozent Preisnachlass gewährt ein Fliesenleger seinem Auftraggeber, wenn er statt 13700 € nur 12604 € berechnet?

Die Miete einer Wohnung beträgt 473,50 €. Nachdem in der Nähe eine Parkanlage angelegt wurde, steigt die Miete dieser Wohnung für neue Mieter auf 492,44 €. Um wie viel Prozent ist der Preis gestiegen?

Ordne den gegebenen Größen die passenden Fachbegriffe zu. Es handelt sich um eine Preiserhöhung, also um einen vermehrten Grundwert.

Gegeben: %%G = 473,50\; €\; ; \; G^+ = 492,44\;€%%

Es ist nach der prozentualen Steigerung des Mietpreises gefragt, also dem Prozentsatz.

Gesucht: %%p%%

%%p = \frac W G%%

Berechne hierzu zuerst W mit der Differenz von vermehrtem Grundwert und Grundwert.

%%W = G^+ - G%%

Setze die gegebenen Größen ein und berechne.

%%W = 492,44\; € - 473,50\;€= 18,94\;€%%

Berechne jetzt den Prozentsatz.

%%p = \frac{18,94\;€}{473,50\;€} = 0,04 = 4%%%

Antwort: Die Miete wurde um %%4\text{%}%% erhöht.

Berechnung mit der Formel für den vermehrten Grundwert

%%G^+= G \cdot (1 + p)%%

Setze die gegeben Größen ein.

%%492,44\;€ = 473,50\;€ \cdot (1 + p)%%

Dividiere durch %%473,50 \;€.%%

%%492,44\;€ : 473,50\;€ = 1 + p%%

Führe die Division durch.

%%1,04 = 1 + p%%

Subtrahiere 1 und vereinfache.

%%1,04 - 1 = p%%

%%\Rightarrow p = 0,04 = 4\text {%}%%

Antwort: Die Miete wurde um %%4\text{%}%% erhöht.

Fabian wiegt 60 kg. Nachdem er eine Woche lang einen Magen-Darm-Virus hatte, wiegt er nur noch 58,8 kg. Wie viel Prozent seines ursprünglichen Körpergewichts hat er verloren?

Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegrffen zu. Das ursprüngliche Gewicht entspricht dem Grundwert. In der Aufgabe handelt es sich um eine Gewichtreduzierung, also um einen verminderten Grundwert.

Gegeben: %%G = 60\; \text{kg}\; ; \;G^- = 58,8\; \text{kg}%%

Es íst nach der prozentualen Abnahme des Gewichts gefragt, also dem Prozentsatz.

Gesucht: %%p%%

%%p = \frac W G%%

Berechne hierzu zuerst W mit der Differenz von Grundwert und vermindertem Grundwert.

%%W = G - G^-%%

Setze die gegebenen Größen ein und berechne.

%%W = 60 \; \text{kg} - 58,8 \; \text{kg} = 1,2 \; \text{kg}%%

Berechne jetzt den Prozentsatz.

%%p = \frac{1,2\;\text{kg}}{60\;\text{kg}} = 0,02 = 2\text{%}%%

Antwort: Fabian hat 2% seines Körpergewichts verloren.

Berechnung mit der Formel für den verminderten Grundwert

%%G^- = G \cdot (1 - p)%%

Setze die gegeben Größen ein.

%%58,8 \; \text{kg} = 60\; \text{kg} \cdot (1 - p)%%

Dividiere durch %%60\;\text{kg}%%.

%%58,8 \; \text{kg} : 60\;\text{kg} = 1 - p%%

Führe die Division durch.

%%0,98 = 1 - p%%

Addiere %%p%%.

%%0,98 + p = 1%%

Subtrahiere %%0,98%% und vereinfache.

%%p = 1 - 0,98 = 0,02 = 2\text{%}%%

Antwort: Fabian hat 2% seines Körpergewichts verloren.

Auf dem Preisschild eines Pullovers liest du einen Betrag von 40 €. Auf das komplette Regal gibt es 50% Rabatt. Im Schaufenster steht ein Schild mit der Aufschrift "Auf alle reduzierten Artikel noch einmal 50% Rabatt!" Ist der Pullover jetzt kostenlos?

Pullover

Verminderten Grundwert berechnen

Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen Grundwert und Prozentsatz zu.

Gegeben: G = 40 € ; %%\text{p}_1%% = 50% ; %%\text{p}_2%% = 50%

Gesucht: G%%^-%%

Es handelt sich um einen Rabatt, also bei der gesuchten Größe um einen verminderten Grundwert.

Verwende die Formel für den verminderten Grundwert.

G%%^-%% = G %%\cdot%% (1 - p)

Setze die gegebenen Größen ein.

G%%^-%% = 40 € %%\cdot%% (1 - 50%)

= 40 € %%\cdot%% (1 - 0,5) = 40 € %%\cdot%%0,5 = 20 €

Vereinfache.

%%\rightarrow%% G%%^-%% ist der neue Grundwert

Rechne nun den Preis nach der zweiten Reduzierung aus. Verwende dabei den neuen Grundwert.

G%%^-%% = G %%\cdot%% (1 - p)

Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.

G%%^-%% = 20 € %%\cdot%% (1 - 50%) = 20 € %%\cdot%% 0,5 = 10 €

Antwort: Nein, der Pullover ist nicht kostenlos. Er kostet jetzt 10 €.

In Amerika sind die Preise der Produkte ohne Steuern ausgeschrieben. Du siehst in New York eine Jeans, die laut Preisschild 70 Dollar kostet. Der Steuersatz beträgt 8,9%. Wie viel musst du an der Kasse zahlen?

Jeans

Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen Grundwert und Prozentsatz zu.

Gegeben: G = 70 $ ; p = 8,9%

Gesucht: G%%^+%%

Steuern werden auf einen Preis draufgerechnet. Es handelt sich also bei dem gesuchten Preis um einen vermehrten Grundwert.

Berechne den Prozentwert mit der Prozentformel.

W = p %%\cdot%% G

W = 8,9% %%\cdot%% 70 $ = 0,089 %%\cdot%% 70 $ = 6,23 $

G%%^+%% = G + W

G%%^+%% = 70 $ + 6,23 $ = 76,23 $

Setze die Zahlen ein.

Berechne den vermehrten Grundwert.

Antwort: An der Kasse musst du 76,23 $ bezahlen.

Ein Reihenhaus sollte für 244.750 € gebaut werden. Die Kosten stiegen während der Bauzeit jedoch auf 259.435 €.      
Wie viel Prozent betrug die Preissteigerung?

Grundwert %%G = 244.750\, €%%

Prozentwert %%W = 259.435\, €-244.750\, €=14.685\, €%%

 

Gesucht wird der Prozentsatz %%p=\frac WG\cdot100\% %%.

%%p=\frac{14685\, €}{244750\, €}\cdot100\%=6\% %%

 

%%\Rightarrow%% Die Preissteigerung betrug also %%6\% %%.

Der Listenpreis eines Autos beträgt 23.925 €. Der Kunde bekommt den Wagen für 21.054 €.      
Um wie viel Prozent liegt dieser Preis unter dem Listenpreis?

Listenpreis: %%23925 \,€%%

Kaufpreis: %%21054 \,€%%

Gesucht wird der Prozentsatz %%p%%.

%%\mathrm{Vergünstigung}\;\mathrm p=\frac{\mathrm{tatsächlicher}\;\mathrm{Wert}\;\mathrm W}{\mathrm{Ausgangswert}\;\mathrm G}\cdot100\% %%

Der Listenpreis ist hier der Grundwert %%G%%. Also gilt: %%G=23.925\,€%%.

Die Differenz von Listen- und Kaufpreis ist hier der Prozentwert %%W%%. Also gilt: %%W = 23925 \,€ - 21054 \,€ = 2871 \,€%%.

Mit obiger Formel für den Prozentsatz gilt: %%p=\frac{2871\,€}{23925\,€}\cdot100\%=12\% %%

Antwort: Der Kaufpreis liegt also %%12\% %% unter dem Listenpreis.

Für eine Kettensäge zahlt ein Hobbygärtner nach Abzug von 3% Rabatt 184,30 €.      
Wie hoch war der ursprüngliche Verkaufspreis?

Prozentrechnen mit verminderten Grundwerten

Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen zu.

Es handelt sich um eine Preissenkung, also bei 184,30 € um einen verminderten Grundwert.

Gegeben:

Vermindeter Grundwert %%G^- = 184,30\;€%%, Prozentsatz %%p = 3\% %%

Gesucht: Grundwert %%G%%

Verwende die Formel für den verminderten Grundwert.

G%%^-%% = G %%\cdot%% (1 - p)

Setze die gegebenen Größen ein.

184,30 € = G %%\cdot%% (1 - 3%)

= G %%\cdot%% (1 - 0,03) = G %%\cdot%% 0.97

Vereinfache soweit wie möglich.

Löse die Formel nach G auf.

G = 184,30 € : 0,97 = 190 €

Antwort: Die Kettensäge kostete ohne Rabatt 190 €.

Ein Gärtner kauft einen Rasentraktor und erhält einen Rabatt.      
Wie viel Prozent Rabatt bekommt er, wenn er statt 1342,50 € nur 1261,95 € bezahlt?

Berechne zunächt wie viel Geld gespart wurde.

%%1342,50\;€-1261,95\;€=80,55\;€%%

Ordne nun die gegebenen Werte den Fachbegriffen zu.

Gegeben: Grundwert %%G = 1342,50€%%, der errechnete Wert entspricht dem Prozentwert %%W= 80,55\;€%%

Gesucht: Prozentsatz %%p%%

Berechne den Prozentsatz mit Hilfe der Prozentformel.

Lösung:

%%p=\frac WG\\=\frac{80,55\;€}{1342,50\;€}=0,06=6\% %%

 

Antwort: Der Gärtner bekommt 6% Rabatt.

Ein Baumarkt gewährt den Mitgliedern von Siedlergemeinschaften auf alle Einkäufe 6% Preisnachlass.      
Wie viel müsste ein Mitglied für einen Rasenmäher zahlen, der normal 164,50 € kostet.

Verminderten Grundwert berechnen

Überlege dir was gesucht und gegeben ist.

Gegeben: Grundwert %%G = 164,50€%%; Prozentsatz %%p=6\% %%

Gesucht: der Preis nach der Rabattaktion, also der verminderter Grundwert

Berechne zunächst den Prozentwert also wie viel Geld gespart wird mit Hilfe der Prozentformel.

Lösung:

%%W=G \cdot p \\ = 164,50\;€ \cdot 6\% =9,87\;€%%

Dieser Wert wird nun vom Grundpreis abgezogen.

Endpreis:

%%G^- = 164,50\;€-9,87\;€=154,63\;€%%

 

Antwort:Ein Mitglied der Siedlergemeinschaft muss für den Rasenmäher nur den rabattierten Preis von 154,63 € bezahlen.

Ein Unternehmer muss für eine Materiallieferung 8229 € bezahlen, da die Preise um 5,5% angehoben wurden.

Wie viel hätte er vor dieser Verteuerung bezahlen müssen?

Der Preisanstieg um 5,5% auf 8229 € lässt sich also erhöhter Grundwert %%G%% auffassen.

Ansatz: Preisanstieg um 5,5% entspricht einer Multiplikation mit dem Faktor %%1+\frac{5,5}{100}%%.

%%1,055\cdot G=8229\,€%%

Teile durch %%1,055%%.

%%G=\frac{8229\,€}{1,055}=7800\,€%%

 

Vor der Verteuerung hätte der Unternehmer 7800 € zahlen müssen.

Eine Verkäuferin bekommt nach Abzug von 32,8% Abgaben 1428 € Nettogehalt ausgezahlt.      
Wie hoch ist das Bruttogehalt?

Prozentsatz %%p = 32,8\% %%

Gesucht wird der verminderte Grundwert.

Das Nettogehalt beträgt 67,2% vom Grundwert.

%%0,672\cdot G=1428€%%

|%%\div0,672%%

%%\Rightarrow\;G=\frac{1428€}{0,672}=2125€%%

 

%%\Rightarrow%% Das Bruttogehalt der Fachverkäuferin beträgt %%2125 €%%.

Eine Baugrube mit einem festen Bodenvolumen von 400 m³ soll ausgehoben werden.      
Wie viele LKWs mit 12 m³ Ladevolumen sind bei einer Auflockerung des Bodens von 14% zum Abtransport erforderlich?

Grundwert %%G = 400\, m³%%

 

Prozentsatz %%p = 14\% %%

Gesucht wird der Prozentwert %%W=\frac G{100\%}\cdot p%%

= Volumenvergrößerung durch Auflockerung

%%W=\frac{400\, m^3}{100\%}\cdot14\%=56\, m^3%%

Abzutransportieren sind:

%%400\, m^3+56\, m^3=456\, m^3%%

 

Ein LKW fasst %%12\, m³%% Erde.

 

Anzahl der LKWs:

%%\frac{456\, m^3}{12\, \frac{m^3}{\mathrm{LKW}}}=38\, \mathrm{LKWs}%%

 

%%\Rightarrow%% Zum Abtransport der Erde sind 38 LKWs erforderlich.

Sonnenschirme, Durchmesser 2,70 m, aus Aluminiumrohr mit einer wetterfesten Polyesterbespannung werden in einem Baumarkt von 87,50 € auf 70 € heruntergesetzt.

Wie viel Prozent beträgt der Preisnachlass?

Um ein Zimmer mit Holz zu verkleiden, sind %%50\ \mathrm{m}^2%% Holzpaneele vorhanden. Die Fläche, die verkleidet werden soll, ist %%46,8\ \mathrm{m}^2%% groß.

Wie viele %%\mathrm{m}^2%% Paneele müssen noch nachgeliefert werden, wenn mit %%18\% %% Verschnitt zu rechnen ist?

Sei %%n%% die nachzuliefernde Menge.

Grundwert: %%G%% = %%(50+n)\;m^2%%

Prozentsatz: %%p%% = %%18% %%

Verschnitt: %%W=\frac{G\cdot p}{100\%}=\frac{(50+n)\;m^2\cdot18\%}{100\%}=(9+0,18n)m^2%%

Wähle %%n%% so, dass %%G-W=(41+0,82n)\; m^2%% der zu verkleidenden Fläche von %%46,8\;m^2%% entspricht.

%%41+0,82n=46,8\;\Rightarrow0,82n=5,8\;\Rightarrow\;n=\frac{580}{82}=\frac{290}{41}\approx7,07%%

Es müssen ca. %%7,1\; m^2%% Paneele nachgeliefert werden.

Eine Sonnenblume ist %%75 cm%% groß. Bis sie ausgewachsen ist, wächst sie noch um %%55\%%%.

Um wie viel Zentimeter wächst sie noch?

Wie groß ist sie, wenn sie ausgewachsen ist?

Sonnenblume

Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen Grundwert, Prozentsatz zu.

Gegeben: G = 75 cm ; p = 55%

Gesucht: W, G%%^+%%

Wende die Prozentformel an.

1. Teilaufgabe

W = p %%\cdot%% G

W = 55% %%\cdot%% 75 cm = 0,55 %%\cdot%% 75 cm = 41,25 cm

Setze die Zahlen ein.

Erste Antwort: Sie wächst 41,25 cm.

2. Teilaufgabe

Addiere Grundwert und Prozentwert um den vermehrten Grundwert zu berechnen.

G%%^+%% = 75 cm + 41,25 cm = 116,25 cm

Der vermehrte Grundwert entspricht der jetzigen Größe der Sonnenblume.

Zweite Antwort: Die Sonnenblume ist jetzt 116,25 cm groß.

Im Tank eines Autos befinden sich 30 Liter Benzin. Auf einem Ausflug an den See werden 6% des Benzins verbraucht.

Wie viel Liter Benzin wurden verbraucht?

Wie viel Liter Benzin sind jetzt noch im Tank?

Zapfsäule

Ordne den gegebenen Größen die passenden Fachbegriffe Grundwert und Prozentsatz zu.

Gegeben: G = 30 Liter ; p = 6%

Gesucht: W, G%%^-%%

Wende die Prozentformel an.

1. Teilaufgabe

W = p %%\cdot%% G

= 6% %%\cdot%% 30 Liter = 0,06 %%\cdot%% 30 Liter = 1,8 Liter

Setze die Zahlen ein.

Erste Antwort: Das Auto verbraucht 1,8 Liter.

2.Teilaufgabe

Subtrahiere den Prozentwert vom Grundwert, um den verminderten Grundwert zu berechnen.

G%%^-%% = 30 Liter - 1,8 Liter = 28,2 Liter

Der verminderte Grundwert entspricht der jetztigen Tankfüllung.

Zweite Antwort: Im Tank des Autos sind jetzt noch 28,2 Liter.

Herr G. Wicht ist 120 kg schwer. Er beginnt am 1. Oktober eine radikale Abmagerungskur.

  1. Am 1. November hat er 15% seines Körpergewichts verloren. Wie schwer ist er jetzt?

  2. Bis zum 1. Dezember verliert er erneut 15% an Gewicht. Wie schwer ist er zu diesem Zeitpunkt?

  3. Im Januar jedoch - nach den vielen Feiertagen - zeigt die Waage wieder 120 kg an! Um wie viel Prozent hat er in den beiden vergangenen Monaten wieder zugenommen? Runde auf eine Kommastelle.

Teilaufgabe a)

Gegeben: altes Gewicht:120 kg,

Info: Er wiegt nun 15% weniger.

Gesucht: neues Gewicht

Dreisatz anwenden.

Sei %%x%% der Gewichtsverlust.

%%x=15\% %%

%%120\, \mathrm{kg}=100\% %%

%%x=\left(120\, \mathrm{kg}\cdot15\%\right):100\%=18\, \mathrm{kg}%%

Nun subtrahiere den Gewichtsverlust %%x%% von dem ursprünglichen Gewicht.

%%120\, \mathrm{kg}-18\, \mathrm{kg}=102\, \mathrm{kg}%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Am 1. November wiegt er noch 102 kg.

Teilaufgabe b)

Gegeben: altes Gewicht:102 kg,

Info: Er wiegt bis zum 1. Dezember 15% weniger.

Gesucht: neues Gewicht

Dreisatz anwenden.

Sei %%x%% der Gewichtsverlust.

%%x=15\% %%

%%102\, \mathrm{kg}=100\% %%

%%x=\left(102\, \mathrm{kg}\cdot15\%\right):100\%=15,3\, \mathrm{kg}%%

Nun subtrahiere den Gewichtsverlust %%x%% vom vorherigen Gewicht.

%%102\, \mathrm{kg}-15,3\, \mathrm{kg}=86,7\, \mathrm{kg}%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Am 1.Dezember wiegt er noch 86,7 kg.

 

Teilaufgabe c)

Gegeben: altes Gewicht:86,7 kg, neues Gewicht:120 kg

Gesucht: prozentuale Gewichtssteigerung %%g%%

Dreisatz anwenden.

%%100\%=86,7\, \mathrm{kg}%%

%%x=120\, \mathrm{kg}%%

%%x%% Steigerungsfaktor.

Bestimme die absolute Gewichtssteigerung, indem du die Differenz von 120 und 86,7 bildest.

 

%%120\, \text{kg}-86,7\, \text{kg}=33,3\, \text{kg}%%

Bestimme die prozentuale Gewichtssteigerung als Anteil der absoluten Gewichtssteigerung am Gesamtgewicht von %%86,7\, \text{kg}%%.

%%g=\frac{33,3\, \text{kg}}{86,7\, \text{kg}}=\frac{111}{289}\approx38,41\% %%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% In den vergangenen beiden Monaten hat er wieder um 38,41% zugenommen.

Der Preis eines Autos erhöht sich durch Teilzahlung von 38.950 € auf 42.650 €.      
Wie viel Prozent beträgt der Aufschlag?

Grundwert %%G = 38950 \,€%%

 

Grundwert %%G = 38950 \,€%%

Prozentwert %%W = 42650 \,€ - 38950\, € = 3700 \,€%%

Gesucht ist der Prozentsatz: %%p=\frac WG\cdot100\% %%.

%%p=\frac{3700\,€}{38950\,€}\cdot100\%\approx9,5\% %%

 

Antwort: Der Aufschlag bei Teilzahlung beträgt etwa %%9,5\% %%.

In einer Autowerkstatt werden nach einer Preiserhöhung um 5 % vier Winterreifen zusammen für 327,60 € angeboten.      
Wie teuer waren die Reifen vorher?

Grundwert bestimmen

Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachgebgriffen vermehrter Grundwert und Prozentsatz zu.

Gegeben: G%%^+%% = 327,60 € ; p = 5%

Gesucht: G

Wende die Prozentformel für den vermehrten Grundwert an.

G%%^+%% = G %%\cdot%% (1 + p)

Setze die gegebenen Größen ein.

327,60 € = G %%\cdot%% (1 + 5%)

Vereinfache.

= G %%\cdot%% (1 + 0,05) = G %%\cdot%% 1,05

Dadurch erhältst du folgende Gleichung.

327,60 € = G %%\cdot%% 1,05

|:1,05

G = 327,60 € : 1,05 = 312 €

Antwort: Vor der Preiserhöhung kosteten die Reifen 312 €.

Eine Familie möchte sich ein Haus für 250 000 € bauen. Während der Bauzeit fallen aber immer wieder weitere Kosten an und der ursprünglich geplante Preis steigt um insgesamt 7%. Wie viel muss die Familie jetzt für ihr fertiges Haus zahlen?

Vermehrten Grundwert bestimmen

Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen Grundwert und Prozentsatz zu.

Gegeben: G = 250 000 € ; p = 7%

Es handelt sich um eine Preiserhöhung also bei der gesuchten Größe um einen vermehrten Grundwert.

Gesucht: G%%^+%%

Berechne mit der Formel für den vermehrten Grundwert.

G%%^+%% = G %%\cdot%% (1 + p)

Setze die gegebenen Größen ein.

= 250 000 € %%\cdot%% (1 + 7%)

Vereinfache.

= 250 000 € %%\cdot%% (1 + 0,07) = 250 000 € %%\cdot%% 1,07 = 267 500 €

Antwort: Das Haus kostet jetzt 267 500 €.

Rechne mit der Formel G%%^+%% = G + W. Bestimme dazu zuerst W.

W = p %%\cdot%% G

Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.

= 7% %%\cdot%% 250 000 € = 17 500 €

Berechne den vermehrten Grundwert.

G%%^+%% = G + W = 250 000 € + 17 500 € = 267 500 €

Antwort: Das Haus kostet jetzt 267 500 €.

Der Grundpreis eines Wagens beträgt 27500 €. Die Sonderausstattung erhöht den Preis um 1000 €. Wegen Barzahlung erhält der Käufer 12% Rabatt.      

Wie viel Prozent vom Grundpreis sind tatsächlich gezahlt worden?

Prozentrechnen mit vermehrten und verminderten Grundwerten

Überlege dir zunächst wie viel Geld der Käufer tatsächlich bezahlen musste.

Preis nach der Preiserhöhung:

%%27500\,\text{€} + 1000\,\text{€} = 28500\,\text{€}%%

Preis nach der Rabattaktion:

Berechne den Prozentwert, der angibt wie viel Geld gespart wird.

Gegeben: Grundwert %%G=28500\text{€}%%, Prozentsatz %%p=12\% %%

Gesucht: Prozentwert %%W%%

Verwende die Prozentformel.

%%W=p \cdot G\\ =28500\;€ \cdot 12\%\\ =28500\;€ \cdot 0,12\\ =3420\;€%%

Dieser Betrag wird von dem zuzahlenden Betrag abgezogen.

%%28500\; € - 3420\; € = 25080\;€%%

Anteil des gezahlten Betrags vom ursprünglichen Grundpreis:

Gegeben: Grundwert %%G=27500\,\text{€}%%, Prozentwert %%W=25080\,\text{€}%%

Gesucht: Prozentsatz %%p%%

Berechne den prozentuellen Anteil mit Hilfe der Prozentformel.

%%p= \frac{W}{G} \\= \frac{25080\,\text{€}}{27500\,\text{€}} \\= 0,912 = 91,2\% %%

Antwort: Tatsächlich wurden 91,2% vom Grundpreis gezahlt.

500 g Erdbeeren werden auf dem Wochenmarkt für 1,75 € angeboten. Beim Kauf von 1,5 kg zahlt der Kunde nur 4,50 €.

Wie viel Prozent beträgt die Ersparnis?

Bestimme den Grundwert %%G%% als Preis von 3 Schalen Erdbeeren a 500%%\, g%%.

%%3\cdot500\, g%% Erdbeeren kosten: %%3\cdot1,75\, €=5,25\, €%%

Ein Direktkauf von 1,5 kg Erdbeeren kostet 4,50 €.

Ersparnis = %%5,25\, €-4,50\, €=0,75\, €%% (Prozentwert %%W%%)

prozentuale Ersparnis %%p=\frac WG\cdot100\%=\frac{0,75\, €}{5,25\, €}\cdot100\%=\frac{1}7\cdot100\%\approx14,3\% %%

%%\Rightarrow%% Die Ersparnis beim Kauf von 1,5 kg Erdbeeren beträgt etwa 14,3%.

Da die Besucherzahl in einem Freibad zurückgegangen war, wurde der Eintrittspreis um 15% gesenkt. Im nächsten Jahr liest du in der Zeitung, dass der Preis wieder um 15% gestiegen ist. Thomas sagt: "Jetzt kostet der Eintritt wieder so viel wie früher!"

Was meinst du dazu?

Ticket

Umgang mit vermehrtem/vermindertem Grundwert

Thomas hat nicht Recht. Die beiden Prozentsätze von jeweils 15% beziehen sich auf unterschiedliche Grundwerte. Die Reduzierung um 15% bezieht sich auf den ursprünglichen Preis und die Preiserhöhung um 15% bezieht sich auf den dann reduzierten Eintrittspreis.

15% des reduzierten Eintrittspreises bilden einen kleineren Prozentwert als die 15% des ursprünglichen Preises. Dadurch ist der aktuelle Preis immer noch niedriger als der Anfangspreis.

Du kannst dir das auch anhand eines selbstgewählten Beispiels überlegen:

Angenommen der Eintrittspreis kostet 5 €.

Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen Grundwert und Prozentsatz zu.

Gegeben: G = 5 € ; p%%_1%% = 15% ; p%%_2%% = 15%

Im ersten Schritt handelt es sich um eine Reduzierung also bei der gesuchten Größe um einen verminderten Grundwert.

Gesucht: G%%^-%%

Berechne mit der Fomel für G%%^-%%.

G%%^-%% = G - W

Berechne zuerst W mit der Prozentformel für den Prozentwert.

W = p%%_1\cdot%% G

Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.

= 15% %%\cdot%% 5 € = 0,15 %%\cdot%% 5 € = 0,75 €

Jetzt kannst du den verminderten Grundwert berechnen.

G%%^-%% = 5 € - 0,75 € = 4,25 €

%%\Rightarrow%% Nach der Preisreduzierung von 15% kostet der Eintritt 4,25 €. Das ist nun der neue Grundwert mit dem du weiterrechnest.

Gegeben: G = 4,25 €

Im zweiten Schritt handelt es sich um eine Preiserhöhung also bei der gesuchten Größe um einen vermehrten Grundwert.

Gesucht: G%%^+%%

Berechne mit der Formel für G%%^+%%

G%%^+%% = G + W

Berechne zuerst W mit der Prozentformel für den Prozentwert.

W = p%%_2\cdot%% G

Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.

= 15% %%\cdot%% 4,25 € = 0,15 %%\cdot%% 4,25 € = 0.6375 €

Jetzt kannst du den vermehrten Grundwert berechnen.

G%%^+%% = 4,25 € + 0.6375 € = 4,8875 € %%\approx%% 4,89 €

%%\Rightarrow%% Nach der Preiserhöhung kostet der Eintritt ungefähr 4,89 €.

Antwort: Nach der Reduzierung und der Erhöhung ist der Preis immer noch niedriger als der ursprüngliche Preis.

Ein Fahrrad, das 400 € kostet, wird um 20% reduziert. Um noch mehr Käufer anzulocken gibt es nach einer Woche noch einmal 10% Rabatt. Würdest du mehr, weniger oder gleich viel bezahlen, wenn das Fahrrad gleich um 30% billiger wird? Begründe deine Antwort!

Logo eines Fahrradgeschäfts

Verminderten Grundwert bestimmen

Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen Grundwert und Prozentsatz zu.

Gegeben: G = 400 € ; p%%_1%% = 20% ; p%%_2%% = 10% ; p%%_3%% = 30%

Gesucht: G%%^-%%

Der Preis wird reduziert, also ist ein verminderter Grundwert gesucht.

Zweimalige Preissenkung

Berechne den verminderten Grundwert nach dem ersten Rabatt von 20%. Verwende die Formel für den verminderten Grundwert.

G%%^-%% = G %%\cdot%% (1 - p%%_1%%)

Setze die gegebenen Größen ein.

G%%^-%% = 400 € %%\cdot%% (1 - 20%)

Vereinfache.

= 400 € %%\cdot%% (1 - 0,2) = 400 € %%\cdot%% 0,8 = 320 €

%%\rightarrow%% G%%^-%% ist der neue Grundwert G%%_2%%

Berechne den verminderten Grundwert nach dem zweiten Rabatt von 10%. Verwende die Formel für den verminderten Grundwert.

G%%_2^-%% = G%%_2\cdot%% (1 - p%%_2%%)

Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.

= 320 € %%\cdot%% (1 - 10%) = 320 € %%\cdot%% 0,9 = 288 €

Antwort: Das Fahrrad kostet nach einer Reduzierung von 20% und 10% noch 288 €.

Einmalige Preissenkung

Berechne den verminderten Grundwert nach dem Rabatt von 30%.

G%%^-%% = G %%\cdot%% (1 - p%%_3%%)

Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.

G%%^-%% = 400 € %%\cdot%% (1 - 30%) = 400 € %%\cdot%% 0,7 = 280 €

Antwort: Das Fahrrad kostet nach einer Reduzierung von 30% noch 280 €.

%%\Rightarrow%% Antwort insgesamt: Nach der einmaligen Presireduzierung von 30% ist das Fahrrad billiger als nach der zweimaligen Reduzierung von 20% und 10%.

Rechne mit der Formel G%%^-%% = G - W. Bestimme dazu zuerst W mit Hilfe der Prozentformel.

Zweimalige Preissenkung

W = p%%_1\cdot%% G

Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.

= 20% %%\cdot%% 400 € = 0,2 %%\cdot%% 400 € = 80 €

Berechne den verminderten Grundwert.

G%%^-%% = G - W = 400 € - 80 € = 320 €

%%\rightarrow%% G%%^-%% ist der neue Grundwert G%%_2%%

Berechne den verminderten Grundwert nach dem Rabatt von 10% aus. Berechne hierzu den Prozentwert W%%_2%%.

W%%_2%% = p%%_2 \cdot%% G%%_2%%

Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.

W%%_2%% = 10% %%\cdot%% 320 € = 32 €

Berechne den verminderten Grundwert G%%^-_2%%.

G%%_2^-%% = G%%_2%% - W%%_2%% = 320 € - 32 € = 288 €

Antwort: Das Fahrrad kostet nach einer Reduzierung von 20% und 10% noch 288 €.

Einmalige Preissenkung

W = p%%_3 \cdot%% G

Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.

= 30% %%\cdot%% 400 € = 0,3 %%\cdot%% 400 € = 120 €

Berechne den verminderten Grundwert.

G%%_2^-%% = G - W = 400 € - 120 €

Antwort: Das Fahrrad kostet nach einer Reduzierung von 30% noch 280 €.

%%\Rightarrow%% Antwort insgesamt: Nach der einmaligen Presireduzierung von 30% ist das Fahrrad billiger als nach der zweimaligen Reduzierung von 20% und 10%.

Ein Handwerker kauft Werkzeuge für 2300 € ein. Er erhält einen Rabatt von 6% und, da er bar zahlt, noch 2% Skonto. Das Skonto geht vom rabattierten Preis ab.

Welchen Preis muss er zahlen?

%%\begin{array}{cc}\mathrm{Bruttopreis}:&2300,00\;€\\6\%\;\mathrm{Rabatt}:&\underline{-138,00\;€}\\\!&2162,00\;€\\2\%\;\mathrm{Skonto}:&\underline{-43,24\;€}\\\mathrm{Rechnungsbetrag}:&2118,76\;€\end{array}%%

Rabatt:

%%W=\frac{G\cdot p}{100\%}=\frac{2300\, €\cdot6\%}{100\%}=138\, €%%

Skonto:

  %%W=\frac{G\cdot p}{100\%}=\frac{2162\, €\cdot2\%}{100\%}=43,24\, €%%

 

Der Handwerker muss 2118,76 € zahlen.

Der Preis von Äpfeln wird um 20% des bisherigen Preises gesenkt. Da die Äpfel zu dem reduzierten Preis reißenden Absatz finden, beschließt der Händler, diese Äpfel wieder zu dem höheren alten Preis zu verkaufen. Um wie viel Prozent werden dadurch die Äpfel aus Sicht des Konsumenten teurer?

Grundwert: %%1%%

Prozentsatz: %%100\%-20\%=80\% %%

Prozentwert: %%0,8%%

Bestimme nun den Prozentsatz, um vom Prozentwert 0,8 wieder auf den Grundwert von 1 zu kommen.

%%80\%\cdot x=100\% %%

%%\left|\div0,8\right.%%

%%x=1,25%%

%%\Rightarrow%% Aus Konsumentensicht werden die Äpfel so um %%25\% %% teurer.

 

Wasser vergrößert sein Volumen beim Gefrieren um 10%.

Berechne das Volumen des Eises, das dann aus 1 Liter Wasser entstanden ist.

Wie viele Liter Wasser entstehen, wenn %%5\frac12\mathrm{dm}^3%% Eis geschmolzen sind?

Im Sportgeschäft Schlauberger werden wegen eines Jubiläumsverkaufs alle Artikel um 20 % reduziert angeboten. Rudi kauft ein Rennrad, das jetzt nur 460,- € kostet, und freut sich über das „gesparte“ Geld. Er weiß nicht, dass Herr Schlauberger den Preis für das Fahrrad in der Woche vor dem Jubiläumsverkauf um 15 % erhöht hatte. Wie viel kostete das Rad ursprünglich? Wie viel Prozent beträgt der Preisnachlass also in Wirklichkeit?

Gegeben: %%460€=80\% %%

Gesucht: ursprünglicher Preis %%P%%, also Preis nach der Steigerung des Preises um 15%.

Dreisatz anwenden.

%%x=100\% %%

%%460€=80\% %%

 

%%P=\left(100\%\cdot460€\right):80\% %%

 

%%=575€%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Der Preis nach der 15%-Steigung des Preises betrug 575€.

Gegeben: %%575€=115\% %%

 

Da der Preis um %%15\% %% erhöht wurde entsprichen die %%575€%% gleich %%115\% %% . Nun muss der Wert von einem Prozent ausgrechnet werden.

%%\frac{575€}{115\%}=\frac{5€}{1\%}=500€%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Der ursprüngliche Preis betrug 500€.

Nun rechne die eigentliche Preissenkung aus.

%%100\%\widehat=500€%%

%%1\%\widehat=5€%%

Die %%460€%% durch die %%5€%% teilen, um den prozentualen Wert der %%460€%% von den %%500€%% auszurechnen.

%%\frac{460€}{5€}=92%%

 

%%92\%\widehat=460€%%

Die Preissenkung in Prozent ausrechnen.

%%100\%-92\%=8\% %%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Preissenkung beträgt eigentlich %%8\% %%. Der Preis wurde so real von 500€ auf 460€ gesenkt.

Herr Maier musste das Dach seiner Garage sanieren lassen. Der Nettopreis beträgt 2800,- Euro; hinzu kommen 16 % Mehrwertsteuer. Wenn die Rechnung innerhalb von 8 Tagen beglichen wird, werden auf den Bruttobetrag 2 % Skonto gewährt. Herr Maier schlägt auf den Nettobetrag 14 % auf und überweist das Geld sofort. Hat Herr Maier vernünftig gehandelt?

Herr Maiers Ansatz:

Er zieht von den %%16\% %% die %%2\% %% Skonto ab.

%%16\%-2\%=14\% %%

Dann rechnet er den Nettobetrag von 2800€ und die 14% der 2800€ zusammen.

%%2800\,€+2800\,€\cdot0,14=3192\,€%%

 

Richtiger Ansatz:

Erst die Mehrwertsteuer zum Nettobetrag dazu rechnen.

%%2800\,€+2800\,€\cdot0,16=3248\,€%%

Dann die %%2\% %% vom Bruttobetrag abziehen.

%%3248\,€-3248\,€\cdot0,02\approx3183\,€%%

 

Die Differenz zwischen dem Betrag, den er hätte zahlen müssen, und dem Betrag, den er gezahlt hat, solltest du nun bestimmen.

%%3192\,€-3183\,€=9\,€%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Er hat nicht vernünftig gehandelt, da er so %%9\,€%% zu viel zahlt.

Der Preis für ein Mofa stieg zuerst um 15%, sank dann wieder um 10% und beträgt nun 1449 Euro. Um wie viel Prozent hat sich der Preis insgesamt verändert?

Sei %%x%% der Anfangspreis.

Zunächst steigt der Preis um 15%: %%x\cdot115\%=x\cdot1,15%%

Dann sinkt er jedoch wieder um 10%: %%x\cdot115\%\cdot90\%\;=\;x\cdot1,15\cdot0,9=x_0%%

%%x_0%% ist der Endpreis.

Es gilt: %%x_0=1,15\cdot0,9\cdot x=1,035\cdot x%%.

%%\Rightarrow%% Insgesamt wurde der Anfangspreis also um %%3,5\% %% erhöht.

Ist ein Bambus von 30 cm, der in der ersten Woche um 100% wächst und in der zweiten Woche wieder um 100% wächst, dann dreimal so groß wie am Anfang?

Bambus

vermehrten Grundwert berechnen

Ordne die gegebenen Größen den passenden Fachbegriffen Grundwert und Prozentsatz zu.

Gegeben: G = 30 cm ; %%\text{p}_1%% = 100% ; %%\text{p}_2%% = 100%

Gesucht: G%%^+%%

Der Bambus wächst, also handelt es sich um einen vermehrten Grundwert.

Verwende die Formel für den vermehrten Grundwert.

G%%^+%% = G %%\cdot%% (1 + p)

Setze die gegebenen Größen ein.

G%%^+%% = 30 cm %%\cdot%% (1 + 100%)

= 30 cm %%\cdot%% (1 + 1) = 30 cm %%\cdot%% 2 = 60 cm

Vereinfache.

%%\rightarrow%% G%%^+%% ist der neue Grundwert

Rechne nun die Größe des Bambus nach der zweiten Woche aus. Verwende dabei den neuen Grundwert.

G%%^+%% = G %%\cdot%% (1 + p)

Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.

G%%^+%% = 60 cm %%\cdot%% (1 + 100%) = 60 cm %%\cdot%% 2 = 120 cm

Nein, der Bambus ist nicht dreimal so größ. Er hat jetzt eine Größe von 120 cm, also ist er viermal so groß wie am Anfang.

"Mehrwertsteuer geschenkt!" - Das ließt man des Öfteren in Geschäften oder Werbeanzeigen.

Du möchtest ein Möbelstück für 100 € kaufen.

Wenn du die Wahl hättest zwischen "Mehrwertsteuer geschenkt" oder "19% Rabatt", was würdest du auswählen? Begründe deine Antwort durch Rechnung.

Mehrwertsteuer

Die Mehrwertsteuer in Deutschland beträgt 19%. Bevor ein Laden ein Produkt verkaufen kann, muss er den ursprünglichen Preis um 19% erhöhen. Der erhöhte Wert entspricht dem Verkaufspreis, den man auf dem Preisschild lesen kann.

Prozentrechnen mit vermindertem/vermehrtem Grundwert

19% Rabatt:

Als erstes überlegst du dir wie viel du bezahlst, wenn du 19% Rabatt bekommst. Daher sind 100 € unser Grundwert, der reduziert wird.

Gegeben: G = 100 € ; p = 19%

Es handelt sich um eine Preissenkung, also bei der gesuchten Größe um einen verminderten Grundwert.

Gesucht: G%%^-%%

Berechne mit der Formel für den verminderten Grundwert.

G%%^-%% = G %%\cdot%% (1 - p)

Setze die gegebenen Größen ein.

= 100 € %%\cdot%% (1 - 19%)

Vereinfache.

= 100 € %%\cdot%% (1 - 0,19) = 100 € %%\cdot%% 0,81 = 81 €

Antwort: Bei einem Rabatt von 19% zahlst du nur noch 81 €.

Mehrwertsteuert geschenkt:

Als zweites überlegst du dir wie viel du zahlen musst, wenn dir die Mehrwertsteuer geschenkt wird. Die Mehrwertsteuer bezieht sich immer auf einen Grundwert, der nicht dem Verkaufspreis entspricht (Nettopreis). Der Verkaufswert entspricht also einem um die Mehrwertsteuer vermehrten Grundwert (Bruttopreis).

Gegeben: G%%^+%% = 100 € ; p = 19%

Gesucht wird der Preis ohne Steuer, also der Grundwert auf den die Steuer draufgerechnet wurde.

Gesucht: G

Berechne mit der Formel für den vermehrten Grundwert.

G%%^+%% = G %%\cdot%% (1 + p)

Setze die gegebenen Größen ein und vereinfache.

100 € = G %%\cdot%% (1 + 19%) = G %%\cdot%% 1,19

Teile durch 0,81 und runde auf zwei Nachkommastellen.

G = 100 € : 1,19 %%\approx%% 84,03 €

Antwort: Bei der Aktion "Mehrwertsteuer geschenkt" zahlst du nur noch ca. 84,03 €.

%%\Rightarrow%% Du erkennst, dass beide Aktionen zu einem unterschiedlichen Verkauspreis führen, obwohl sie auf den ersten Blick gleich scheinen. Dies liegt daran, dass sich die Prozentzahlen auf unterschiedliche Grundwerte beziehen.

Antwort insgesamt: Bei der Rabattaktion von 19% kostet dein Möbelstück weniger als bei "Mehrwertsteuer geschenkt"-Aktion. Du entscheidest dich deshalb für die Rabattaktion.

  1. Zu einem Fest kommen 24% mehr Personen als die Veranstalter erwartet haben. Was weiß man dann über das Verhältnis der tatsächlichen Anzahl %%n_2%% zur geschätzten Anzahl %%n_1%%?

  2. Die Körpergröße eines Kindes hat im Laufe eines Jahres von %%x_{alt}%%   auf %%x_{neu}%% zugenommen. Wobei %%\frac{x_{neu}}{x_{alt}}=1,084%%. Um wieviel Prozent ist es gewachsen?

Teilaufgabe a)

%%n_1=100\% %%

%%n_2=n_1+24\%=124\% %%

Zu der Prozentzahl 124% gehört der Faktor 1,24.

Das heißt, wenn sich der Anfangswert (100%) um 24% vergrößern soll, muss man mit 1,24 multiplizieren. Dann hat man den Wert, der 124% des Anfangswertes entspricht.

%%n_2=n_1\cdot1,24%%

%%\left|:\;n_1\right.%%

%%\frac{n_2}{n_1}=1,24%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Man weiß also, dass das Verhältnis %%\frac{n_2}{n_1}=1,24%% gilt.

Teilaufgabe b)

%%x_{alt}=100\% %%

%%\frac{x_{neu}}{x_{alt}}=1,084%%

%%\left|\cdot x_{alt}\right.%%

%%x_{neu}=1,084\cdot x_{alt}%%

Der Faktor 1,084 gehört zur Prozentzahl 108,4%. Das heißt der Wert %%x_{neu}%% entspricht 108,4% von dem Wert %%x_{alt}%% (100%). Jetzt kannst du das Wachstum berechnen.

Wachstum: %%x_{neu}-x_{alt}=108,4\%-100\%=8,4\% %%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Das Kind ist um %%8,4\% %% gewachsen.

Herr Boller plant in seinem Garten einen Teich anzulegen. Das Volumen des Teiches soll 15,6 %%m^3%% betragen.

Welche Erdmenge muss Herr Boller per Container abfahren lassen, wenn mit einer Auflockerung von 15% zu rechnen ist, also den Arbeiten sogar noch 15% mehr Erde ausgehoben werden müssen?

Vermehrten Grundwert berechnen

Ordne die gegebenen Werte den Fachbegriffen zu.

Gegeben:

Grundwert %%G=15,6\,\text{m}^3%%

Prozentsatz %%p = 15\% %%

Es muss mehr Erde ausgehoben werden als der Grundwert angibt. Bei der gesuchten Größe handelt es sich also um einen vermehrten Grundwert.

Gesucht: vermehrter Grundwert %%G_+%%

Berechne zuerst wie viel Erde zusätzlich ausgehoben wird. Berechne dazu den Prozentwert %%W%% zu den gegebenen Werten %%p%% und %%G%% mit Hilfe der Formel.

Lösung:

%%W=G\cdot p\\=15,6\,\text{m}^3\cdot15\%\\=15,6\,\text{m}^3\cdot0,15\\= 2,34\,\text{m}^3%%

Dieses Volumen an Erde, wird zusätzlich ausgehoben, wird also zu dem Grundwert addiert.

%%G_+=G + W \\= 15,6\,\text{m}^3+2,34\,\text{m}^3=17,94\,\text{m}^3%%

Antwort: Insgesamt müssen %%17,94\; m^3%% Erdreich ausgehoben werden.

Ein digitales Mikroskop hat einen Knopf: "Vergrößerung um 100% erhöhen".

  1. Das Mikroskop zeigt gerade Gegenstände in ihrer Originalgröße an und du drückst den oben beschrieben Knopf drei Mal. Welche Vergrößerung ist eingestellt?

  2. Du bist bereits auf 300% Vergrößerung und drückst erneut auf den Knopf. Welche Vergrößerung ist es diesmal?

  3. Wie kann man die Beschriftung des Knopfes verstehen? Gib zwei Möglichkeiten an!

1. Teilaufgabe

Grundwert %%G = 100\% %%

Originalgröße bedeutet keine Vergrößerung, sodass der ganze (100%) Gegenstand abgebildet wird.

Prozentsatz p = 100%

Zunächst gesucht: vermehrter Grundwert nach einem Knopfdruck %%G_1^+%%

Nach dem ersten Knopfdruck sind die 100% "um 100% erhöht".

%%G_1^+ = G \cdot(1+p) = 100\% \cdot (1+1) = 200\%%%

Als Zahl ist %%100\%=1%%.

%%G_2^+ = G_1^+ \cdot(1+p) = 200\% \cdot (1+1) = 400\%%%

Die aktuelle Vergrößerung wird als neuer Grundwert verwendet.

%%G_3^+ = G_2^+ \cdot(1+p) = 400\% \cdot (1+1) = 800\%%%

Ergebnis nach drei Mal Drücken.

2. Teilaufgabe

%%G^+ = 300\% \cdot(1+p) = 600\%%%

Gehe nach demselben Prinzip vor wie bei Teilaufgabe 1.

3. Teilaufgabe

"Wieder und wieder um 100% erhöhen" kann missverständlich formuliert sein, weil es zwei Möglichkeiten zulässt:

  1. Es handelt sich immer um eine Erhöhung um 100% des Grundwertes.

  2. Es handelt sich jedes Mal um eine Erhöhung um 100% des aktuellen Wertes.

Bei der Erstellung der Lösung ist die 2. Möglichkeit angenommen worden.

Erste Möglichkeit

Für die 1. Teilaufgabe würde die 1. Möglichkeit bedeuten, dass bei jedem Schritt 100% addiert werden, die Vergrößerung also nur 400% beträgt.

Für die 2. Teilaufgabe gilt dasselbe und man erhielte ebenfalls 400%.

Wie fühlst du dich in einer Klasse, in der es fast nur Mädchen oder fast nur Jungen gibt? Die Geschlechterverteilung unterscheidet sich nicht nur zwischen einzelnen Klassen, sondern sogar zwischen ganzen Ländern.

  1. Formuliere folgenden Satz um, indem du "fast nur" durch eine Prozentangabe ersetzt und den Sinn erhältst: "In unserer Klasse gibt es fast nur Mädchen"!
    1. Gib mit Hilfe deiner Antwort an, wie viel Prozent der Klasse Jungen sind.
  2. Die CIA hat im Internet das Geschlechterverhältnis verschiedener Länder veröffentlicht. Allerdings sind die Angaben nicht in Prozent, sondern in einem Quotienten angegeben. In der Tabelle unten kannst du die Werte für Deutschland und Indien sehen.
    1. Wieviele Männer kommen auf 100 Frauen?
    2. Wie viel Prozent der Deutschen sind Männer? Wie viel Prozent der indischen Bevölkerung sind männlich?

Land

Anzahl Männer pro Frau

Deutschland

0,97

Indien

1,08

1. Teilaufgabe

Interpretation von fast nur als Prozentsatz

Fast nur müssen auf jeden Fall mehr als die Hälfte, also mehr als 50% entsprechen. Nach allgemeinem Verständnis ist wohl auch mehr als 75% sinnvoll. Eine möglichkeit wäre daher
"In unserer Klasse sind 90% der Schüler Mädchen."

Berechnung des verbleibenden Prozentsatzes

Um nun den Prozentsatz der Jungen zu erhalten ziehst du von 100% deinen gewählten Prozentsatz ab. Hier also $$100\%-90\% = 10\%$$ Also gibt es in der besagten Klasse 10% Jungen.

2. Teilaufgabe

Proportionalität erkennen

Du multiplizierst sowohl die Anzahl Frauen als auch Anzahl Männer mit 100 und erhältst immer noch das gleiche Verhältnis.

In Deutschland gibt es 97 Männer und in Indien 108 Männer je 100 Frauen.

Faktor Hundert?

Du kannst auch mit jedem anderen Faktor multiplizieren. So gibt es beispielsweise auf 500 Frauen genau 485 Männer. In der Frage war aber nach der Anzahl Männer auf 100 Frauen gefragt.

Berechnung der Prozentsätze

Deutschland

Es gibt 97 Männer und 100 Frauen, also insgesamt 197 Personen. 97 Männer sind der Prozentwert und 197 der Grundwert.

Das führt zu folgender Rechnung $$\dfrac{W}{G} = \dfrac{97}{197} \approx 0,49 = 49\%$$

Indien

$$\dfrac{W}{G} = \dfrac{108}{208} \approx 0,52 = 52\%$$

Ein Händler kauft ein Gerät ein und verkauft es an den Kunden mit 15% Rabatt. Der Kunde bezahlt 1250 Euro. Für welchen Betrag hat der Händler das Gerät im Laden zum Verkauf angeboten? Zu welchem Preis hat er das Gerät gekauft, wenn er letztendlich 12% Gewinn gemacht hat?

Der um 15% Rabatt ermäßigte Verkaufspreis beträgt 1250 Euro.

Also entsprechen 1250 Euro gerade 85% des ausgeschriebenen Verkaufspreises.

Der Verkaufspreis beträgt also: %%\frac{1250\, €}{85\%}=\frac{1250}{0,85}\, €=1470\frac{10}{17}\, €\approx1470,59\, €%%.

Nun soll der Ankaufspreis bestimmt werden. Beim Verkauf des Geräts macht der Verkäufer bei einem Verkaufspreis von 1250 Euro einen relativen Gewinn von 12%.

Also entspricht der Verkaufspreis von 1250 Euro gerade 112% des Ankaufspreises.

Der Ankaufspreis beträgt also: %%\frac{1250\, €}{112\%}=1116\frac1{14}\, €\approx1116,07\, €%%.

 

Herr X. spendet 8% seines Lottogewinns, nämlich 6464€, für den Bau eines Spielplatzes. Wie viel von dem Lottogewinn ist danach vom Gewinn noch übrig?

Prozentrechnen

%%8\%\widehat=6464€%%

%%\left|:8\right.%%

%%1\%\widehat=808€%%

Subtrahiere den Anteil von 8% vom gesamten prozentualen Gewinn (100%). Ermittle somit den Prozentwert.

%%100\%-8\%=92\% %%

Multipliziere den errechneten Prozentwert mit dem Wert eines Prozents, um den verbleibenden Gewinn zu bestimmen.

%%92\cdot808€=74336€%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Es bleiben noch 74336€ des Lottogewinns übrig.

Eine Ware kostet mit 16% Mehrwertsteuer 346,84 €. Schreibe einen Rechenausdruck auf, mit dem der Preis ohne MWSt berechnet werden kann.

%%x%% entspricht 100%.

Stelle nun eine Gleichung auf. Bei dieser muss du %%x%% mit dem Prozentwert, zusätzlich der Mehrwersteuer %%\left(100\%+16\%=116\%\widehat=1,16\right)%%, multiplizieren und nach %%x%% auflösen.

%%x\cdot1,16=346,84\,€%%

%%\left|:1,16\right.%%

%%x=\frac{346,84\,€}{1,16}=299\,€%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Die Ware kostet ohne MWSt 299 €.

Beim Braten von Fleisch gehen ca. 25% des Gewichtes beim Erhitzen verloren. Wie viel Fleisch muss eingekauft werden, wenn nach dem Braten 180 g vorliegen soll?

%%180\,g\widehat=100\%-25\% %%

%%180\,g\widehat=75\% %%

Lösungsmöglichkeit 1:

Gleichung mit %%x%% (Gesamtmenge Fleisch) aufstellen.

Dabei muss %%x%% mit dem Prozentsatz %%\left(75\%=0,75\right)%% multipliziert die 180 g ergeben.

%%x\cdot0,75=180\,g%%

%%\left|:0,75\right.%%

%%x=240\,g%%

%%180\,g\widehat=75\% %%

Lösungsmöglichkeit 2:

mit Dreisatz:

%%75\%\widehat=180\,g%%

%%\left|:75\right.%%

%%1\%\widehat=2,4\,g%%

%%\left|\cdot100\right.%%

%%100\%\widehat=240\,g%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Man muss %%240\,g%% Fleisch einkaufen.

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