Das Distributivgesetz oder "Verteilungsgesetz" lautet:

 

$$\mathrm a\cdot\left(\mathrm b+\mathrm c\right)=\mathrm a\cdot\mathrm b+\mathrm a\cdot\mathrm c$$

bzw.    $$\mathrm a\cdot\left(\mathrm b-\mathrm c\right)=\mathrm a\cdot\mathrm b-\mathrm a\cdot\mathrm c$$

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8147_5Nxpgka70i.xml

(Das Distributivgesetz wird manchmal auch mit "D-Gesetz" abgekürzt.)

Distributivgesetz erklärt

In diesem Video wird das Distributivgesetz erklärt und mit Hilfe von Beispielen vertieft.

Distributivgesetz beim Rechnen mit Zahlen - "Rechnen mit Rechenvorteil"

Vorteilhaftes Rechnen mit Hilfe des Distributivgesetzes

Mit dem Distributivgesetz kann man manche Rechenaufgaben vereinfachen:

Beispiele:

  • Bei Multiplikationsaufgaben kann man manchmal einen der beiden Faktoren so zerlegen, dass sich mit dem Distributivgesetz dann zwei Multiplikationen ergeben, die jeweils einfacher sind als die ursprüngliche Multiplikation.
  • %%8\cdot12=8\cdot\left(10+2\right)=8\cdot10+8\cdot2=80+16=96%%

  • %%19\cdot4=\left(20-1\right)\cdot4=20\cdot4-1\cdot4=80-4=76%%

  • Umgekehrt kann man sich manchmal Arbeit sparen, wenn mehrere Zahlen jeweils mit derselben Zahl zu multiplizieren und die Ergebnisse zu addieren oder zu subtrahieren sind, indem man das Distributivgesetz anders herum anwendet.
  • %%23\cdot8+5\cdot8-13\cdot8=(23+5-13)\cdot8=15\cdot8=120%%
Weitere Beispielaufgaben in Arbeit

in Arbeit…

Warum stimmt das Distributivgesetz? Mit Zahlenbeispielen kann man sich auch gut verdeutlichen, warum das Distributivgesetz stimmt:

Wenn man zum Beispiel an 8 Personen jeweils 12 EUR austeilen soll, kann man entweder erst dem ersten 12 EUR geben, dann dem zweiten usw., bis man beim achten angekommen ist; oder man gibt erst jedem 10 EUR und geht dann noch einmal rundherum und gibt jedem noch die fehlenden 2 EUR.

In beiden Fällen hat man genauso viel Geld ausgeteilt; also:

%%8\cdot12\;\mathrm{EUR}=96\;\mathrm{EUR}%%

und ebenso        %%8\cdot10\;\mathrm{EUR}+8\cdot2\;\mathrm{EUR}=96\;\mathrm{EU}\mathrm R%% .

Distributivgesetz beim Rechnen mit "geteilt durch" statt "mal"

Bei einer Division kann man das Distributivgesetz auf den Dividenden anwenden, nicht jedoch auf den Divisor :

Beispiel

%%\left(\mathrm a+\mathrm b\right):\mathrm c=\mathrm a:\mathrm c+\mathrm b:\mathrm c%%

%%120:5=24%%  und ebenso

%%100:5+20:5=20+4=24%%,

also: 

%%120:5=\left(100+20\right):5=100:5+20:5=20+4=24%%  

aber

%%\mathrm a:\left(\mathrm b+\mathrm c\right)\neq\mathrm a:\mathrm b+\mathrm a:\mathrm c%%

%%60:\left(2+3\right)=60:5=12%%  

aber

%%60:2+60:3=30+20=50%%

Distributivgesetz beim Rechnen mit Variablen

Ausmultiplizieren von Klammern

%%d\left(a+b-c\right)\;=\;\mathrm{da}+\mathrm{db}-\mathrm{dc}%%

 

Negatives Vorzeichen vor Klammern

Eine Art Sonderfall des Distributivgesetz ist ein Minus vor einer Klammer.

%%-(\mathrm a-\mathrm b)=(-\mathrm a+\mathrm b)%%

Beispiel

%%-(3\mathrm x+2\mathrm y-4\mathrm z)%%

Das Minus können wir auch einfach als (-1) schreiben

%%(-1)\cdot(3\mathrm x+2\mathrm y-4\mathrm z)%%

Nun ziehen wir die (-1) in die Klammer

%%((-1)\cdot3\mathrm x+(-1)\cdot2\mathrm y-(-1)\cdot4\mathrm z)%%

Multipliziert man die Terme aus, ändert sich nur das jeweilige Vorzeichen

%%(-3\mathrm x-2\mathrm y+4\mathrm z)%%

Klammert man nun die (-1) aus haben wir wieder unseren Anfangsterm erreicht

Ausklammern eines Faktors

%%\mathrm{ab}-\mathrm{ac}\;=\;a\left(b-c\right)\;%%         (einfach umgekehrt wie beim Ausmultiplizieren)

Beispiel

%%4x+2x^2+8x^3=%%

Gemeinsamen Faktor suchen: %%2x%%

%%2x\cdot2+2x\cdot x+2x\cdot4x^2=%%

Ausklammern

%%2x\cdot\left(2+x+4x^2\right)%%

 

Multiplikation oder Division

Befindet sich in den Klammern eine Multiplikation oder Division, gilt das Distributivgesetz nicht. Wie Du in diesem Fall die Klammer auflösen kannst erfährst Du in dem Artikel " Klammer auflösen ".

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Simon 2015-07-07 09:01:34
Die Artikel im related content entsprechen nicht den Richtlinien, ich würde die da raus nehmen. Einverstanden?
Hannes 2015-07-10 08:15:03
hast recht. evtl. könnte man noch die artikel zu kommutativgesetz und assoziativgesetz in den relatet content packen. mir ging es früher immer so, dass ich nicht wusste was welches ist. und gewissermaßen gehören diese drei ja zusammen.
Simon 2015-07-10 09:16:20
Ja, das finde ich eine gute Idee!
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