Hamilton-Funktion und Hamiltonsche Gleichungen

Für verschiedene Problemstellungen führt dieser Ansatz auf handlichere Bewegungsgleichungen.

Die charakteristische Funktion dieser Gleichungen ist die Hamilton-Funktion, die typischerweise der Gesamtenergie des mechanischen Systems entspricht.

Der Hamiltonsche Formalismus der Mechanik ist der Ausgangspunkt für eine schematische Vorgehensweise, die auf die nicht-relativistischen, quantenmechanischen Gleichungen nach Heisenberg und Schrödinger führt (erste Quantisierung).

Übersicht

Die Hamilton-Funktion $H(\mathbf{q},\mathbf{p},t)$ geht durch Legendre-Transformation aus der Lagrange-Funktion $L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}},t)$ hervor,

wobei der kanonische Impuls $\mathbf{p}=(p_1,p_2,…)$ aus der Lagrange-Funktion bestimmt werden kann:

Liegen keine rheonomen Zwangsbedingungen vor, d.h. wenn alle Zwangsbedingungen nicht explizit von der Zeit abhängen, ist die Hamiltonfunktion gerade die mechanische Gesamtenergie des Systems, $H=T+U$, die Summe aus kinetischer ($T$) und potentieller Energie ($U$).

Die Dynamik des Systems ist dann durch die Hamiltonschen Gleichungen

gegeben. Für ein System mit $n$ Freiheitsgraden, bilden die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen ein System aus $2n$ linearen Differentialgleichungen erster Ordnung mit $\mathbf{q}(t)$ und $\mathbf{p}(t)$ als unbekannte Funktionen.

Legendre-Transformation

Die Legendre-Transformation beschreibt den Übergang von einem Ensemble unabhängiger Variablen zu einem anderen. Um von der Lagrange-Funktion zur Hamilton-Funktion zu kommen, wird die Abhängigkeit von den Geschwindigkeiten $\dot{\mathbf{q}}$ in eine Abhängigkeit vonden Impulsen $\mathbf{p}$ umgewandelt. Dazu wird zunächst das totale Differential von $L$,

betrachtet. Mit der Definition $\mathbf{p}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}}$ des verallgemeinerten Impulses und den Euler-Lagrange-Gleichungen lässt sich dieses auch schreiben als

Für den zweiten Term auf der rechten Seite gilt die Identität

Eingesetzt in $\mathrm{d}L$ erhält man nach wenigen Äquivalenzumformungen den Ausdruck

Das totale Differential auf der linken Seite ist das totale Differential der Gesamtenergie des Systems, der sogenannten Hamilton-Funktion

Mit dieser Definition von $H$ mit $\mathbf{p}$ und $\mathbf{q}$ als unabhängigen Variablen folgen aus dem Differential

die Bewegungsgleichungen

Die totale Ableitung von $H$ nach der Zeit kann ebenfalls berechnet werden, nämlich

Einsetzen der Hamiltonschen Gleichungen liefert

Wenn die Hamiltonsche Funktion also nicht explizit von der Zeit $t$ abhängt, $\partial H/\partial t=0$, ist sie konstant und die Gesamtenergie des Systems ist erhalten .

Die Legendre-Transformation ist bijektiv, wenn $\partial^2 L/\partial \dot{\mathbf{q}}^2\neq 0$. Ihre Umkerung lautet dann

mit $\dot{\mathbf{q}}=\partial H/\partial \mathbf{p}$.

Es ist auch möglich, die kanonischen Gleichungen direkt aus dem Hamiltonschen Prinzip herzuleiten, ohne den Umweg über die Euler-Lagrange-Gleichungen zu nehmen. Detaillierte Erläuterungen hierzu finden sich z.B. in Sommerfeld, A. (1968): Vorlesungen über theoretische Physik I, S.193f.

Poisson-Klammern

Mithilfe der Poisson-Klammern

lassen sich die kanonischen Gleichungen auch schreiben als

Außerdem charakterisieren die fundamentalen Poisson-Klammern Koordinatentransformationen, unter denen die Dynamik des Systems sich nicht verändert.

Details hierzu finden sich in dem Artikel über Poisson-Klammern.

Literatur

• Sommerfeld, A. (1968). Vorlesungen über theoretische Physik I. Leipzig. Geest & Portig K.-G.

• Landau, L.D., Lifschitz E.M. (1997). Lehrbuch der theoretischen Physik I. Frankfurt a.M. Harri Deutsch.