Als Umformen einer Gleichung bezeichnet man das ändern ihres Aussehens, ohne ihren Wahrheitswert zu verändern.

Eine Gleichung lässt sich in eine andere Form bringen, ohne dass sich der Wahrheitswert ändert. Das geht durch Termumformungen des rechten oder linken Terms, die dessen Wert nicht ändern, oder durch beidseitiges Anwenden von Funktionen bzw. Operationen wie Addition , Subtraktion usw. .

Man kann sich dabei die Gleichung wie eine Waage vorstellen: Macht man auf beiden Seiten das gleiche, bleibt sie im Gleichgewicht.

Deshalb kann man folgende Veränderungen an Gleichungen vornehmen:

  • Addieren einer Zahl auf beiden Seiten

  • Subtrahieren einer Zahl auf beiden Seiten

  • Multiplizieren beider Seiten mit einer Zahl (außer %%0%% !)

  • Dividieren beider Seiten durch eine Zahl ungleich Null

Vorsicht bei folgenden Umformungen

Dividieren / Multiplizieren

Hier muss darauf achtgegeben werden, dass nicht mal Null genommen wird oder durch Null geteilt wird.

In dem Waagenbild entspräche das Multiplizieren mit Null der Anweisung "nimm alles auf beiden Seiten der Waage weg". Die Gleichung wird dann uneingeschränkt wahr.

Quadrieren

Quadrieren beider Seiten kann dazu führen, dass falsche Gleichungen wahr werden, bzw. dass sich die Lösungsmenge vergrößert. 

So wird die falsche Gleichung %%-1=1%% durch quadrieren wahr. Die Gleichung %%x=-1%% , die nur eine Lösung in %%ℝ%% besitzt, erhält durch quadrieren eine zweite:  %%x^2=1%% ist wahr für  %%x=-1%% und %%x=1%%

Funktion auf beiden Seiten anwenden

Das Problem, das sich beim Quadrieren ergibt, ergibt sich auch allgemein bei vielen anderen Funktionen. Damit man eine Funktion uneingeschränkt dazu verwenden darf, eine Gleichung umzuformen, muss sie umkehrbar sein, wie z.B. die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion .

Auflösen nach einer Variablen

Meist besteht ein Problem darin, einen Wert einer Variablen zu bestimmen, für den die Gleichung richtig ist. Dazu versucht man, die Gleichung mithilfe der obigen Umformungen so umzuformen, dass die zu bestimmende Variable blank auf der linken Seite steht und nicht mehr auf der rechten Seite.

Beispiel

$$\begin{array}{l}3x+6=\;0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\vert-6\\\;\;\;\;\;\;3x=-6\;\;\;\;\;\;\;\vert:3\\\;\;\;\;\;\;\;\;x=-2\end{array}$$

Der senkrechte Strich neben der Gleichung heißt "Kommandostrich" oder "Umformungsstrich" . Er besagt in der ersten Zeile z.B., dass auf beiden Seiten der Gleichung 6 subtrahiert wird.

Überprüfung

Um das Ergebnis zu überprüfen, kann es einfach in die Ausgangsgleichung eingesetzt werden.

$$\begin{array}{l}3\cdot(-2)+6=0\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=0\end{array}$$

=> Aussage ist wahr

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