Aufgaben zur Kinematik - lernen mit Serlo!

Bei Geschwindigkeiten, wie sie auf Bundesstraßen üblich sind, kann ein Kraftfahrzeug mit maximal $2 \ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ beschleunigen.

Berechne die Zeit, die ein Kraftfahrzeug benötigen würde, um von $v_1 = 72 \ \frac{\text{km}}{\text{h}}$ auf $v_2 = 99 \ \frac{\text{km}}{\text{h}}$ zu beschleunigen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Beschleunigung

In dieser Aufgabe sind die Beschleunigung $a$ und die Geschwindigkeiten $v_{0}$ und $v_{1}$ vorgegeben. Ziel dieser Aufgabe ist die Berechnung der benötigten Zeit $\Delta t$ für den Beschleunigungsvorgang von $v_{0}$ auf $v_{1}$ .

Umrechnen der Einheiten

Man kann feststellen, dass die angegebenen Werte unterschiedliche Einheiten haben. Die Beschleunigung ist in $\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ angegeben, während die Geschwindigkeiten in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ angegeben sind.

Aus diesem Grund solltest du zunächst die Einheit der Geschwindigkeiten in $\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ umrechnen. Dafür musst du die Zahlenwerte der Geschwindigkeit durch den Faktor $3,6$ teilen. Damit ergibt sich für die beiden Geschwindigkeiten:

\displaystyle v_1 = 99 \ \frac{\text{km}}{\text{h}} = \frac{99}{3{,}6} \ \frac{\text{m}}{\text{s}} =27{,}5 \ \frac{\text{m}}{\text{s}}

und

\displaystyle v_0 = 72 \ \frac{\text{km}}{\text{h}} = \frac{72}{3{,}6} \ \frac{\text{m}}{\text{s}} = 20 \ \frac{\text{m}}{\text{s}}.

Umformungen

Bei dieser Aufgabe hast du die Beschleunigung bereits in der Angabe vorgegeben. Du musst dieses Mal die benötigte Zeit berechnen. Dafür musst du die Formel für die Beschleunigung

\displaystyle a = \frac{\Delta v}{\Delta t}

umformen. Dazu multiplizierst du die beiden Seiten im ersten Schritt mit dem Faktor $\Delta t$ :

\displaystyle a \cdot \Delta t = \Delta v.

Um die gesuchte Zeit $\Delta t$ zu erhalten, dividierst du beide Seiten der Gleichung mit dem Faktor $a$ . Das kannst du problemlos machen, da $a \neq 0$ ist. Du erhältst:

\displaystyle \Delta t = \frac{\Delta v}{a}.

Einsetzen der Zahlenwerte

Jetzt können die Werte eingesetzt werden. Die Geschwindigkeitsdifferenz $\Delta v$ berechnest du durch

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \Delta v & = & v_1 - v_0 = 27{,}5 \ \frac{\text{m}}{\text{s}} - 20 \ \frac{\text{m}}{\text{s}} \\ & = & 7{,}5 \ \frac{\text{m}}{\text{s}}. \end{array}

Aus der Aufgabenstellung kannst du herauslesen, dass $a = 2 \ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ gilt. Also ergibt sich für die Zeitdifferenz $\Delta t$ :

\displaystyle \Delta t = \dfrac{\Delta v}{a} = \dfrac{7{,}5 \ \frac{\text{m}}{\text{s}}}{2 \ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}} = 3{,}75 \ \text{s}.

Das Kraftfahrzeug braucht somit für die Beschleunigung $\Delta t = 3{,}75 \ \text{s}$ .

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