1Lösung 1b

Aufgabenstellung

Betrachtet wird der abgebildete Würfel $ABCDEFGHABCDEFGH$. Die Eckpunkte $DD$, $EE$, $FF$ und $HH$ dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten: $D(0\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }-2)D(0|0|-2)$, $E(2\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }0)E(2|0|0)$, $F(2\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid }0)F(2|2|0)$ und $H(0\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }0)H(0|0|0)$.

a) Zeichnen Sie in die Abbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichnen Sie diese. Geben Sie die Koordinaten des Punkts $AA$ an. (2 BE)

Lösung

Das erste, was dir auffallen sollte ist, dass der Abstand: $\overline{HP}=3\backslash overline\{HP\}\; =\; 3$

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{HP}\mathrm{\mid }=\mid \left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\mid =\mid \left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right)\mid =\sqrt{p_1^2+p_2^2+p_3^2}=3|\backslash overrightarrow\{HP\}|\; =\; \backslash left|\; \backslash begin\{pmatrix\}p\_1\backslash \backslash p\_2\backslash \backslash p\_3\backslash end\{pmatrix\}\; -\; \backslash begin\{pmatrix\}0\backslash \backslash 0\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}\; \backslash right|\; =\; \backslash left|\; \backslash begin\{pmatrix\}p\_1\backslash \backslash p\_2\backslash \backslash p\_3\backslash end\{pmatrix\}\; \backslash right|\; =\; \backslash sqrt\{p\_1^2\; +\; p\_2^2\; +\; p\_3^2\}\; =\; 3$

Die zweite Information, die dich ab diesem Schritt weiterbringt, ist, dass $PP$ auf der Kante $[FB][FB]$ liegt. Deshalt haben $FF$ und $BB$ die gleiche $x_{1}x\_1$- und $x_{2}x\_2$-Koordinate.

• $p_1=2p\_1\; =\; 2$

• $p_2=2p\_2\; =\; 2$

Mit dieser Erkenntnis kannst du auch die verbliebene dritte Koordinate $p_{3}p\_3$ des Punktes $PP$ finden.

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{HP}\mathrm{\mid }=\sqrt{p_1^2+p_2^2+p_3^2}=\sqrt{2^2+2^2+p_3^2}=\sqrt{8+p_3^2}=3|\backslash overrightarrow\{HP\}|\; =\; \backslash sqrt\{p\_1^2+p\_2^2+p\_3^2\}\; =\; \backslash sqrt\{2^2+2^2+p\_3^2\}\; =\; \backslash sqrt\{8+p\_3^2\}\; =\; 3$

Rechne die mögliche(n) Lösung(en) für $p_{3}p\_3$ aus.

$\sqrt{8+p_3^2}=3\backslash sqrt\{8+p\_3^2\}\; =\; 3$

${\dots }^2\{\backslash ldots\}^2$

$8+p_3^2=98+p\_3^2\; =\; 9$

$\mathrm{\mid }-8|\; -\; 8$

$p_3^2=1p\_3^2\; =\; 1$

$\sqrt{\dots }\backslash sqrt\{\backslash ldots\}$

$p_3=\pm 1p\_3=\backslash pm\; 1$

Da sowohl $BB$, als auch $AA$ auf der selben $x_{3}x\_3$-Koordinatenachse liegen, muss der Wert von $p_{3}p\_3$ zwischen $-2-2$ und $00$ liegen.

Die dritte Koordinate für $PP$ ist entweder $-1-1$ oder $11$. Da allerdings $11$ nicht in der Menge $[-\mathrm{2,0}][-2\{,\}0]$ liegt, bleibt dir nur noch eine Möglichkeit.

Die Koordinaten des Punktes $PP$ sind also $(2\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid }-1)(2|2|-1)$.