1Lösung 1b

Aufgabenstellung

Betrachtet wird der abgebildete Würfel $ABCDEFGH$. Die Eckpunkte $D$, $E$, $F$ und $H$ dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten: $D(0|0|-2)$, $E(2|0|0)$, $F(2|2|0)$ und $H(0|0|0)$.

a) Zeichnen Sie in die Abbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichnen Sie diese. Geben Sie die Koordinaten des Punkts $A$ an. (2 BE)

Lösung

Das erste, was dir auffallen sollte ist, dass der Abstand: $\overline{HP} = 3$

$|\overrightarrow{HP}| = \left| \begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix} \right| = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + p_3^2} = 3$

Die zweite Information, die dich ab diesem Schritt weiterbringt, ist, dass $P$ auf der Kante $[FB]$ liegt. Deshalt haben $F$ und $B$ die gleiche $x_1$- und $x_2$-Koordinate.

• $p_1 = 2$

• $p_2 = 2$

Mit dieser Erkenntnis kannst du auch die verbliebene dritte Koordinate $p_3$ des Punktes $P$ finden.

$|\overrightarrow{HP}| = \sqrt{p_1^2+p_2^2+p_3^2} = \sqrt{2^2+2^2+p_3^2} = \sqrt{8+p_3^2} = 3$

Rechne die mögliche(n) Lösung(en) für $p_3$ aus.

$\sqrt{8+p_3^2} = 3$

${\ldots}^2$

$8+p_3^2 = 9$

$| - 8$

$p_3^2 = 1$

$\sqrt{\ldots}$

$p_3=\pm 1$

Da sowohl $B$, als auch $A$ auf der selben $x_3$-Koordinatenachse liegen, muss der Wert von $p_3$ zwischen $-2$ und $0$ liegen.

Die dritte Koordinate für $P$ ist entweder $-1$ oder $1$. Da allerdings $1$ nicht in der Menge $[-2{,}0]$ liegt, bleibt dir nur noch eine Möglichkeit.

Die Koordinaten des Punktes $P$ sind also $(2|2|-1)$.