Geometrie - Prüfungsteil A Aufgruppengruppe 1

Kurs

1 Lösung 1b

Aufgabenstellung

Betrachtet wird der abgebildete Würfel $A B C D E F G H$ . Die Eckpunkte $D$ , $E$ , $F$ und $H$ dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten: $D (0 ∣ 0 ∣ - 2)$ , $E (2 ∣ 0 ∣ 0)$ , $F (2 ∣ 2 ∣ 0)$ und $H (0 ∣ 0 ∣ 0)$ .

a) Zeichnen Sie in die Abbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichnen Sie diese. Geben Sie die Koordinaten des Punkts $A$ an. (2 BE)

b) Der Punkt $P$ liegt auf der Kante $[F B]$ des Würfels und hat vom Punkt $H$ den Abstand $3$ . Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts $P$ . (3 BE)

Lösung

Das erste, was dir auffallen sollte ist, dass der Abstand: $\overline{HP} = 3$

$|\overrightarrow{HP}| = \left| \begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix} \right| = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + p_3^2} = 3$

Die zweite Information, die dich ab diesem Schritt weiterbringt, ist, dass $P$ auf der Kante $[F B]$ liegt. Deshalt haben $F$ und $B$ die gleiche $x_{1}$ - und $x_{2}$ -Koordinate.

$p_{1} = 2$
$p_{2} = 2$

Mit dieser Erkenntnis kannst du auch die verbliebene dritte Koordinate $p_{3}$ des Punktes $P$ finden.

$|\overrightarrow{HP}| = \sqrt{p_1^2+p_2^2+p_3^2} = \sqrt{2^2+2^2+p_3^2} = \sqrt{8+p_3^2} = 3$

Rechne die mögliche(n) Lösung(en) für $p_{3}$ aus.

$\sqrt{8+p_3^2} = 3$

${\ldots}^2$

$8 + p_{3}^{2} = 9$

$∣ - 8$

$p_{3}^{2} = 1$

$\sqrt{\ldots}$

$p_3=\pm 1$

Da sowohl $B$ , als auch $A$ auf der selben $x_{3}$ -Koordinatenachse liegen, muss der Wert von $p_{3}$ zwischen $- 2$ und $0$ liegen.

Die dritte Koordinate für $P$ ist entweder $- 1$ oder $1$ . Da allerdings $1$ nicht in der Menge $[- 2,0]$ liegt, bleibt dir nur noch eine Möglichkeit.

Die Koordinaten des Punktes $P$ sind also $(2 ∣ 2 ∣ - 1)$ .

2 Aufgabe 2

Gegeben sind die Punkte $A (- 2 ∣ 1 ∣ 4)$ und $B (- 4 ∣ 0 ∣ 6)$ .

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts $C$ so, dass gilt: $\overrightarrow{CA} = 2 \cdot \overrightarrow{AB}$ . (2 BE)

b) Durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft die Gerade $g$ . Betrachtet werden Geraden, für welche die Bedingungen $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ gelten:

$\mathrm{I} \; \; \quad$ Jede dieser Geraden schneidet die Gerade $g$ orthogonal.

$\mathrm{II} \quad$ Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt $A$ beträgt $3$ .

Ermitteln Sie eine Gleichung für eine dieser Geraden. (3 BE)

3 Lösung 2a

Aufgabenstellung

Gegeben sind die Punkte $A (- 2 ∣ 1 ∣ 4)$ und $B (- 4 ∣ 0 ∣ 6)$ .

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts $C$ so, dass gilt: $\overrightarrow{CA} = 2 \cdot \overrightarrow{AB}$ . (2 BE)

Lösung

Schreibe die gegebene Gleichung $\overrightarrow{CA} = 2 \cdot \overrightarrow{AB}$ in Koordinatenform auf und rechne aus.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}\overrightarrow{CA} &= &2 \cdot \overrightarrow{AB} \\\begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix} &= &2 \cdot \begin{pmatrix}\begin{pmatrix}-4\\0\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix}\end{pmatrix} \\\begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix} &= &2 \cdot \begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix} \\\begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix} &= &\begin{pmatrix}-4\\-2\\4\end{pmatrix} \\\ -\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix} &= &\begin{pmatrix}-4\\-2\\4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix} \\\ -\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix} &= &\begin{pmatrix}-2\\-3\\0\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix} &= &\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}\end{array}$

Die Koordinaten des Punktes $C$ sind also $(2 ∣ 3 ∣ 0)$ .

4 Lösung 2b

Aufgabenstellung

Gegeben sind die Punkte $A (- 2 ∣ 1 ∣ 4)$ und $B (- 4 ∣ 0 ∣ 6)$ .

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts $C$ so, dass gilt: $\overrightarrow{CA} = 2 \cdot \overrightarrow{AB}$ . (2 BE)

b) Durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft die Gerade $g$ .

Betrachtet werden Geraden, für welche die Bedingungen $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ gelten:

$\mathrm{I} \; \; \quad$ Jede dieser Geraden schneidet die Gerade $g$ orthogonal.

$\mathrm{II} \quad$ Der Abstand jeder dieser Geraden vom Punkt $A$ beträgt $3$ .

Ermitteln Sie eine Gleichung für eine dieser Geraden. (3 BE)

Lösung

Die allgemeine Geradengleichung in der analystischen Geometrie lässt sich schreiben als $g: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{P} + \lambda \overrightarrow{u}$

Bestimmung der Geradengleichung $g$

Die angegebene Gerade $g$ soll durch die Punkte $A$ und $B$ verlaufen. Deswegen wählt man als Stützvektor den Ortsvektor $\overrightarrow{OA}$ und als Richtungsvektor $\overrightarrow{AB}$ .

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrlll}g: &\overrightarrow{x} &= &\overrightarrow{OA} &+ &\lambda \cdot \overrightarrow{AB}\\g: &\overrightarrow{x} &= &\begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix} &+ &\lambda \cdot \begin{pmatrix}\begin{pmatrix}-4\\0\\6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix}\end{pmatrix} \\g: &\overrightarrow{x} &= &\begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix} &+ &\lambda \cdot \begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}\end{array}$

Bestimmung der neuen Geradengleichung

Sei die allgemeine Geradengleichung der neuen Gerade $h: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{P} + \lambda \overrightarrow{u}$

Bedingung $\mathrm{I}$ : Orthogonalität

Zwei Vektoren stehen orthogonal zueinander, wenn sie senkrecht aufeinander stehen. Dies ist der Fall, falls ihr Skalarprodukt Null ergibt. Bei Geraden überprüfst du diese Bedingung, indem du das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren bildest.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow u &= &0 \\\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix} &= &0 \\-2u_1 + (-u_2) + 2u_3 &= &0\end{array}$

Allerdings bekommst du eine Gleichung mit drei Unbekannten. In solch einem Fall darfst du zwei Unbekannte frei auswählen. Du kannst hierfür z. B. $u_{1} = t$ und $u_{3} = t$ für $t \in \mathbb{R}$ wählen. Dann gilt

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}-2u_1 - u_2 + 2u_3 &= &0 \\-2t - u_2 + 2t &= &0 \\-u_2 &= &0 \\u_2 &= &0\end{array}$

Der Richtungsvektor der neuen Gerade $h$ lautet also

$\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix}t\\0\\t\end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$

Bedingung $\mathrm{II}$ : Abstand

Es fehlt nur noch der Stützpunkt $P$ der Gerade $h$ . Dieser soll zum Stützpunkt $A$ der Gerade $g$ den Abstand $3$ haben.

Wie du auch auf dem Bild rechts erkennen kannst, gibt es zwei Möglichkeiten, eine passende Gerade $h$ zu finden. Der Stützpunkt $P_{1}$ bzw. $P_{2}$ haben den Abstand $3$ zu dem Punkt $A$ . Deswegen musst du in zwei Schritten denken:

Normiere den Vektor $\overline{AB}$ , bringe ihn also zuerst auf die Länge $1$ .

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}\frac{\overline{AB}}{|\overline{AB}|} &= &\frac{\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}}{\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2}} \\&= &\frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}\end{array}$

Multipliziere diese Normierung mit $3$ , um den richtigen Abstand zu bekommen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}3 \cdot \frac{\overline{AB}}{|\overline{AB}|} &= &3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix} \\&= &\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}\end{array}$

Nun kannst du den Stützpunkt $P_ {1{,}2}$ der Geraden $h_{1{,}2}$ berechnen, indem du ihn zum Stützpunkt $A$ addierst bzw. von $A$ subtrahierst.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}P_{1{,}2} &= &A \; \pm \; 3 \cdot \frac{\overline{AB}}{|\overline{AB}|} \\P_1 &= &A + 3 \cdot \frac{\overline{AB}}{|\overline{AB}|} \\P_1 &= &\begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix} \\\color{#CC0000}{P_1} &= &\begin{pmatrix}-4\\0\\6\end{pmatrix} \\P_2 &= &A - 3 \cdot \frac{\overline{AB}}{|\overline{AB}|} \\P_2 &= &\begin{pmatrix}-2\\1\\4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix} \\\color{#CC0000}{P_2} &= &\begin{pmatrix}0\\2\\2\end{pmatrix}\end{array}$

Die gesuchten Geraden sind also

$h_1: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}-4\\0\\6\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$

$h_2: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}0\\2\\2\end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$

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1 Lösung 1b

Aufgabenstellung

Lösung

2 Aufgabe 2

3 Lösung 2a

Aufgabenstellung

Lösung

4 Lösung 2b

Aufgabenstellung

Lösung

Bestimmung der Geradengleichung ggg

Bestimmung der neuen Geradengleichung

Bedingung I\mathrm{I}I: Orthogonalität

Bedingung II\mathrm{II}II: Abstand

Bestimmung der Geradengleichung $g$

Bedingung $\mathrm{I}$ : Orthogonalität

Bedingung $\mathrm{II}$ : Abstand