Um den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen zu können, verwendet man das Projektionsverfahren.
FĂŒr das Projektionsverfahren muss die Ebene ggf. in die Hessesche-Normalenform
Â
oder
umgeformt und die Koordinaten des Punktes in diese Ebenengleichung eingesetzt werden.
Dieses Vorgehen lÀsst sich in folgender Formel zusammenfassen:
oder
Vorgehen am Beispiel
Gesucht ist der Abstand des Punktes von der Ebene E mit der Gleichung .
1) Die Ebene liegt in Parameterform vor und muss deshalb zunÀchst in Hessesche-Normalenform umgeformt werden.
oder
2) Einsetzen der Koordinaten von fĂŒr ergibt den gesuchten Abstand von P zu E.
oder
Der Abstand von zu betrÀgt also genau LÀngeneinheiten.
Bedeutung der Betragsstriche
Durch Weglassen der Betragsstriche (d.h. Zulassen negativer Ergebnisse) in obiger Formel fĂŒr lĂ€sst sich ein sogenannter "orientierter Abstand" bestimmen. Anhand des Vorzeichens des ermittelten Abstands kann zusĂ€tzlich entschieden werden, auf welcher Seite der Ebene der Punkt liegt. Hier gilt folgender Zusammenhang:
: liegt auf der Seite der Ebene, in die der Normalenvektor zeigt
: liegt auf der anderen Seite der Ebene
Ăbungsaufgaben
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