Variante 1 Die Ebene ist in Koordinatenform gegeben.
Um die hessesche Normalenform dieser Ebene zu berechnen, teilt man die Ebenengleichung durch den Betrag des Normalenvektors.
Ebenengleichung in Koordinatenform:
E : a x 1 + b x 2 + c x 3 = d \displaystyle E:ax_1+bx_2+cx_3=d E : a x 1 + b x 2 + c x 3 = d Normalenvektor dieser Ebene: n ⃗ = ( a b c ) \vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} n = a b c
Betrag des Normalenvektors: ∣ n ⃗ ∣ = a 2 + b 2 + c 2 |\vec{n}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} ∣ n ∣ = a 2 + b 2 + c 2
Dann ist die hessesche Normalenform:
E H N F : x ⃗ ∘ n ⃗ − d a 2 + b 2 + c 2 = 0 \displaystyle E_{HNF}:\;\frac{\vec{x}\circ\vec{n}-d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=0 E H NF : a 2 + b 2 + c 2 x ∘ n − d = 0 (Der Kreis ∘ \circ ∘ Skalarprodukt .)
und man erhält ausmultipliziert:
E H N F : a x 1 + b x 2 + c x 3 − d ∣ n ⃗ ∣ = a x 1 + b x 2 + c x 3 − d a 2 + b 2 + c 2 = 0 \displaystyle E_{HNF}:\;\frac{ax_1+bx_2+cx_3-d}{|\vec{n}|}=\frac{ax_1+bx_2+cx_3-d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=0 E H NF : ∣ n ∣ a x 1 + b x 2 + c x 3 − d = a 2 + b 2 + c 2 a x 1 + b x 2 + c x 3 − d = 0 Beispiel Variante 1 Die Ebenengleichung in Koordinatenform der Ebene E E E
E : 3 x 1 − 2 x 2 + 6 x 3 = 14 \displaystyle E:3x_1-2x_2+6x_3=14 E : 3 x 1 − 2 x 2 + 6 x 3 = 14 Der Normalenvektor der Ebene ist n ⃗ = ( 3 − 2 6 ) \vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} n = 3 − 2 6
Berechne den Betrag des Normalenvektors:
∣ n ⃗ ∣ \displaystyle |\vec{n}| ∣ n ∣ = = = 3 2 + ( − 2 ) 2 + 6 2 \displaystyle \sqrt{3^2+(-2)^2+6^2} 3 2 + ( − 2 ) 2 + 6 2 ↓
Berechne die Quadrate.
= = = 9 + 4 + 36 \displaystyle \sqrt{9+4+36} 9 + 4 + 36 ↓
Fasse zusammen.
= = = 49 \displaystyle \sqrt{49} 49 ↓
Ziehe die Wurzel.
= = = 7 \displaystyle 7 7
Der Betrag des Normalenvektors ist 7 7 7
E H N F : a x 1 + b x 2 + c x 3 − d ∣ n ⃗ ∣ \displaystyle E_{HNF}:\;\dfrac{ax_1+bx_2+cx_3-d}{|\vec{n}|} E H NF : ∣ n ∣ a x 1 + b x 2 + c x 3 − d = = = 0 \displaystyle 0 0 ↓
Setze die Ebene E : 3 x 1 − 2 x 2 + 6 x 3 = 14 E:3x_1-2x_2+6x_3=14 E : 3 x 1 − 2 x 2 + 6 x 3 = 14 ∣ n ⃗ ∣ = 7 |\vec{n}|=7 ∣ n ∣ = 7
3 x 1 − 2 x 2 + 6 x 3 − 14 7 \displaystyle \dfrac{3x_1-2x_2+6x_3-14}{7} 7 3 x 1 − 2 x 2 + 6 x 3 − 14 = = = 0 \displaystyle 0 0 ↓
Nach dem Distributivgesetz kann man aber auch jeden Summanden durch 7 teilen.
3 7 x 1 − 2 7 x 2 + 6 7 x 3 − 14 7 \displaystyle \dfrac{3}{7}x_1-\dfrac{2}{7}x_2+\dfrac{6}{7}x_3-\dfrac{14}{7} 7 3 x 1 − 7 2 x 2 + 7 6 x 3 − 7 14 = = = 0 \displaystyle 0 0 ↓
Kürze.
3 7 x 1 − 2 7 x 2 + 6 7 x 3 − 2 \displaystyle \dfrac{3}{7}x_1-\dfrac{2}{7}x_2+\dfrac{6}{7}x_3-2 7 3 x 1 − 7 2 x 2 + 7 6 x 3 − 2 = = = 0 \displaystyle 0 0
Die hessesche Normalform der Ebene lautet:
E H N F : 3 x 1 − 2 x 2 + 6 x 3 − 14 7 = 0 \displaystyle E_{HNF}:\;\dfrac{3x_1-2x_2+6x_3-14}{7}=0 E H NF : 7 3 x 1 − 2 x 2 + 6 x 3 − 14 = 0 oder
E H N F : 3 7 x 1 − 2 7 x 2 + 6 7 x 3 − 2 = 0 \displaystyle E_{HNF}:\;\frac{3}{7}x_1-\frac{2}{7}x_2+\frac{6}{7}x_3-2=0 E H NF : 7 3 x 1 − 7 2 x 2 + 7 6 x 3 − 2 = 0 Variante 2 Die Ebene ist in Parameterform gegeben.
Um die hessesche Normalform dieser Ebene zu ermitteln, berechnet man den Normalenvektor n ⃗ \vec n n
E H N F : n ⃗ ∣ n ⃗ ∣ ∘ [ ( x 1 x 2 x 3 ) − ( a 1 a 2 a 3 ) ] = 0 \displaystyle E_{HNF}:\;\frac {\vec n}{\left|\vec n\right|}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\right]=0 E H NF : ∣ n ∣ n ∘ x 1 x 2 x 3 − a 1 a 2 a 3 = 0 Dabei ist ( a 1 a 2 a 3 ) \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix} a 1 a 2 a 3
Beispiel Variante 2 Die Ebenengleichung in Parameterform der Ebene E E E
E : X → = ( 1 2 3 ) + r ⋅ ( 3 2 1 ) + s ⋅ ( 2 2 2 ) E:\overrightarrow{X}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+s \cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} E : X = 1 2 3 + r ⋅ 3 2 1 + s ⋅ 2 2 2
Berechne das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
n ⃗ = ( 3 2 1 ) × ( 2 2 2 ) = ( 2 − 4 2 ) \vec n=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-4\\2\end{pmatrix}
n = 3 2 1 × 2 2 2 = 2 − 4 2
Berechne den Betrag des Normalenvektors:
∣ n ⃗ ∣ \displaystyle |\vec{n}| ∣ n ∣ = = = 2 2 + ( − 4 ) 2 + 2 2 \displaystyle \sqrt{2^2+(-4)^2+2^2} 2 2 + ( − 4 ) 2 + 2 2 ↓
Berechne die Quadrate.
= = = 4 + 16 + 4 \displaystyle \sqrt{4+16+4} 4 + 16 + 4 ↓
Fasse zusammen.
= = = 24 \displaystyle \sqrt{24} 24
Der Betrag des Normalenvektors ist 24 \sqrt{24} 24
Setze in die Gleichung ein:
E H N F : n ⃗ ∣ n ⃗ ∣ ∘ [ ( x 1 x 2 x 3 ) − ( a 1 a 2 a 3 ) ] \displaystyle E_{HNF}:\;\dfrac {\vec n}{\left|\vec n\right|}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\right] E H NF : ∣ n ∣ n ∘ x 1 x 2 x 3 − a 1 a 2 a 3 = = = 0 \displaystyle 0 0 ↓
Setze den Aufpunkt ( 1 ∣ 2 ∣ 3 ) (1|2|3) ( 1∣2∣3 ) n ⃗ = ( 2 − 4 2 ) \vec n=\begin{pmatrix}2\\-4\\2\end{pmatrix} n = 2 − 4 2 ∣ n ⃗ ∣ = 24 |\vec{n}|=\sqrt{24} ∣ n ∣ = 24
1 24 ( 2 − 4 2 ) ∘ [ ( x 1 x 2 x 3 ) − ( 1 2 3 ) ] \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{24}}\begin{pmatrix}2\\-4\\2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right] 24 1 2 − 4 2 ∘ x 1 x 2 x 3 − 1 2 3 = = = 0 \displaystyle 0 0
Die hessesche Normalform der Ebene lautet:
E H N F : 1 24 ( 2 − 4 2 ) ∘ [ ( x 1 x 2 x 3 ) − ( 1 2 3 ) ] = 0 \displaystyle E_{HNF}:\;\dfrac{1}{\sqrt{24}}\begin{pmatrix}2\\-4\\2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]=0 E H NF : 24 1 2 − 4 2 ∘ x 1 x 2 x 3 − 1 2 3 = 0 oder ausmultipliziert:
E H N F : 2 x 1 − 4 x 2 + 2 x 3 24 = 0 \displaystyle E_{HNF}:\;\dfrac{2x_1-4x_2+2x_3}{\sqrt{24}}=0 E H NF : 24 2 x 1 − 4 x 2 + 2 x 3 = 0 Hinweis: Auf der rechten Seite steht als Skalarprodukt des Normalenvektors und des Aufpunkts eine Null. Das bedeutet, dass die Ebene durch den Ursprung geht.
