18Hessesche Normalenform

Variante 1

Um die hessesche Normalenform einer Ebene zu berechnen, teilt man die Ebenengleichung in Koordinatenform durch den Betrag des Normalenvektors.

Ebenengleichung in Koordinatenform:

Normalenvektor dieser Ebene: n=(abc)\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}

Betrag des Normalenvektors: n=a2+b2+c2|\vec{n}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

Dann ist die hessesche Normalenform:

(Der Kreis \circ bezeichnet hier das Skalarprodukt.)

und ausmultipliziert:

Variante 2

Um die hessesche Normalform einer Ebene zu ermitteln, sucht man den Normalenvektor n\vec n über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren und setzt ihn dann in die Gleichung:

ein. Wobei (axayaz)\begin{pmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{pmatrix}der Ortsvektor eines (beliebigen) Punktes auf der Ebene ist.

Beispiel Variante 1

Die Ebenengleichung der Ebene EE ist:

Der Normalenvektor der Ebene ist n=(326)\vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}

Der Betrag des Normalenvektors ist:

Anschließend teilt man die Ebenengleichung durch den Betrag des Normalenvektors, also durch 7. Nach Distributivgesetz können wir aber auch jeden Summanden durch 7 teilen:

Dann ist die Hessesche Normalform der Ebene:


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