a) Die Ableitung von $x$ ist konstant 1. Die Ableitungsregeln für Sinus und Cosinus sind hier zu finden. Damit ergibt sich:

und

b) Die Nullstellen der Funktion sind die Werte von $x$, an denen $f(x) = 0$ gilt. In diesem Fall sind also die Werte gesucht, für die

gilt. Diese Gleichung können wir nicht mit "Standard-Methoden" lösen. Wir können das Ergebnis aber gut mittels einer Skizze herausfinden. Dazu zeichnen wir die beiden Funktionen $x$ und $-\sin(x)$ in ein Koordinatensystem ein und schauen wo sie sich schneiden.

Wir erkennen, dass sich die beiden Funktionen nur bei $x=0$ schneiden. Daher ist $x=0$ die einzige Nullstelle von $f(x)$.

c) Wir untersuchen die Funktion auf Achsensymmetrie und Punktsymmetrie.

Wenn eine Funktion achsensymmetrisch ist, so gilt $f(-x) = f(x)$. Wir haben

Wir sehen, dass $f(-x) \neq f(x)$, daher ist die Funktion nicht achsensymmetrisch.

Für Punktsymmetrie gilt, dass $f(-x) = - f(x)$. Wir haben

$f(x)$ ist also punkysymmetrisch.

d) Die Nullstellen der Ableitung erfüllen, dass

Auch hier hilft am besten eine Skizze:

Wir sehen, dass für die Werte $\pm \pi, \pm 3\pi, \pm 5\pi, \dots$ die obige Gleichung gilt. Daher sind alle diese Punkte die gesuchten Nullstellen der Ableitung $f'(x)$.

e) In der vorherigen Teilaufgabe d) haben wir bereits die Nullstellen der Ableitung $f'(x)$ berechnet (mögliche Extrema) : $x= \pm \pi, \pm 3\pi, \pm 5\pi, \dots$. Diese sind Hochpunkte/Tiefpunkte von $f(x)$, wenn $f''(x) \neq 0.$ Falls $f''(x) = 0$, so sind es möglicherweise Terrassenpunkte (Sattelpunkte).

Es gilt, dass $f''(x) = -\sin(x)$. Wenn wir die Funktion zeichnen, sehen wir schnell, dass

Bei den Extrema der Funktion handelt es sich also um Terrassenpunkte, weil wegen $f'(x)=1+\cos (x)\ge 0$ die Ableitung keinen Vorzeichenwechsel hat, die Funktion ist also monoton steigend.

Alternativ sieht man dies auch mit $f'''(x)=-\cos (x)$. Für $x= \pm \pi, \pm 3\pi, \pm 5\pi, \dots$ ist $f'''(x)=\pm 1\neq 0$.

f) Als Hilfestellung können wir erst einmal die Funktion $x$ und $\sin(x)$ skizzieren. $f(x) = x + \sin(x)$ ist dann entsprechend die Summe beider Funktionswerte. An den Stellen $x= \pm \pi, \pm 3\pi, \pm 5\pi, \dots$ gilt, dass $\sin(x) = 0$ ist. Dies sind dabei die Terrassenpunkte.