Das ist keine Standard-Aufgabe. Sie eignet sich für alle, die schon ein wenig Übung haben und die Herausforderung suchen.
a) Leite die Funktion zweimal ab
b) Finde die Nullstellen der Funktion.
c) Untersuche die Funktion auf Symmetrie zum Koordinatensystem.
d) Finde die Nullstellen der Ableitung.
e) Untersuche die Nullstellen der Ableitung auf ihren Typ. (Min oder Max oder Terrasse?)
f) Skizziere den Graphen allein anhand deiner bisherigen Ergebnisse.
Die Lösung gibt es auch als Video: https://youtu.be/FwaKpug4N6k
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
a) Die Ableitung von ist konstant 1. Die Ableitungsregeln für Sinus und Cosinus sind hier zu finden. Damit ergibt sich:
und
b) Die Nullstellen der Funktion sind die Werte von , an denen gilt. In diesem Fall sind also die Werte gesucht, für die
gilt. Diese Gleichung können wir nicht mit "Standard-Methoden" lösen. Wir können das Ergebnis aber gut mittels einer Skizze herausfinden. Dazu zeichnen wir die beiden Funktionen und in ein Koordinatensystem ein und schauen wo sie sich schneiden.
Wir erkennen, dass sich die beiden Funktionen nur bei schneiden. Daher ist die einzige Nullstelle von .
Wenn eine Funktion achsensymmetrisch ist, so gilt . Wir haben
Wir sehen, dass , daher ist die Funktion nicht achsensymmetrisch.
Für Punktsymmetrie gilt, dass . Wir haben
ist also punkysymmetrisch.
d) Die Nullstellen der Ableitung erfüllen, dass
Auch hier hilft am besten eine Skizze:
Wir sehen, dass für die Werte die obige Gleichung gilt. Daher sind alle diese Punkte die gesuchten Nullstellen der Ableitung .
e) In der vorherigen Teilaufgabe d) haben wir bereits die Nullstellen der Ableitung berechnet (mögliche Extrema) : . Diese sind Hochpunkte/Tiefpunkte von , wenn Falls , so sind es möglicherweise Terrassenpunkte (Sattelpunkte).
Es gilt, dass . Wenn wir die Funktion zeichnen, sehen wir schnell, dass
Bei den Extrema der Funktion handelt es sich also um Terrassenpunkte, weil wegen die Ableitung keinen Vorzeichenwechsel hat, die Funktion ist also monoton steigend.
Alternativ sieht man dies auch mit . Für ist .
f) Als Hilfestellung können wir erst einmal die Funktion und skizzieren. ist dann entsprechend die Summe beider Funktionswerte. An den Stellen gilt, dass ist. Dies sind dabei die Terrassenpunkte.
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