Gemischte Aufgaben zur Ableitung von sin, cos, Wurzel und zur Kettenregel

1
Bestimme die Ableitung. Benutze dafür die Kettenregel.
1. $f (x) = \sqrt{x^{3}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
  $f (x) = \sqrt{x^{3}}$
  Finde die einzelnen Funktionen.
  $g (x) = \sqrt{x}$
  $\begin{array}{l} h (x) = x^{3} \end{array}$
  $\begin{array}{l} \Rightarrow f (x) = g (h (x)) \end{array}$
  Finde die einzelnen Ableitungen.
  $g^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$
  $h^{'} (x) = 3 x^{2}$
  Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.
  $\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & \frac{1}{2 \sqrt{h (x)}} \cdot 3 x^{2} \\ = & \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3}}} \end{array}$
  Am Ende könntest du noch vereinfachen.
  $f^{'} (x) = \frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3}}} = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{x^{4}}{x^{3}}} = \frac{3}{2} \sqrt{x}$
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2. $f (x) = \sqrt{2 x^{- 3}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
  $f (x) = \sqrt{2 x^{- 3}}$
  Finde die einzelnen Funktionen.
  $\begin{array}{l} g (x) = \sqrt{x} \end{array}$
  $\begin{array}{l} h (x) = \frac{2}{x^{3}} \end{array}$
  $\Rightarrow f (x) = g (h (x))$
  Finde die einzelnen Ableitungen.
  $\begin{array}{l} g^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \end{array}$
  $h^{'} (x) = - \frac{6}{x^{4}}$
  Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.
  $\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & \frac{1}{2 \sqrt{h (x)}} \cdot \frac{- 6}{x^{4}} \\ = & \frac{- 3}{x^{4} \sqrt{2 x^{- 3}}} \\ = & \frac{- 3}{\sqrt{2 x^{5}}} \end{array}$
  Hinweis: du kannst diese Aufgabe auch über die Ableitung von Potenzfunktionen lösen:
  $f (x) = \sqrt{2 x^{- 3}} = \sqrt{2} \cdot x^{- 3 / 2}$
  Also ist
  $f^{'} (x)$ $=$ $\sqrt{2} \cdot \frac{- 3}{2} x^{- 5 / 2}$
  $=$ $- \frac{3}{\sqrt{2}} x^{- 5 / 2}$
  Das ist dasselbe Ergebnis wie oben nur etwas anders geschrieben.
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3. $f (x) = e^{x^{3}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
  $f (x) = e^{x^{3}}$
  Finde die einzelnen Funktionen.
  $\begin{array}{l} g (x) = e^{x} \end{array}$ $\begin{array}{l} h (x) = x^{3} \end{array}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow f (x) = g (h (x)) \end{array}$
  Bestimme die einzelnen Ableitungen.
  $\begin{array}{l} g^{'} (x) = e^{x} \end{array}$ $\begin{array}{l} h^{'} (x) = 3 x^{2} \end{array}$
  Setze nun in die Formel der Kettenregel ein.
  $\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & e^{x^{3}} \cdot 3 x^{2} \end{array}$
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4. $f (x) = \ln (x^{2} + 4)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
  $f (x) = l n (x^{2} + 4)$
  Finde die einzelnen Funktionen.
  $g (x) = l n (x)$
  $h (x) = x^{2} + 4$
  $\Rightarrow f (x) = g (h (x))$
  Bilde die Ableitung zu den gefundenen Funktionen.
  $\begin{array}{l} g^{'} (x) = \frac{1}{x} \end{array}$ $\begin{array}{l} h^{'} (x) = 2 x \end{array}$
  Setze nun alles Benötigte in die Formel ein.
  $\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & \frac{1}{h (x)} \cdot 2 x \\ = & \frac{2 x}{x^{2} + 4} \end{array}$
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2
Bestimme die Ableitung der Funktion $f$ :
1. $f (x) = \cos (x^{2})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
  Ableitung mit der Kettenregel
  $f (x) = \cos (x^{2})$
  Zerlege $f$ , sodass die Kettenregel angewandt werden kann.
  $\begin{array}{l} g (x) = \cos (x) \\ h (x) = x^{2} \end{array}$
  $\Rightarrow f (x) = g (h (x))$
  Berechne die einzelnen Ableitungen.
  $\begin{array}{l} g^{'} (x) = - \sin (x) \\ h^{'} (x) = 2 x \end{array}$
  Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein.
  $\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & - \sin (x^{2}) \cdot 2 x \\ = & - 2 x \sin (x^{2}) \end{array}$
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2. $f (x) = {(\sin (x))}^{2^{}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
  Ableitung mit der Kettenregel
  $f (x) = {(\sin (x))}^{2}$
  Zerlege $f$ , sodass die Kettenregel angewandt werden kann.
  $\begin{array}{l} g (x) = x^{2} \\ h (x) = \sin (x) \end{array}$
  $\Rightarrow f (x) = g (h (x))$
  Berechne die einzelnen Ableitungen.
  $\begin{array}{l} g^{'} (x) = 2 \cdot x \\ h^{'} (x) = \cos (x) \end{array}$
  Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein.
  $f^{'} (x) = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)$
  Setze zunächst $g^{'}$ und $h^{'}$ ein.
  $= 2 \cdot (h (x)) \cdot \cos (x)$
  Nun setze $h (x) = \sin (x)$ ein.
  $= 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)$
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3. $f (x) = \sin (\frac{1}{x})$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
  Ableitung mit der Kettenregel
  $f (x) = \sin (\frac{1}{x})$
  Zerlege $f$ , sodass die Kettenregel angewandt werden kann
  $\begin{array}{l} g (x) = \sin (x) \\ h (x) = \frac{1}{x} \\ \Rightarrow f (x) = g (h (x)) \end{array}$
  Berechne die einzelnen Ableitungen
  $\begin{array}{l} g^{'} (x) = \cos (x) \\ h^{'} (x) = - \frac{1}{x^{2}} \end{array}$
  Setze nun alles in die Formel der Kettenregel ein
  $\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & \cos (\frac{1}{x}) \cdot (- \frac{1}{x^{2}}) \\ = & - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} \end{array}$
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4. $f (x) = \sin (\cos (\sin (x)))^{}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
  Ableitung mit der Kettenregel
  $f (x) = \sin (\cos (\sin (x)))$
  Zerlege $f$ so, dass du die Kettenregel anwenden kannst.
  Man sieht, dass die Verkettung (Kompositon) der Funktionen $g$ und $h$ mit
  $\begin{array}{l} g (x) = \sin (x) \\ h (x) = \cos (\sin (x)) \end{array}$
  gerade $f$ ergibt.
  $\Rightarrow f (x) = (g \circ h) (x) = g (h (x))) = \sin (\cos (\sin (x)))$
  Du siehst, dass $h$ wiederum als eine Verkettung von zwei Funktionen geschrieben werden kann. Das wird später verwendet, um die Ableitung $h^{'}$ zu bestimmen.
  Nach der Kettenregel gilt dann
  $f^{'} (x) = g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x)$ .
  $g^{'} (h (x))$ kannst du direkt bestimmen:
  Bestimme Ableitung von $g$ und setze $h$ ein.
  $g^{'} (x) = \cos (x)$
  $\Rightarrow g^{'} (h (x)) = \cos (\cos (\sin (x)))$
  Um $h$ abzuleiten, benötigst du wieder die Kettenregel. Zerlege also $h$ entsprechend in $u$ und $v$ .
  $\begin{array}{l} u (x) = \cos (x) \\ v (x) = \sin (x) \end{array}$
  $\begin{array}{l} \Rightarrow h (x) = u \circ v = u (v (x)) = \cos (\sin (x)) \end{array}$
  Berechne die Ableitungen von $u$ und $v$ , um die Kettenregel
  $h^{'} (x) = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)$
  zu verwenden.
  $\begin{array}{l} u^{'} (x) = - \sin (x) \\ v^{'} (x) = \cos (x) \end{array}$
  Berechne $h^{'}$ .
  $\begin{array}{rcl} h^{'} (x) & = & u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x) \\ = & - \sin (\sin (x)) \cdot \cos (x) \end{array}$
  Jetzt benutze die Kettenregel, um die Ableitung von $f$ zu berechnen
  $\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & \cos (h (x)) \cdot h^{'} (x) \\ = & \cos (\cos (\sin (x))) \cdot (- \sin (\sin (x))) \cdot \cos (x) \\ = & - \cos (x) \cdot \sin (\sin (x)) \cdot \cos (\cos (\sin (x))) \end{array}$
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Gegeben ist die Funktion
$f (x) = x + \sin (x)$
Das ist keine Standard-Aufgabe. Sie eignet sich für alle, die schon ein wenig Übung haben und die Herausforderung suchen. a) Leite die Funktion zweimal ab b) Finde die Nullstellen der Funktion. c) Untersuche die Funktion auf Symmetrie zum Koordinatensystem. d) Finde die Nullstellen der Ableitung. e) Untersuche die Nullstellen der Ableitung auf ihren Typ. (Min oder Max oder Terrasse?) f) Skizziere den Graphen allein anhand deiner bisherigen Ergebnisse. Die Lösung gibt es auch als Video: https://youtu.be/FwaKpug4N6k

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
a) Die Ableitung von $x$ ist konstant 1. Die Ableitungsregeln für Sinus und Cosinus sind hier zu finden. Damit ergibt sich:
$f^{'} (x) = 1 + \cos (x)$
und
$f^{''} (x) = - \sin (x) .$
b) Die Nullstellen der Funktion sind die Werte von $x$ , an denen $f (x) = 0$ gilt. In diesem Fall sind also die Werte gesucht, für die
$\begin{aligned} x + \sin (x) & = 0 | - \sin (x) \\ x & = - \sin (x) \end{aligned}$
gilt. Diese Gleichung können wir nicht mit "Standard-Methoden" lösen. Wir können das Ergebnis aber gut mittels einer Skizze herausfinden. Dazu zeichnen wir die beiden Funktionen $x$ und $- \sin (x)$ in ein Koordinatensystem ein und schauen wo sie sich schneiden.
Wir erkennen, dass sich die beiden Funktionen nur bei $x = 0$ schneiden. Daher ist $x = 0$ die einzige Nullstelle von $f (x)$ .
c) Wir untersuchen die Funktion auf Achsensymmetrie und Punktsymmetrie.
Wenn eine Funktion achsensymmetrisch ist, so gilt $f (- x) = f (x)$ . Wir haben
$\begin{aligned} f (x) & = x + \sin (x) \\ f (- x) & = - x + \sin (- x) | Sinus ist punktsym. \\ = - x - \sin (x) . \end{aligned}$
Wir sehen, dass $f (- x) \neq f (x)$ , daher ist die Funktion nicht achsensymmetrisch.
Für Punktsymmetrie gilt, dass $f (- x) = - f (x)$ . Wir haben
$\begin{aligned} - f (x) & = - x - \sin (x) \\ f (- x) & = - x + \sin (- x) | Sinus ist punktsym. \\ = - x - \sin (x) \\ = - f (x) . \end{aligned}$
$f (x)$ ist also punkysymmetrisch.
d) Die Nullstellen der Ableitung erfüllen, dass
$\begin{aligned} 1 + \cos (x) & = 0 \\ \cos (x) & = - 1 \end{aligned}$
Auch hier hilft am besten eine Skizze:
Wir sehen, dass für die Werte $\pm π, \pm 3 π, \pm 5 π, \dots$ die obige Gleichung gilt. Daher sind alle diese Punkte die gesuchten Nullstellen der Ableitung $f^{'} (x)$ .
e) In der vorherigen Teilaufgabe d) haben wir bereits die Nullstellen der Ableitung $f^{'} (x)$ berechnet (mögliche Extrema) : $x = \pm π, \pm 3 π, \pm 5 π, \dots$ . Diese sind Hochpunkte/Tiefpunkte von $f (x)$ , wenn $f^{''} (x) \neq 0.$ Falls $f^{''} (x) = 0$ , so sind es möglicherweise Terrassenpunkte (Sattelpunkte).
Es gilt, dass $f^{''} (x) = - \sin (x)$ . Wenn wir die Funktion zeichnen, sehen wir schnell, dass
$\begin{aligned} - \sin (\pm π) & = 0 \\ - \sin (3 \pm π) & = 0 \\ - \sin (3 \pm π) & = 0 \\ ⋮ \end{aligned}$
Bei den Extrema der Funktion handelt es sich also um Terrassenpunkte, weil wegen $f^{'} (x) = 1 + \cos (x) \geq 0$ die Ableitung keinen Vorzeichenwechsel hat, die Funktion ist also monoton steigend.
Alternativ sieht man dies auch mit $f^{'''} (x) = - \cos (x)$ . Für $x = \pm π, \pm 3 π, \pm 5 π, \dots$ ist $f^{'''} (x) = \pm 1 \neq 0$ .
f) Als Hilfestellung können wir erst einmal die Funktion $x$ und $\sin (x)$ skizzieren. $f (x) = x + \sin (x)$ ist dann entsprechend die Summe beider Funktionswerte. An den Stellen $x = \pm π, \pm 3 π, \pm 5 π, \dots$ gilt, dass $\sin (x) = 0$ ist. Dies sind dabei die Terrassenpunkte.