In dieser Aufgabe sollst du den Winkel zwischen zwei Geraden bestimmen. Hierzu verwendest du das Skalarprodukt und die Formel zur Berechnung des Winkels.

Richtungsvektoren bestimmen.

Beginne mit dem Aufstellen der Richtungsvektoren.

Der zu $ff$ gehörende Richtungsvektor ist $v=\left(\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right)v=\backslash begin\{pmatrix\}\; 1\backslash \backslash 5\backslash end\{pmatrix\}$. Der zu $gg$ gehörende Richtungsvektor ist $w=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)w=\backslash begin\{pmatrix\}\; 1\backslash \backslash -2\backslash end\{pmatrix\}$.

Diese Vektoren nutzt du nun, um den Winkel zwischen den Geraden zu bestimmen.

Um den eingeschlossenen Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen, benötigst du die Länge der beiden Vektoren und das Skalarprodukt von $\vec{v}\backslash vec\; v$ und $\vec{w}\backslash vec\; w$. Berechne nun zunächst diese Größen!

Länge der Vektoren berechnen

Zur Berechnung der Länge eines Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.

Du berechnest zunächst das Skalarprodukt von $\vec{v}\backslash vec\; v$ mit sich selbst und $\vec{w}\backslash vec\; w$ mit sich selbst:

$\vec{v}\odot \vec{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right)=1\cdot 1+5\cdot 5=26\backslash vec\; v\; \backslash odot\; \backslash vec\; v\; =\backslash begin\{pmatrix\}\; 1\backslash \backslash 5\backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 1\backslash \backslash 5\backslash end\{pmatrix\}=\; 1\backslash cdot\; 1\; +\; 5\backslash cdot\; 5\; =\; 26$

$\vec{w}\odot \vec{w}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)=1\cdot 1+(-2)\cdot (-2)=5\backslash vec\; w\; \backslash odot\; \backslash vec\; w\; =\backslash begin\{pmatrix\}\; 1\backslash \backslash -2\backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 1\backslash \backslash -2\backslash end\{pmatrix\}=\; 1\backslash cdot\; 1\; +\; (-2)\backslash cdot\; (-2)\; =\; 5$

Indem du jetzt jeweils die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Längen der Vektoren:

$\mid \vec{v}\mid =\sqrt{\vec{v}\odot \vec{v}}=\sqrt{26}\backslash left\; |\; \backslash vec\; v\; \backslash right\; |\; =\; \backslash sqrt\{\backslash vec\; v\; \backslash odot\; \backslash vec\; v\}\; =\; \backslash sqrt\{26\}$ und $\mathrm{\mid }\vec{w}\mathrm{\mid }=\sqrt{\vec{w}\odot \vec{w}}=\sqrt{5}|\; \backslash vec\; w\; |\; =\; \backslash sqrt\{\backslash vec\; w\; \backslash odot\; \backslash vec\; w\}\; =\; \backslash sqrt\{5\}$

Skalarprodukt berechnen

Jetzt musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch $\vec{v}\odot \vec{w}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right)=v_1\cdot w_1+v_2\cdot w_2\backslash ,\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; w\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}v\_1\backslash \backslash v\_2\backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}w\_1\backslash \backslash w\_2\backslash end\{pmatrix\}\; =\; v\_1\; \backslash cdot\; w\_1\; +\; v\_2\; \backslash cdot\; w\_2$.

Hier also:

$\vec{v}\odot \vec{w}=\left(\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)=1\cdot 1+5\cdot (-2)=1+(-10)=-9\backslash ,\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; w\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 5\backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash -2\backslash end\{pmatrix\}\; =\; 1\; \backslash cdot1\; +\; 5\; \backslash cdot\; (-2)\; =\; 1\; +\; (-10)\; =\; -9$

Das Skalarprodukt von $\vec{v}\backslash vec\; v$ und $\vec{w}\backslash vec\; w$ ist somit $-9-9$.

Winkel berechnen

Mit den bisher berchneten Größen kannst du jetzt den gesuchten Winkel berechnen. Dafür benutzt du die Formel zur Winkelberechnung:

${\displaystyle \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{\vec{v}\odot \vec{w}}{\mid \vec{v}\mid \cdot \mathrm{\mid }\vec{w}\mathrm{\mid }}\right)}\backslash displaystyle\; \backslash varphi=\backslash cos^\{-1\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; w\}\{\backslash left|\backslash vec\; v\backslash right|\backslash cdot|\backslash vec\; w|\}\backslash right)$

Setze jetzt die bereits berechneten Größen ein!

${\displaystyle \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{\vec{v}\odot \vec{w}}{\mid \vec{v}\mid \cdot \mathrm{\mid }\vec{w}\mathrm{\mid }}\right)={\cos }^{-1}\left(\frac{-9}{\sqrt{26}\cdot \sqrt{5}}\right)={\mathrm{142,13}}^{\circ }}\backslash displaystyle\; \backslash varphi=\backslash cos^\{-1\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; w\}\{\backslash left|\backslash vec\; v\backslash right|\backslash cdot|\backslash vec\; w|\}\backslash right)=\backslash cos^\{-1\}\backslash left(\backslash frac\{-9\}\{\backslash sqrt\{26\}\backslash cdot\; \backslash sqrt\{5\}\}\backslash right)=142\{,\}13^\backslash circ$

Der Winkel zwischen den beiden Geraden beträgt $\phi ={\mathrm{142,13}}^{\circ }\backslash varphi\; =142\{,\}13^\backslash circ$.

In dieser Aufgabe sollst du den Winkel zwischen zwei Geraden bestimmen. Hierzu verwendest du das Skalarprodukt und die Formel zur Berechnung des Winkels.

Richtungsvektoren bestimmen.

Beginne mit dem Aufstellen der Richtungsvektoren.

Der zu $ff$ gehörende Richtungsvektor ist $v=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)v=\backslash begin\{pmatrix\}\; 1\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}$. Der zu $gg$ gehörende Richtungsvektor ist $w=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)w=\backslash begin\{pmatrix\}\; 2\backslash \backslash -3\backslash end\{pmatrix\}$.

Diese Vektoren nutzt du nun, um den Winkel zwischen den Geraden zu bestimmen.

Um den eingeschlossenen Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen, benötigst du die Länge der beiden Vektoren und das Skalarprodukt von $\vec{v}\backslash vec\; v$ und $\vec{w}\backslash vec\; w$. Berechne nun zunächst diese Größen!

Länge der Vektoren berechnen

Zur Berechnung der Länge eines Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.

Du berechnest zunächst das Skalarprodukt von $\vec{v}\backslash vec\; v$ mit sich selbst und $\vec{w}\backslash vec\; w$ mit sich selbst:

$\vec{v}\odot \vec{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=1\cdot 1+1\cdot 1=2\backslash vec\; v\; \backslash odot\; \backslash vec\; v\; =\backslash begin\{pmatrix\}\; 1\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 1\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}=\; 1\backslash cdot\; 1\; +\; 1\backslash cdot\; 1\; =\; 2$

$\vec{w}\odot \vec{w}=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)=2\cdot 2+(-3)\cdot (-3)=13\backslash vec\; w\; \backslash odot\; \backslash vec\; w\; =\backslash begin\{pmatrix\}\; 2\backslash \backslash -3\backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 2\backslash \backslash -3\backslash end\{pmatrix\}=\; 2\backslash cdot\; 2\; +\; (-3)\backslash cdot\; (-3)\; =\; 13$

Indem du jetzt jeweils die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Längen der Vektoren:

$\mid \vec{v}\mid =\sqrt{\vec{v}\odot \vec{v}}=\sqrt{2}\backslash left\; |\; \backslash vec\; v\; \backslash right\; |\; =\; \backslash sqrt\{\backslash vec\; v\; \backslash odot\; \backslash vec\; v\}\; =\; \backslash sqrt\{2\}$ und $\mathrm{\mid }\vec{w}\mathrm{\mid }=\sqrt{\vec{w}\odot \vec{w}}=\sqrt{13}|\; \backslash vec\; w\; |\; =\; \backslash sqrt\{\backslash vec\; w\; \backslash odot\; \backslash vec\; w\}\; =\; \backslash sqrt\{13\}$

Skalarprodukt berechnen

Jetzt musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch $\vec{v}\odot \vec{w}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right)=v_1\cdot w_1+v_2\cdot w_2\backslash ,\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; w\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}v\_1\backslash \backslash v\_2\backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}w\_1\backslash \backslash w\_2\backslash end\{pmatrix\}\; =\; v\_1\; \backslash cdot\; w\_1\; +\; v\_2\; \backslash cdot\; w\_2$.

Hier also:

$\vec{v}\odot \vec{w}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)=1\cdot 2+1\cdot (-3)=2+(-3)=-1\backslash ,\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; w\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash -3\backslash end\{pmatrix\}\; =\; 1\; \backslash cdot2\; +\; 1\backslash cdot\; (-3)\; =\; 2\; +\; (-3)\; =\; -1$

Das Skalarprodukt von $\vec{v}\backslash vec\; v$ und $\vec{w}\backslash vec\; w$ ist somit $-1-1$.

Winkel berechnen

Mit den bisher berchneten Größen kannst du jetzt den gesuchten Winkel berechnen. Dafür benutzt du die Formel zur Winkelberechnung:

${\displaystyle \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{\vec{v}\odot \vec{w}}{\mid \vec{v}\mid \cdot \mathrm{\mid }\vec{w}\mathrm{\mid }}\right)}\backslash displaystyle\; \backslash varphi=\backslash cos^\{-1\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; w\}\{\backslash left|\backslash vec\; v\backslash right|\backslash cdot|\backslash vec\; w|\}\backslash right)$

Setze jetzt die bereits berechneten Größen ein!

${\displaystyle \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{\vec{v}\odot \vec{w}}{\mid \vec{v}\mid \cdot \mathrm{\mid }\vec{w}\mathrm{\mid }}\right)={\cos }^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{13}}\right)={\mathrm{101,31}}^{\circ }}\backslash displaystyle\; \backslash varphi=\backslash cos^\{-1\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; w\}\{\backslash left|\backslash vec\; v\backslash right|\backslash cdot|\backslash vec\; w|\}\backslash right)=\backslash cos^\{-1\}\backslash left(\backslash frac\{-1\}\{\backslash sqrt\{2\}\backslash cdot\; \backslash sqrt\{13\}\}\backslash right)=101\{,\}31^\backslash circ$

Der Winkel zwischen den beiden Geraden beträgt $\phi ={\mathrm{101,31}}^{\circ }\backslash varphi\; =101\{,\}31^\backslash circ$.

In dieser Aufgabe sollst du den Winkel zwischen zwei Geraden bestimmen. Hierzu verwendest du das Skalarprodukt und die Formel zur Berechnung des Winkels.

Richtungsvektoren bestimmen.

Beginne mit dem Aufstellen der Richtungsvektoren.

Der zu $ff$ gehörende Richtungsvektor ist $v=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)v=\backslash begin\{pmatrix\}\; 1\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}$. Der zu $gg$ gehörende Richtungsvektor ist $w=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)w=\backslash begin\{pmatrix\}\; 2\backslash \backslash -1\backslash end\{pmatrix\}$.

Diese Vektoren nutzt du nun, um den Winkel zwischen den Geraden zu bestimmen.

Hier kannst du entweder analog zu den anderen Aufgaben vorgehen, oder du erkennst, dass die Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Das siehst du daran, dass das Skalarprodukt $00$ ergibt.

Um den eingeschlossenen Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen, benötigst du die Länge der beiden Vektoren und das Skalarprodukt von $\vec{a}\backslash vec\; a$ und $\vec{b}\backslash vec\; b$. Berechne nun zunächst diese Größen!

Länge der Vektoren berechnen

Zur Berechnung der Länge eines Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.

Du berechnest zunächst das Skalarprodukt von $\vec{v}\backslash vec\; v$ mit sich selbst und $\vec{w}\backslash vec\; w$ mit sich selbst:

$\vec{v}\odot \vec{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=1\cdot 1+2\cdot 2=5\backslash vec\; v\; \backslash odot\; \backslash vec\; v\; =\backslash begin\{pmatrix\}\; 1\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 1\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}=\; 1\backslash cdot\; 1\; +\; 2\backslash cdot\; 2\; =\; 5$

$\vec{w}\odot \vec{w}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)=2\cdot 2+(-1)\cdot (-1)=5\backslash vec\; w\; \backslash odot\; \backslash vec\; w\; =\backslash begin\{pmatrix\}\; 2\backslash \backslash -1\backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 2\backslash \backslash -1\backslash end\{pmatrix\}=\; 2\backslash cdot\; 2\; +\; (-1)\backslash cdot\; (-1)\; =\; 5$

Indem du jetzt jeweils die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Längen der Vektoren:

$\mid \vec{v}\mid =\sqrt{\vec{v}\odot \vec{v}}=\sqrt{5}\backslash left\; |\; \backslash vec\; v\; \backslash right\; |\; =\; \backslash sqrt\{\backslash vec\; v\; \backslash odot\; \backslash vec\; v\}\; =\; \backslash sqrt\{5\}$ und $\mathrm{\mid }\vec{w}\mathrm{\mid }=\sqrt{\vec{w}\odot \vec{w}}=\sqrt{5}|\; \backslash vec\; w\; |\; =\; \backslash sqrt\{\backslash vec\; w\; \backslash odot\; \backslash vec\; w\}\; =\; \backslash sqrt\{5\}$

Skalarprodukt berechnen

Jetzt musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.

Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch $\vec{v}\odot \vec{w}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right)=v_1\cdot w_1+v_2\cdot w_2\backslash ,\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; w\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}v\_1\backslash \backslash v\_2\backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}w\_1\backslash \backslash w\_2\backslash end\{pmatrix\}\; =\; v\_1\; \backslash cdot\; w\_1\; +\; v\_2\; \backslash cdot\; w\_2$.

Hier also:

$\vec{v}\odot \vec{w}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)=1\cdot 2+2\cdot (-1)=2+(-2)=0\backslash ,\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; w\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}\; \backslash odot\; \backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash -1\backslash end\{pmatrix\}\; =\; 1\; \backslash cdot2\; +\; 2\backslash cdot\; (-1)\; =\; 2\; +\; (-2)\; =\; 0$

Das Skalarprodukt von $\vec{v}\backslash vec\; v$ und $\vec{w}\backslash vec\; w$ ist somit $00$.

Winkel berechnen

Mit den bisher berchneten Größen kannst du jetzt den gesuchten Winkel berechnen. Dafür benutzt du die Formel zur Winkelberechnung:

${\displaystyle \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{\vec{v}\odot \vec{w}}{\mid \vec{v}\mid \cdot \mathrm{\mid }\vec{w}\mathrm{\mid }}\right)}\backslash displaystyle\; \backslash varphi=\backslash cos^\{-1\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; w\}\{\backslash left|\backslash vec\; v\backslash right|\backslash cdot|\backslash vec\; w|\}\backslash right)$

Setze jetzt die bereits berechneten Größen ein!

${\displaystyle \phi ={\cos }^{-1}\left(\frac{\vec{v}\odot \vec{w}}{\mid \vec{v}\mid \cdot \mathrm{\mid }\vec{w}\mathrm{\mid }}\right)={\cos }^{-1}\left(\frac{0}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}\right)={90}^{\circ }}\backslash displaystyle\; \backslash varphi=\backslash cos^\{-1\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash vec\; v\backslash odot\backslash vec\; w\}\{\backslash left|\backslash vec\; v\backslash right|\backslash cdot|\backslash vec\; w|\}\backslash right)=\backslash cos^\{-1\}\backslash left(\backslash frac\{0\}\{\backslash sqrt\{5\}\backslash cdot\; \backslash sqrt\{5\}\}\backslash right)=90^\backslash circ$

Der Winkel zwischen den beiden Geraden beträgt $\phi ={90}^{\circ }\backslash varphi\; =90^\backslash circ$.