Aufgaben zu Bruchgleichungen - lernen mit Serlo!

Löse folgende Bruchgleichungen:

(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)

$\dfrac2{x-3}=\dfrac3{x-1}$ mit der Definitionsmenge $D=\mathbb Q \backslash\{1{,}3\}$ .

$\dfrac2{5x+15}=\dfrac1{10}$

Mit der Definitionsmenge $D=\mathbb Q\backslash \{-3\}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen

Lösen der Bruchgleichung

Es handelt sich hier um eine Bruchgleichung, also wende dein Wissen zur Lösung von Bruchgleichungen an.

Ziel ist es die Gleichung Bruchtermfrei zu machen.Dazu benutzt du die Hauptnenner-Methode.

Hauptnenner finden

Suche zunächst nach dem Hauptnenner.

Dazu schaust du dir beide Terme der Gleichung an. Der Nenner von $\dfrac{1}{10}$ ist $10$ und der Nenner von $\dfrac2{5x+15}$ ist $5x+15$ .

Man bekommt die faktorisierten Bausteine:

$[10]\ \ \ \ \ \ \ \ \ =[2]\cdot[5]$
$[5x+15]=\ \ \ \ [5]\cdot[x+3]$

Der Baustein $5$ kommt zweimal vor, für die Bildung des Hauptnenners braucht man es nur einmal. Alle anderen Bausteine kommen nur einmal vor.

Es ergibt sich für den Hauptnenner:

$[2]\cdot[5]\cdot[x+3]=10(x+3)$

Brüche auf Hauptnenner erweitern

Zweiter Schritt der Hauptnenner-Methode ist es die Bruchterme so zu erweitern, dass der Hauptnenner im Nenner steht.

$\displaystyle \frac{2}{5x+15}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{5\left(x+3\right)}\cdot\frac{2}{3}$
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{10\left(x+3\right)}$

\displaystyle \frac{1}{10}\cdot\frac{x+3}{x+3}

=

\displaystyle \frac{x+3}{10\left(x+3\right)}

Gleichung bruchtermfrei machen

Nun kannst du mit dem Hauptnenner die Gleichung multiplizieren. So bekommst du eine bruchtermfreie Gleichung.

$\displaystyle \frac{2}{5x+15}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{10}$
	↓	Auf den Hauptnenner $10(x+3)$ erweitern.
$\displaystyle \frac{4}{10\left(x+3\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{x+3}{10\left(x+3\right)}$	$\displaystyle \cdot10\left(x+3\right)$
	↓	mit dem Hauptnenner multiplizieren
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle x+3$

Bruchtermfreie Gleichung lösen

Du hast die Bruchgleichung in eine äquivalente lineare Gleichung umgeformt. Diese kannst du nun mit deinem Vorwissen lösen.

$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle x+3$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

$1$ ist in der Definitionsmenge enthalten, also ist die Lösungsmenge $\mathbb L=\{1\}$ .

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$\dfrac{3x^2}{x-1}-3x=\dfrac1{x-1}+2$ mit der Definitionsmenge $D=\mathbb Q\backslash \{1\}$ .

$\dfrac5{2x+6}-\dfrac{1-0{,}25x^2}{x^2+3x}=\dfrac14$ mit der Definitionsmenge $D=\mathbb Q\backslash\{-3{,}0\}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen

Bruchgleichungen

Es handelt sich hier um eine Bruchgleichung, also wende dein Wissen zur Lösung von Bruchgleichungen an.

Bestimme zunächst den Hauptnenner. Schaue dir dafür explizit jeden Nenner einzeln an und faktorisiere falls möglich:

$2x+6=2(x+3)$
$x^2+3x=x(x+3)$
$4=2\cdot2$

Aus den Faktoren ergibt sich für den Hauptnenner: $4x(x+3)$ .

Es folgt:

$\displaystyle \frac{5}{2x+6}-\frac{1-0{,}25x^2}{x^2+3x}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}$
	↓	Im $1$ . Bruch den Faktor $2$ und im $2$ . Bruch $x$ ausklammern.
$\displaystyle \frac{5}{2\left(x+3\right)}-\frac{1-0{,}25x^2}{x\left(x+3\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}$
	↓	Auf den Hauptnenner $4x\left(x+3\right)$ erweitern.
$\displaystyle \frac{5}{2\left(x+3\right)}\cdot\frac{2x}{2x}-\frac{1-0{,}25x^2}{x\left(x+3\right)}\cdot\frac{4}{4}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\frac{x\left(x+3\right)}{x\left(x+3\right)}$
	↓	Vereinfache
$\displaystyle \frac{10x}{4x\left(x+3\right)}-\frac{4-x^2}{4x\left(x+3\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{x\left(x+3\right)}{4x\left(x+3\right)}$	$\displaystyle \cdot4x\left(x+3\right)$
	↓	Mit dem Hauptnenner multiplizieren.
$\displaystyle 10x-4+x^2$	$=$	$\displaystyle x^2+3x$	$\displaystyle -x^2\ -3x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 7x-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle 7x$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle :7$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{7}$

$\dfrac47$ ist in der Definitionsmenge enthalten und somit eine Lösung der Gleichung. Also ist die Lösungsmenge $\mathbb L=\left\{\dfrac47\right\}.$

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$\displaystyle \frac{2}{x-3}$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{x-1}$
	↓	Erweitere beide Brüche auf den Hauptnenner $(x-3)(x-1)$
$\displaystyle \frac{2(x-1)}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{3\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}$	$\displaystyle \cdot\left(x-3\right)\left(x-1\right)$
	↓	Multipliziere die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner
$\displaystyle 2\left(x-1\right)_{ }$	$=$	$\displaystyle 3\left(x-3\right)$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
$\displaystyle 2x-2$	$=$	$\displaystyle 3x-9$	$\displaystyle -2x\ +9$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 7$

$\displaystyle \frac{3x^2}{x-1}-3x$	$=$	$\displaystyle \frac{3x^2}{x-1}-\frac{3x\left(x-1\right)}{x-1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{3x^2}{x-1}-\frac{3x^2-3x}{x-1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{3x}{x-1}$

$\displaystyle \frac{1}{x-1}+2$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x-1}+\frac{2\left(x-1\right)}{x-1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x-1}+\frac{2x-2}{x-1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{2x-1}{x-1}$

$\displaystyle \frac{3x^2}{x-1}-3x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x-1}+2$
	↓	Auf den Hauptnenner $(x-1)$ erweitern und vereinfachen (siehe oben).
$\displaystyle \frac{3x}{x-1}$	$=$	$\displaystyle \frac{2x-1}{x-1}$
	↓	Mit dem Hauptnenner $(x-1)$ multiplizieren.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle 2x-1$	$\displaystyle -2x$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1$

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Hauptnenner finden

Brüche auf Hauptnenner erweitern

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