Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat
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[https://youtu.be/_oPbMylE11A]
Bestimmung des Flächeninhalts und Umfangs eines Quadrates. Gegeben:
Flächeninhalt des hellgrauen Dreiecks: A D r e i e c k = 144 [ c m 2 ]
Aus der Skizze: Höhe des hellgrauen Dreiecks h = 12 [ c m ]
Aus der Skizze: Seitenlänge eines der Seiten des weißen Dreiecks b = 40 [ c m ]
Gesucht: Flächeninhalt und Umfang des dunkelgrauen Quadrats
Vorüberlegung Um den Flächeninhalt und den Umfang des Quadrats zu berechnen, musst du zunächst die Seitenlänge a des Quadrats bestimmen.
Um a wiederum zu bestimmen, kannst du das weiße Dreieck benutzen. In diesem rechtwinkligen Dreieck ist die Seitenlänge b gegeben, aber g wiederum nicht.
g kann jedoch bestimmt werden, wenn du das hellgraue Dreieck genauer betrachtest (siehe obige Skizze).
Die Grundseite g des hellgrauen Dreiecks bestimmen Berechne g , indem du den Flächeninhalt des hellgrauen Dreiecks A D r e i e c k und dessen Höhe h verwendest (siehe obige Skizze).
Die Formel für den Flächeninhalt lautet:
⇒ g = 2 ⋅ A D r e i e c k h = 2 ⋅ 144 c m 2 12 c m = 2 ⋅ 12 ⋅ 12 c m 2 12 c m
(Alternativ kannst du auch A = 144 und h = 12 sofort einsetzen und dann g berechnen. Das geht etwas einfacher.)
Die Seite a des Quadrats bestimmen Um a zu bestimmen, benutze das weiße Dreieck. In diesem Dreieck sind nämlich die Seitenlängen b und g nun gegeben, und du kannst die Seitenlänge a mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen (siehe obige Skizze):
Nun setze die Längen für b und g ein.
( 40 c m ) 2 = a 2 + ( 24 c m ) 2 I− ( 24 c m ) 2
(Das ist bereits der Flächeninhalt des Quadrats. Er wird unten nur zur Sicherheit noch einmal ausführlich berechnet.)
Da a eine Länge ist, ist nur die positive Lösung sinnvoll.
Den Flächeninhalt des Quadrats bestimmen A Q u a d r a t = a ⋅ a = 32 c m ⋅ 32 c m = 1024 c m 2
Den Umfang des Quadrats bestimmen U Q u a d r a t = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 32 c m = 128 c m