Teil B, Gruppe 3

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Die Händler A, B, C und D beliefern eine Nudelfabrik mit insgesamt 48 700 Eiern.

Händler B liefert 4600 Eier mehr als Händler A. Händler C liefert doppelt so viele Eier wie Händler B. Händler D bringt 4100 Eier.

Wie viele Eier liefert jeder Händler an?

Löse mithilfe einer Gleichung. (4 Punkte)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen aufstellen

Videolösung

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[https://youtu.be/XLPO7KlnXSM]

Lösung mit mehreren Unbekannten

In dieser Aufgabe musst du eine passende Gleichung aus der Sachaufgabe aufstellen und lösen. In der Lösung werden folgende Bezeichungen verwendet:

$A$ : Anzahl der gelieferten Eier von Händler A

$B$ : Anzahl der gelieferten Eier von Händler B

$C$ : Anzahl der gelieferten Eier von Händler C

$D$ : Anzahl der gelieferten Eier von Händler D

Folgende Informationen findest du im Text:

Insgesamt wurden 48700 Eier an die Nudelfabrik durch die Händler geliefert $\Rightarrow A+B+C+D = 48700$
Händler B liefert 4600 Eier mehr als Händler A $\Rightarrow B=A+4600$
Händler C liefert doppelt so viel wie Händler B $\Rightarrow C=2B$
Händler D liefert 4100 Eier $\Rightarrow D=4100$

Nun kannst du deine Gleichung aufstellen und nacheinander die Informationen aus dem Text einsetzen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccccccccl}A&+&B&+&C&+&D&=&48700\\A&+&B&+&2B&+&4100&=&48700\\A&+&(A+4600)&+&2\cdot(A+4600)&+&4100&=&48700\end{array}$

Diese Gleichung kannst du zusammenfassen und nach A auflösen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{crll}A+(A+4600)+2\cdot(A+4600)+4100&=&48700\\A+A+4600+2A+9200+4100&=&48700&\\4A+17900&=&48700&|-17900\\4A&=&30800&|:4\\A&=&7700\end{array}$

Nun kennst du die Anzahl der gelieferten Eier von Händler A. Er hat die Nudelfabrik mit 7700 Eiern beliefert. Daraus kannst du nun die Werte für $B$ und $C$ berechnen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}B&=&A+4600\\&=&7700+4600\\&=&12300\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}C&=&2B\\ &=& 2\cdot 12300 \\&=& 24600\end{array}$

Antwort:

Die Händler A, B, C und D haben folgende Anzahl an Eiern an die Nudelfabrik geliefert:

Händler A lieferte 7700 Eier,
Händler B 12300 Eier,
Händler C 24600 Eier und
Händler D 4100 Eier.

Probe:

Um dein Ergebnis zu prüfen, kannst du nachrechnen, ob $A+B+C+D=48700$ stimmt.

$A+B+C+D=7700+12300+24600+4100= 48700 \;\;\checkmark$

Lösung mit x-Ansatz

$x$ bezeichnet die Anzahl der Eier von Händler B

Händler B	$x$
Händler C	$2x$	Händler C liefert doppelt so viele Eier wie Händler B.
Händler A	$x-4600$	Händler B liefert 4600 Eier mehr als Händler A.
Händler D	$4100$	Händler D bringt 4100 Eier.

Summe	$48700$	Die Händler A, B, C und D beliefern eine Nudelfabrik mit insgesamt 48 700 Eiern.

Die Summe der Terme in der zweiten Spalte muss also 48700 ergeben:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}x+(2x)+(x-4600)+4100&=&48700&\\x+2x+x-4600+4100&=&48700&\\4x-500&=&48700&|+500\\4x&=&49200&|:4\\x&=&12300&\end{array}$

Handler B liefert also 12300 Eier.

Händler C liefert doppelt so viele wie Händler B, also 24600 Eier.

Handler A liefert 4600 Eier weniger als Händler B, also 7700 Eier.

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Der Flächeninhalt des hellgrauen Dreiecks beträgt 144 cm².Berechne den Flächeninhalt und den Umfang des dunkelgrauen Quadrats. (4 Punkte)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadrat
Bestimmung des Flächeninhalts und Umfangs eines Quadrates.
Thema dieser Aufgabe ist der Flächeninhalt und Umfang eines Quadrats. In dieser Aufgabe werden aber auch der Flächeninhalt eines Dreiecks und der Satz des Pythagoras gebraucht.
Gegeben:
Flächeninhalt des hellgrauen Dreiecks: $A_{Dreieck}=144\; [cm^2]$
Aus der Skizze: Höhe des hellgrauen Dreiecks $h= 12 \;[cm]$
Aus der Skizze: Seitenlänge eines der Seiten des weißen Dreiecks $b = 40 \; [cm]$
Gesucht: Flächeninhalt und Umfang des dunkelgrauen Quadrats
Vorüberlegung
Um den Flächeninhalt und den Umfang des Quadrats zu berechnen, musst du zunächst die Seitenlänge $a$ des Quadrats bestimmen.
Um $a$ wiederum zu bestimmen, kannst du das weiße Dreieck benutzen. In diesem rechtwinkligen Dreieck ist die Seitenlänge $b$ gegeben, aber $g$ wiederum nicht.
$g$ kann jedoch bestimmt werden, wenn du das hellgraue Dreieck genauer betrachtest (siehe obige Skizze).
Die Grundseite g des hellgrauen Dreiecks bestimmen
Berechne $g$ , indem du den Flächeninhalt des hellgrauen Dreiecks $A_{Dreieck}$ und dessen Höhe $h$ verwendest (siehe obige Skizze).
Die Formel für den Flächeninhalt lautet:
$A_{Dreieck}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$
Multipliziere mit 2.
Dividiere durch h.
$\Rightarrow \displaystyle g=\frac{2 \cdot A_{Dreieck}}{h} = \frac{2 \cdot 144 \; cm^2}{12 \; cm}=\frac{2 \cdot 12 \cdot 12\;cm^2}{12\;cm}$
Kürze durch $12 \;cm$ .
$\Rightarrow g = 2 \cdot 12\;cm = 24 \; cm$
(Alternativ kannst du auch A = 144 und h = 12 sofort einsetzen und dann g berechnen. Das geht etwas einfacher.)
Die Seite a des Quadrats bestimmen
Um $a$ zu bestimmen, benutze das weiße Dreieck. In diesem Dreieck sind nämlich die Seitenlängen $b$ und $g$ nun gegeben, und du kannst die Seitenlänge $a$ mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen (siehe obige Skizze):
$b^2 = a^2 + g^2$
Nun setze die Längen für b und $g$ ein.
$(40\;cm)^2 = a^2 + (24 \; cm)^2$ I $- (24 \;cm)^2$
$a^2= (40\;cm)^2 - (24 \;cm)^2$
Berechne die Quadrate.
$a^2= 1600\;cm^2 - 576 \;cm^2$
Fasse zusammen.
$a^2= 1024 \;cm^2$
(Das ist bereits der Flächeninhalt des Quadrats. Er wird unten nur zur Sicherheit noch einmal ausführlich berechnet.)
Ziehe die Wurzel.
$a_{1{,}2}= \pm\sqrt{1024\;cm^2}$
Da $a$ eine Länge ist, ist nur die positive Lösung sinnvoll.
$a=\sqrt{1024\;cm^2}=\sqrt{32\cdot32\;cm^2}= 32\;cm$
Den Flächeninhalt des Quadrats bestimmen
Der Flächeninhalt eines Quadrats berechnet sich wie folgt:
$A_{Quadrat}= a \cdot a = 32\;cm \cdot 32\;cm = 1024 \; cm^2$
Den Umfang des Quadrats bestimmen
Der Umfang eines Quadrats berechnet sich wie folgt:
$U_{Quadrat} = a + a + a + a = 4 \cdot a = 4 \cdot 32\;cm = 128 \; cm$
Videoerklärung

Aus 1350 kg Äpfeln werden 500 l Apfelsaft hergestellt. (4 Punkte)

Berechne, wie viele kg Äpfel man für 35 l Apfelsaft benötigt.

Ermittle, wie viele Liter Apfelsaft man aus 540 kg Äpfeln herstellen kann.

Videolösung
Teilaufgabe b)
Gesucht: $x$ mit $540 \; kg \;\hat=\; x \;l \;$ Apfelsaft?
Gegeben: $1350 \; kg$ Äpfel $\hat=\;500 \;l$ Apfelsaft
$1350 \; kg$ Äpfel $\hat=\;500 \;l$ Apfelsaft
Dividiere durch 1350.
$\Rightarrow 1 \; kg$ Äpfel $\hat=\;500:1350 \;l$ Apfelsaft
Berechne in einer Nebenrechnung $500 : 1350 \; l$ mit Hilfe der schriftlichen Division oder einem erlaubten Taschenrechner.
$500 : 1350 \; l= 0{,}370\;l$
$\Rightarrow 1 \; kg$ Äpfel $\hat=\;0{,}370 \;l$ Apfelsaft
Multipliziere mit 540.
$\Rightarrow 540 \; kg$ Äpfel $\hat=\;0{,}370 \cdot 540 \;l$ Apfelsaft
Berechne in einer Nebenrechnung $\;0{,}370 \cdot 540 \;l$ mit Hilfe der schriftlichen Multiplikation von Dezimalzahlen oder einem erlaubten Taschenrechner.
$\;0{,}370 \cdot 540 \;l=200 \;l$
$\Rightarrow 540 \; kg$ Äpfel $\hat=\;200\;l$ Apfelsaft
$\Rightarrow$ Aus $540 \;kg$ Äpfeln kannst du $200 \; l$ Apfelsaft herstellen.
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35 l Apfelsaft werden in Flaschen zu je 0,7 l abgefüllt. In eine Getränkekiste passen 12 dieser Flaschen. Gib an, wie viele volle Getränkekisten diese 35 l Apfelsaft ergeben.

Videolösung
Teilaufgabe c)
Gesucht: $35 \; l \; \hat= \; x$ Kisten Apfelsaft?
Gegeben: $0{,}7 \; l \; \hat= \; 1$ Flasche Apfelsaft
Berechne zunächst: $x \; l \; \hat= \; 1$ Kiste Apfelsaft?
In einer Kiste sind $12$ Flaschen Apfelsaft.
$\Rightarrow0{,}7 \; l \; \hat= \; 1$ Flasche Apfelsaft
Multipliziere mit 12.
$\Rightarrow 0{,}7 \cdot 12\; l \; \hat= \; 1$ Kiste Apfelsaft
Berechne in einer Nebenrechnung $0{,}7 \cdot 12\; l$ mit Hilfe der schriftlichen Multiplikation von Dezimalzahlen oder einem erlaubten Taschenrechner.
$0{,}7 \cdot 12\; l = 8{,}4 \;l$
$\Rightarrow 8{,}4\; l \; \hat= \; 1$ Kiste Apfelsaft
$\Rightarrow$ In einer Kiste sind also $8{,}4 \;l$ Apfelsaft.
Gesucht war $35 \; l \; \hat= \; x$ Kisten Apfelsaft?
Berechne in einer Nebenrechnung $35 \; l:8{,}4\;l$ mit Hilfe der schriftlichen Division von Dezimalzahlen oder einem erlaubten Taschenrechner.
$35 \; l:8{,}4\;l=4{,}1\overline6$ Kisten
$\Rightarrow 35 \, l$ Apfelsaft ergeben $4$ volle Kisten Apfelsaft.
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Bild zur Aufgabe
1. Berechne den durchschnittlichen Monatslohn einer Floristin in den drei Ausbildungsjahren.
  
  Videolösung
  Berechnung von Durchschnittswerten und prozentualen Unterschieden
  Thema dieser Aufgabe ist das Auslesen von Daten aus einer Tabelle und das Rechnen mit Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz. Außerdem musst du wissen, wie du einen Durchschnitt berechnest.
  Teilaufgabe a)
  Durchschnitt berechnen
  Aus der Tabelle entnimmst du, dass eine Floristin
  im ersten Ausbildungsjahr 539 Euro,
  im zweiten Ausbildungsjahr 580 Euro und
  im dritten Ausbildungsjahr 642 Euro
  verdient. Den durchschnittlichen Monatslohn (Durchschnitt) bestimmst du, indem du den Monatslohn der drei Ausbildungsjahre zusammenrechnest und durch drei teilst.
  $\displaystyle\frac{539 \; \text{Euro}+580 \; \text{Euro}+642 \; \text{Euro}}{3}=\;\;?$
  Berechne in zwei Nebenrechnungen oder gleich mit einem erlaubten Taschenrechner einmal den Zähler und teile diesen dann durch $3$ .
  Nebenrechnung 1
  $539 \; \text{Euro}+580 \; \text{Euro}+642 \; \text{Euro}=?$
  Nutze die schriftliche Addition von Zahlen oder gleich einen erlaubten Taschenrechner um das Ergebnis zu bestimmen.
  $\;\;\;\;5\;3\;9 \\ + \;5\;8\;0 \\\underline{+ \; 6_14_1 2 } \\ \;\;1\;7\;6\; 1$
  $\Rightarrow 539 \; \text{Euro}+580 \; \text{Euro}+642 \; \text{Euro}=1761\; \text{Euro}$
  Nebenrechnung 2
  $1761 \; \text{Euro} : 3 = ?$
  Nutze die schriftliche Division von Zahlen oder gleich einen erlaubten Taschenrechner um das Ergebnis zu bestimmen.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcr} \;\;\,1\;7\;6\;1 : 3 = 587 \\ - \underline{1\;5} \\ \;\;\;\;\;2\;6 \\ -\underline{\;\;2\;4} \\ \;\;\;\;\;\;\;2\;1 \\ -\;\;\; \underline{\;2\;1} \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\; 0 \end{array}$
  $\Rightarrow 1761 \; \text{Euro} : 3 = 587 \, \text{Euro}$
  Der durchschnittliche Monatslohn einer Floristin ist 587 Euro.
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2. Ermittle, wie viel Prozent ein Bäcker im 2. Ausbildungsjahr mehr verdient als im 1. Ausbildungsjahr.
  
  Videolösung
  Teilaufgabe b)
  Gegeben: Aus der Tabelle entnimmst du, dass ein Bäcker
  im ersten Ausbildungsjahr 470 Euro, und
  im zweiten Ausbildungsjahr 600 Euro
  verdient.
  Gegeben ist also der Grundwert mit G = 470 Euro, da gefragt ist "mehr als im 1. Ausbildungsjahr". Da es darum geht, wie viel mehr verdient wird, ist der Prozentwert W = 130 Euro. Denn du suchst gerade, wie viel Prozent 600 Euro - 470 Euro = 130 Euro von 470 Euro sind.
  Gesucht: Prozentsatz $p$
  Die Formel für die Berechnung von $p$ :
  $p=\frac WG \cdot 100 \,\%=\frac{130\;\text{Euro}}{470\;\text{Euro}}\cdot100\,\%$
  Berechne $p$ in einer Nebenrechnung mit Hilfe der schriftlichen Division oder mit einem erlaubten Taschenrechner (Hier wird nur das Ergebnis angegeben, schaue in den hier verlinkten Artikel, falls du es nochmal üben möchtest):
  $p=\frac{130\;\text{Euro}}{470\;\text{Euro}}\cdot100\,\% =27{,}66 \,\%$
  Runde das Ergebnis am Besten auf 1 Stelle nach dem Komma.
  $\Rightarrow p=27{,}66 \,\% \approx27{,}7\,\%$
  Der Bäcker verdient im zweiten Ausbildungsjahr ca. 27,7 % mehr Monatslohn als im ersten Ausbildungsjahr.
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3. Der Monatslohn eines Friseurs ist im 3. Ausbildungsjahr um 21 % höher als im 2. Ausbildungsjahr. Berechne seinen Monatslohn im 2. Ausbildungsjahr. Runde auf ganze Euro.
  
  Videolösung
  Teilaufgabe c)
  Gegeben: Aus der Tabelle entnimmst du, dass ein Friseur im dritten Ausbildungsjahr 596 Euro verdient. Im dritten Ausbildungsjahr verdient er außerdem 21 % mehr als im zweiten Ausbildungsjahr. Die Überlegungen beziehen sich also auf den Lohn im zweiten Ausbildungsjahr und somit ist dieser der Grundwert, der aber nicht bekannt ist.
  Gegeben ist also der Prozentwert mit W = 596 Euro und der Prozentsatz, allerdings nur indirekt (21% mehr). Das Mehr bedeutet in diesem Fall, dass es 21 % zusätzlich zum Ausgangswert 100 % sind, also p = 100 % + 21 % = 121 %.
  Ges.: Grundwert $G$
  Die Formel für die Berechnung von $G$ :
  $G = \frac{W\cdot 100 \,\%}{p}=\frac{596 \text{ Euro}\cdot 100 \,\%}{121 \,\%}$
  Berechne $G$ in einer Nebenrechnung mit Hilfe der schriftlichen Division von Dezimalzahlen oder mit einem erlaubten Taschenrechner (Hier wird nur das Ergebnis angegeben, schaue in den hier verlinkten Artikel, falls du es nochmal üben möchtest):
  $G =\frac{596 \text{ Euro}\cdot 100 \,\%}{121 \,\%} = 492{,}56 \text{ Euro}$
  Runde noch das Ergebnis.
  $\Rightarrow G=492{,}56\;\text{Euro}\approx493\;\text{Euro}$
  Der Friseur verdient also im zweiten Ausbildungsjahr ca. $493 \;\text{Euro}$ .
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 500~\text{l Apfelsaft}$	$=$	$\displaystyle 1350~\text{kg Äpfel}$	$\displaystyle :500$
$\displaystyle 1350:500~\text{kg Äpfel}$	$=$	$\displaystyle 1~\text{l Apfelsaft}$
	↓	Berechne die Division $1350:500$
$\displaystyle 2{,}7~\text{kg Äpfel}$	$=$	$\displaystyle 1~\text{l Apfelsaft}$
	↓	Multipliziere mit 35.
$\displaystyle 2{,}7\cdot 35~\text{kg Äpfel}$	$=$	$\displaystyle 35~\text{l Apfelsaft}$

Teil B, Gruppe 3

Videolösung

Lösung mit mehreren Unbekannten

Lösung mit x-Ansatz

Bestimmung des Flächeninhalts und Umfangs eines Quadrates.

Vorüberlegung

Die Grundseite g des hellgrauen Dreiecks bestimmen

Die Seite a des Quadrats bestimmen

Den Flächeninhalt des Quadrats bestimmen

Den Umfang des Quadrats bestimmen

Videolösung

Anwendung des Dreisatzes

Teilaufgabe a)

Wende den Dreisatz an:

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Videolösung

Teilaufgabe b)

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Videolösung

Teilaufgabe c)

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Videolösung

Berechnung von Durchschnittswerten und prozentualen Unterschieden

Teilaufgabe a)

Durchschnitt berechnen

Nebenrechnung 1

Nebenrechnung 2

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Videolösung

Teilaufgabe b)

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Videolösung

Teilaufgabe c)

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