Berechnungen mit Sinus und Cosinus

Du sollst $x$ und $y$ durch $a$ und $\alpha$ ausdrücken. Dafür kannst du die Formeln für Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck nutzen:

$\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$ und

$\cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

Du kannst die gegebenen Bezeichungen in die Formeln einsetzen und jeweils nach $x$ und $y$ auflösen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}\sin(\alpha)&=&\displaystyle\frac{y}{a} &\vert \cdot a \\ y&=&\sin(\alpha)\cdot a \end{array}$

und genauso

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\cos(\alpha)&=&\dfrac{x}{a} &\vert\cdot a\\ x&=&\cos(\alpha)\cdot a \end{array}$

Flächeninhalt der Raute

Die Raute besteht aus vier gleich großen Dreiecken mit Grundseite $x$ und Höhe $y$. Also kann man für den Flächeninhalt der Raute den Flächeninhalt des Dreiecks mit $4$ multiplizieren.

Nun kannst du $x$ und $y$ durch die Terme ersetzen, die du oben gefunden hast.

Damit hast du den Term erhalten, der in der Aufgabenstellung gegeben ist.

Du sollst den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnen. Dazu musst du die Grundseite mit der Höhe multiplizieren. Die Höhe kennst du noch nicht.

Du weißt allerdings, dass sie immer senkrecht auf der Grundseite steht. Damit erhältst du ein rechtwinkliges Dreieck mit dem lilanen Winkel $2\alpha$, der Hypotenuse $a$ (die gegenüber des rechten Winkels liegende Rautenseite) und als Gegenkathete die gesuchte Höhe $h$.

Das heißt, du kannst wieder den Sinus verwenden.

Nach $h$ umgestellt ergibt sich:

Nun kannst du den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnen:

Als nächstes kannst du die beiden Varianten aus a) und b), den Flächeninhalt zu berechnen gleich setzen und nach $\sin(2\alpha)$ umstellen.

Jetzt hast du die gewünschte Gleichung erhalten und du bist fertig.