Um ein Viereck zu erhalten, dass sicher keinen Umkreis besitzt, zeichnest du als erstes einen Kreis. Auf diesen Kreis setzt du drei deiner Punkte (hier die Punkte $A$, $B$ und $C$) und den vierten Punkt (hier $D$) wählst du irgendwo außerhalb oder innerhalb des Kreises. So gibt es garantiert keinen Kreis, der durch diese vier Punkte geht und damit hat das Viereck aus diesen Punkten auch keinen Umkreis.

Du kannst jedes Viereck mit zwei gegenüberliegenden rechten Winkeln in zwei rechtwinklige Dreiecke mit der selben Grundlinie teilen.

Du weißt, dass man bei jedem rechtwinkligen Dreieck einen Thaleskreis mit dem Radius $\frac12 \cdot \text{ Grundlinie}$ durch alle drei Eckpunkte zeichnen kann, wenn der Mittelpunkt auf der Hälfte der Grundlinie liegt.

Dadurch, dass beide rechtwinklige Dreiecke die selbe Grundlinie besitzen, ist der Mittelpunkt und der Radius beider Thaleskreise derselbe. Damit ist es also zweimal der gleiche Kreis. Das heißt es gibt einen Kreis (den Thaleskreis), der gleichzeitig durch alle vier Eckpunkte geht. Also gibt es einen Umkreis.