Gruppe A

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Vereinfachen Sie den Term so weit wie möglich. (2 BE)

$(x+y)^2-(x-y)^2$

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Die Abbildung zeigt eine zur Normalparabel kongruente Parabel mit der Gleichung y=f(x).
1. Geben Sie einen passenden Term f(x) an. (1 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelform
  Funktionsterm einer Parabel
  Um einen Term für $f(x)$ anzugeben, überlegst du dir als erstes die allgemeine Scheitelform einer Parabel: $f(x)=a(x-d)^2+e$ . Nun überlegst du dir den Wert der einzelnen Parameter.
  $a=-1$
  $a$ ist negativ, weil die Parabel nach unten geöffnet ist. $|a|=1$ , da die Öffnung der einer Normalparabel entspricht. Das kann man daran erkennen, dass wenn man vom Scheitel aus eine Einheit nach rechts und eine Einheit nach unten geht, ist man wieder auf der Parabel.
  $d=0$
  Der $x$ -Wert des Scheitels ist $0$ .
  $e=5$
  Der $y$ -Wert des Scheitels ist $5$ .
  Damit erhältst du für $f(x)$ , wenn du die Werte einsetzt:
  $f(x)=-1 \cdot(x-0)^2+5=-x^2+5$
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2. Zeichnen Sie die Gerade g mit der Gleichung y=2- $\frac32$ x in die Abbildung ein. (1 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigungsdreieck
  Graph einer Funktion zeichnen
  Um die Gerade $y=2-\frac32 x$ einzuzeichnen, markierst du dir zuerst den $y$ -Achsenabschnitt auf der $y$ -Achse.
  Hier hat er den Wert $2$ , also liegt der Punkt $Y (0|2)$ auf der Gerade.
  Von dort aus ausgehend, zeichnest du dir ein Steigungsdreieck mit $\Delta y=-3$ und $\Delta x=2$ ein.
  Nun kannst du die Gerade zeichnen.
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3. Beschreiben Sie, wie man rechnerisch die Koordinatender Punkte ermitteln kann, in denen sich die Parabelund die Gerade schneiden. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte
  Gleichsetzung zweier Funktionen
  Um die Koordinaten der Schnittpunkte zwischen Parabel und Gerade zu berechnen, setzt man zuerst die beiden Gleichungen gleich.
  Danach bringt man alle Terme auf eine Seite, sodass auf der anderen Seite $0$ steht und man die Mitternachtsformel zur Lösung der quadratischen Gleichung verwenden kann. Dadurch hat man die $x$ -Werte der Schnittpunkte erhalten.
  Um die zugehörigen $y$ -Werte zu ermitteln, setzt man schließlich in eine der beiden Funktionen (entweder Parabelfunktion oder Geradenfunktion) ein.
  Damit hat man beide Schnittpunkte vollständig ausgerechnet.
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Der im Folgenden als konstant angenommene Flächeninhalt der Wasserfläche des Bodensees beträgt ungefähr 500 Millionen m². Im langjährigen Durchschnitt enthält der See 50 Milliarden m³Wasser. Das nebenstehende Diagramm zeigt vereinfacht für das Jahr 2013 die Abweichungen des Wasserstands des Sees gegenüber dem langjährigen Durchschnitt.

Kreuzen Sie an, in welchem Monat der Wasserstand des Bodensees im Jahr 2013 lautDiagramm am stärksten angestiegen ist. (1 BE)
- Mai
- März
- April
- Juni
- Juli
- August
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung und Steigungswinkel
Steigung am Diagramm ablesen
Um einen Anstieg auszurechnen, ziehst du vom Endwert den Anfangswert ab. Der größte Anstieg ist also in dem Bereich, wo die Differenz zwischen zwei Punkten am größten ist.
Das ist, wie du am Diagramm sehen kannst zwischen dem 1. Mai und dem 1. Juni der Fall. Also ist der Anstieg im Mai am größten.
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Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Wasserinhalt des Sees am 1. Juli 2013 größer als der langjährige Durchschnittswert war. (2 BE)

Geben Sie den Flächeninhalt der Wasserfläche des Bodensees in km² an. (1 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt
Flächeninhalt des Bodensees
Der Flächeinhalt des Bodensees sind $500 \text{ Mio m}^2= 500 \cdot 10^6 \text{ m}^2$ . Ein Kilometer sind $1000$ m , also ist ein Quadratkilometer $\text{km}^2= 1000 \text{ m} \cdot 1000 \text{ m}= 10^6 \text{ m}^2$ . Also sind $500 \cdot 10^6 \text{ m}^2= 500 \text{ km}^2$ .
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Auf einer Informationstafel steht, dass auf der Wasserfläche des Bodensees 2 Milliarden Menschen Platz fänden. Machen Sie diese Aussage plausibel. (1 BE)

2 Milliarden Menschen auf dem Bodensee
Um die Aussage plausibel zu machen, solltest du sie in einen kleineren, vorstellbaren Zusammenhang bringen. Du kannst zum Beispiel ausrechnen, wie viele Menschen dann auf jedem Quadratmeter stehen würde. 2 Milliarden Menschen auf dem Bodensee mit einer Fläche von $500 \text{ Mio m}^2$ bedeutet, dass pro Quadratmeter
$2 \text{ Mrd}: 500 \text{ Mio m}^2 = 2\, 000 \text{ Mio}: 500 \text{ Mio m}^2 = 4$
Menschen stehen würden, was eine realistische Größe ist.
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Ein mit den Ziffernvon 1 bis 6 beschrifteter Laplace-Würfel wird dreimal nacheinandergeworfen. Geben Sie dazu in Worten ein Ereignis an, das die Wahrscheinlichkeit ( $\frac56$ )³ hat. (1 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm
Du würfelst den Würfel drei Mal hintereinander und willst für dein Ereignis eine Wahrscheinlichkeit von $(\frac56)^3=\frac56\cdot \frac56\cdot \frac56$ erhalten. Das heißt du benötigst bei jedem einzelnen Wurf eine Wahrscheinlichkeit von $\frac56$ .
Ein Würfel hat sechs mögliche Ergebnisse, die Zahlen von $1$ bis $6$ . Wenn du eine Wahrscheinlichkeit von $\frac56$ hast, dann kommen fünf dieser Ergebnisse in Frage. Also wäre hier eine Möglichkeit: "Es wird keine $6$ gewürfelt."
Für drei Mal Würfeln wäre es dann beispielsweise: "Man würfelt dreimal und erhält keine $6$ ".
Es muss aber nicht zwingend drei Mal das gleiche Ereignis sein, weil die einzelnen Würfe voneinander unabhängig sind. Möglich wäre auch "Beim ersten Mal wird keine $6$ gewürfelt, beim zweiten Wurf keine $5$ und beim dritten Wurf keine $3$ ."
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Die Abbildung zeigt ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten r, s und t sowie den Innenwinkeln $\alpha$ und $\beta$ .Kreuzen Sie jeweils nur die zutreffenden Aussagen an.
1. Welche Aussage(n) ist (sind) richtig?
  $\displaystyle \sin \alpha = \frac {r}{t}$
  $\displaystyle \tan \alpha = \frac{r}{s}$
  $\displaystyle \cos \beta = \frac{t}{s}$
  $\displaystyle \tan \alpha = \frac {s}{r}$
  
  Überlege dir als erstes, welche der Dreiecksseiten die Hypotenuse, die Gegen- und die Ankathete zu jeweils $\alpha$ und $\beta$ sind.
  Bezüglich $\alpha$ ist $t$ die Hypotenuse, $r$ die Gegenkathete und $s$ die Ankathete.
  Überprüfe nun die Sinus-Formel:
  $\sin\alpha=\displaystyle\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{r}{t}$
  Damit stimmt die angegebene Sinus-Formel.
  Verfahre genauso für die Tangens-Formel:
  $\tan\alpha=\displaystyle\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{r}{s}$
  Also stimmt hier die letzte Formel und die vorletzte nicht.
  Nun noch zu $\beta$ : Hier ist $t$ die Hypotenuse, $s$ die Gegenkathete und $r$ die Ankathete.
  Überprüfe schließlich die Kosinus-Formel:
  $\cos \beta= \displaystyle\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{t}{s}$
  Die Kosinus-Formel ist falsch.
  Also musst du bei der ersten und der letzten Gleichung ein Kreuz setzen.
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2. Welche Aussage(n) ist (sind) richtig?
  $\displaystyle s = \sqrt{t^2 - r^2}$
  $\displaystyle r = \sqrt{s^2 + t^2}$
  $\displaystyle t = \sqrt {r^2 - s^2}$
  $\displaystyle t = \sqrt{s^2 - r^2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
  Der Satz des Pythagoras in diesem Dreieck besagt: $t^2=r^2+s^2$ .
  Löse nun nach den einzelnen Variablen auf:
  $t=\sqrt{r^2+s^2}$ , $r=\sqrt{t^2-s^2}$ und $s=\sqrt{t^2-r^2}$
  Jetzt stellst du durch Vergleichen deiner Formeln mit denen angebotenen fest, dass nur die zweite Formel in der Aufgabenstellung richtig ist.
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Die Abbildung zeigt eines der ersten Windräder Bayerns, das im Jahr 1995 in Schnaitsee (Oberbayern) errichtet wurde.

Schätzen Sie mithilfe der Abbildung Radius und Inhalt der vom Rotor überstrichenen Kreisfläche ab. (2 BE)
Hinweis: Bei einer Abschätzung muss grundsätzlich der Lösungsweg nachvollziehbar sein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeinhalt eines Kreises
Den Flächeinhalt eines Kreises berechnest du mit Hilfe der Formel: $A=\pi r^2$ . Du benötigst hierfür den Radius, was hier der Länge eines Rotorblatts entspricht.
Ein Rotorblatt ist ca. 4 Autolängen lang, was du durch ausmessen feststellen kannst. Du weißt, dass ein Auto ungefähr $4$ m lang ist, also ist das Rotorblatt in etwa $4\cdot 4 = 16$ m lang.
Nun kannst du in die Formel einsetzen. Du darfst für $\pi$ die Zahl $3$ verwenden:
$A=\pi r^2= 3 \cdot (16 \text{ m})^2= 3 \cdot 256 \text{ m}^2 = 768\text{ m}^2$
Also ist die überstrichene Kreisfläche etwa $770 \text{ m}^2$ .
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Für die von einem Windrad erzeugte elektrische Leistung P gilt P=c $\cdot$ A $\cdot$ v³. Dabei ist v die Windgeschwindigkeit, A der Inhalt der vom Rotor überstrichenen Kreisfläche und c eine vom speziellen Windrad abhängige Konstante.
Entscheiden Sie anhand der Formel: Wenn sich die Windgeschwindigkeit verdoppelt, so
- verachtfacht
- verdoppelt
- verdreifacht
- vervierfacht
- versechsfacht
- verneunfacht
Verdopplung der Windgeschwindigkeit
Du willst wissen, was passiert, wenn du die Winkelgeschwindigkeit verdoppelst. Die Winkelgeschwindigkeit steht in der Formel mit einem $v^3$ , also steht auch die doppelte Winkelgeschwindigkeit mit einem hoch $3$ in der Formel: $(2v)^3= 8 \cdot v^3$ . Das entspricht $8$ mal dem ursprünglichen Winkelgeschwindigkeitsterm.
Damit verachtfacht sich die Leistung.
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Lösen Sie die Formel P=c $\cdot$ A $\cdot$ v³nach v auf. (1 BE)

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Bekanntlich besitzt jedes Dreieck einen Umkreis, d. h. einen Kreis, auf dem alle Eckpunkte des Dreiecks liegen.
1. Zeichnen Sie ein Viereck, das offensichtlich keinen Umkreis besitzt. (1 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkreis
  Um ein Viereck zu erhalten, dass sicher keinen Umkreis besitzt, zeichnest du als erstes einen Kreis. Auf diesen Kreis setzt du drei deiner Punkte (hier die Punkte $A$ , $B$ und $C$ ) und den vierten Punkt (hier $D$ ) wählst du irgendwo außerhalb oder innerhalb des Kreises. So gibt es garantiert keinen Kreis, der durch diese vier Punkte geht und damit hat das Viereck aus diesen Punkten auch keinen Umkreis.
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2. Begründen Sie: Jedes Viereck mit zwei gegenüberliegenden rechten Winkeln besitzt einen Umkreis. (2 BE)
  Hinweis: In der Begründung können die Bezeichnungen der abgebildeten Überlegungsfigur verwendet werden.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkreis
  Du kannst jedes Viereck mit zwei gegenüberliegenden rechten Winkeln in zwei rechtwinklige Dreiecke mit der selben Grundlinie teilen.
  Du weißt, dass man bei jedem rechtwinkligen Dreieck einen Thaleskreis mit dem Radius $\frac12 \cdot \text{ Grundlinie}$ durch alle drei Eckpunkte zeichnen kann, wenn der Mittelpunkt auf der Hälfte der Grundlinie liegt.
  Dadurch, dass beide rechtwinklige Dreiecke die selbe Grundlinie besitzen, ist der Mittelpunkt und der Radius beider Thaleskreise derselbe. Damit ist es also zweimal der gleiche Kreis. Das heißt es gibt einen Kreis (den Thaleskreis), der gleichzeitig durch alle vier Eckpunkte geht. Also gibt es einen Umkreis.
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle (x+y)^2-(x-y)^2$	$=$	$\displaystyle x^2+2xy+y^2-(x^2-2xy+y^2)$
	↓	Löse nun die Klammer auf.
	$=$	$\displaystyle x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2$
	↓	Nun kannst du die Summanden zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle 4xy$

$\displaystyle PS\cdot GW$	$=$	$\displaystyle PW$
	↓	Stelle sie nach dem Prozentsatz um und setze die Größen ein.
$\displaystyle PS$	$=$	$\displaystyle \frac{PW}{GW}$
	↓	Wandle Millionen und Milliarden in 10er-Potenzen um.
	$=$	$\displaystyle \frac{500\ Mio\ m^3}{50\ Mrd\ m^3}$
	$=$	$\displaystyle \frac{500\cdot10^6\ m^3}{50\cdot10^9\ m^3}$
	↓	Kürze den Bruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{100}{10\cdot10^3}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{100}$
	$=$	$\displaystyle 1\%$

$\displaystyle P$	$=$	$\displaystyle c\cdot A\cdot v^3$
	↓	Isoliere $v$ , indem du durch $c$ und $A$ teilst.
$\displaystyle v^3$	$=$	$\displaystyle \frac{P}{c\cdot A}$
	↓	Ziehe die dritte Wurzel.
$\displaystyle v$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{\frac{P}{c\cdot A}}$

Gruppe A

Funktionsterm einer Parabel

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Graph einer Funktion zeichnen

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Gleichsetzung zweier Funktionen

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Steigung am Diagramm ablesen

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Prozentuale Abweichung des Wasserspiegels

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Flächeninhalt des Bodensees

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2 Milliarden Menschen auf dem Bodensee

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Verdopplung der Windgeschwindigkeit

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