Gemischte Aufgaben zur Ableitung

f (x) = \frac{x^{3} - 2 x}{70}

Welche der folgenden Umformungen sind richtig?
- $f (x) = \frac{1}{70} \cdot x^{3} - \frac{1}{70} \cdot 2 x$
- $f (x) = \frac{1}{70} \cdot (x^{3} - 2 x)$
- $f (x) = \frac{1}{70} \cdot x^{3} - 2 x$
$f (x)$ $=$ $\frac{x^{3} - 2 x}{70}$
↓
Ziehe den Bruch vor.
$=$ $\frac{1}{70} \cdot (x^{3} - 2 x)$
Die Umformung zu $f (x) = \frac{1}{70} \cdot (x^{3} - 2 x)$ ist also richtig.
Wenn du nun noch die Klammer auflöst, bekommst du eine weitere Umformung, die als Antwortoption zur Auswahl stand.
$f (x)$ $=$ $\frac{x^{3} - 2 x}{70}$
↓
Ziehe den Bruch vor.
$=$ $\frac{1}{70} \cdot (x^{3} - 2 x)$
$=$ $\frac{1}{70} \cdot x^{3} - \frac{1}{70} \cdot 2 x$
Die Antwort $f (x) = \frac{1}{70} x^{3} - \frac{1}{70} \cdot 2 x$ ist also auch richtig.
Die andere Umformung $f (x) = \frac{1}{70} \cdot x^{3} - 2 x$ ist aber falsch. Hier wurde die Klammer vergessen.
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Beachte: im Nenner von $f$ kommt kein $x$ vor! Um $f$ später gut ableiten oder integrieren zu können, bietet es sich an $f$ "bruchfrei" umzuschreiben. Das machst du, indem du die $70$ als Kehrwert vor den Zähler schreibst.
Wichtig: Vergiss die Klammer nicht, da im Zähler des Bruchs nicht nur eine Zahl, sondern der Term $x^{3} - 2 x$ steht.
Leite die Funktion $f$ ab.

Du brauchst hier die Faktorregel und Summenregel .
Lösungsvorschlag 1
$f (x) = \frac{1}{70} x^{3} - \frac{1}{70} \cdot 2 x$
Leite ab.
$f^{'} (x)$ $=$ $\frac{3}{70} x^{2} - \frac{2}{70}$
↓
Kürze den Bruch $\frac{2}{70}$ .
$=$ $\frac{3}{70} x^{2} - \frac{1}{35}$
Lösungsvorschlag 2
$f (x) = \frac{1}{70} (x^{3} - 2 x)$
Leite ab.
$f^{'} (x)$ $=$ $\frac{1}{70} (3 x^{2} - 2)$
$=$ $\frac{3}{70} x^{2} - \frac{2}{70}$
↓
Kürze den Bruch $\frac{2}{70}$ .
$=$ $\frac{3}{70} x^{2} - \frac{1}{35}$
Die Ableitung von $f (x)$ ist $f^{'} (x) = \frac{3}{70} x^{2} - \frac{1}{35}$ .
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$f (x)$	$=$	$\frac{x^{3} - 2 x}{70}$
	↓	Ziehe den Bruch vor.
	$=$	$\frac{1}{70} \cdot (x^{3} - 2 x)$

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{3}{70} x^{2} - \frac{2}{70}$
	↓	Kürze den Bruch $\frac{2}{70}$ .
	$=$	$\frac{3}{70} x^{2} - \frac{1}{35}$

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{1}{70} (3 x^{2} - 2)$
	$=$	$\frac{3}{70} x^{2} - \frac{2}{70}$
	↓	Kürze den Bruch $\frac{2}{70}$ .
	$=$	$\frac{3}{70} x^{2} - \frac{1}{35}$

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Lösungsvorschlag 1

Lösungsvorschlag 2

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