Gemischte Aufgaben zur Ableitung

…

\displaystyle f(x)= \frac{x^3- 2x}{70}

Welche der folgenden Umformungen sind richtig?

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{x^3-2x}{70}$
	↓	Ziehe den Bruch vor.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{70}\cdot\left(x^3-2x\right)$

Die Umformung zu $f(x)=\frac{1}{70}\cdot\left(x^3-2x\right)$ ist also richtig.

Wenn du nun noch die Klammer auflöst, bekommst du eine weitere Umformung, die als Antwortoption zur Auswahl stand.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{x^3-2x}{70}$
	↓	Ziehe den Bruch vor.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{70}\cdot\left(x^3-2x\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{70}\cdot x^3-\frac{1}{70}\cdot2x$

Die Antwort $f(x)=\frac{1}{70}x^3-\frac{1}{70}\cdot2x$ ist also auch richtig.

Die andere Umformung $f(x) =\frac{1}{70} \cdot x^3 - 2x$ ist aber falsch. Hier wurde die Klammer vergessen.

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Beachte: im Nenner von $f$ kommt kein $x$ vor! Um $f$ später gut ableiten oder integrieren zu können, bietet es sich an $f$ "bruchfrei" umzuschreiben. Das machst du, indem du die $70$ als Kehrwert vor den Zähler schreibst.

Wichtig: Vergiss die Klammer nicht, da im Zähler des Bruchs nicht nur eine Zahl, sondern der Term $x^3 -2x$ steht.

Leite die Funktion $f$ ab.

Du brauchst hier die Faktorregel und Summenregel .

Lösungsvorschlag 1

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{70}x^3-\frac{1}{70}\cdot2 x$

Leite ab.

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{70}x^2-\frac{2}{70}$
	↓	Kürze den Bruch $\frac{2}{70}$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{70}x^2-\frac{1}{35}$

Lösungsvorschlag 2

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{70}(x^3-2x)$

Leite ab.

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{70}\left(3x^2-2\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{70}x^2-\frac{2}{70}$
	↓	Kürze den Bruch $\frac{2}{70}$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{70}x^2-\frac{1}{35}$

Die Ableitung von $f(x)$ ist $\displaystyle f'(x)=\frac{3}{70}x^2-\dfrac{1}{35}$ .

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