Ableitung berechnen

Die meisten Funktionen, die in der Schule abgeleitet werden müssen, sind durch Summen, Produkte und Verknüpfungen einiger weniger Funktionen gegeben.

Um Ableitungen erfolgreich zu berechnen genügt es also:

die gegebene Funktion so umzuformen, dass die Ableitungsregeln benutzt werden können,
die Funktion dann passend aufzuspalten,
die Ableitungen der Bestandteile zu kennen und dann
die Ableitungsregeln anzuwenden.

Art der Funktion	Funktion	Ableitung
Potenzfunktionen	$f (x) = x^{n}$ , $n \in ℝ$	$f^{'} (x) = n \cdot x^{n - 1}$
Exponentialfunktionen	$f (x) = e^{x}$ , wobei $e$ die eulersche Zahl ist.	$f^{'} (x) = e^{x}$
Logarithmusfunktion	$f (x) = \ln (x)$	$f^{'} (x) = \frac{1}{x}$
Trigonometrische Funktionen
Sinus	$f (x) = \sin (x)$	$f^{'} (x) = \cos (x)$
Kosinus	$f (x) = \cos (x)$	$f^{'} (x) = - \sin (x)$
Tangens	$f (x) = \tan (x)$	$f^{'} (x) = \frac{1}{{[\cos (x)]}^{2}} = 1 + \tan^{2} (x)$

Ableitungsregeln

Faktorregel

	Funktion	Ableitung
allgemein	$f (x) = a \cdot u (x), a \in ℝ$	$f^{'} (x) = a \cdot u^{'} (x)$
Beispiel	$f (x) = 2 \cdot x^{4}$	$f^{'} (x) = 2 \cdot 4 x^{3} = 8 x^{3}$

Summenregel

	Funktion	Ableitung
allgemein	$f (x) = u (x) + v (x)$	$f^{'} (x) = u^{'} (x) + v^{'} (x)$
Beispiel	$f (x) = 3 x + x^{2}$	$f^{'} (x) = 3 + 2 x$

Produktregel

	Funktion	Ableitung
allgemein	$f (x) = u (x) \cdot v (x)$	$f^{'} (x) = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x)$
Beispiel	$f (x) = x \cdot \sin (x)$	$f^{'} (x) = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos (x)$

Zum Weiterlesen: Artikel zum Thema Produktregel

Quotientenregel

	Funktion	Ableitung
allgemein	$f (x) = \frac{u (x)}{v (x)}$	$f^{'} (x) = \frac{u^{'} (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v^{'} (x)}{{[v (x)]}^{2}}$
Beispiel	$f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{3}}$	$f^{'} (x) = \frac{2 x \cdot x^{3} - (x^{2} + 1) \cdot 3 x^{2}}{{(x^{3})}^{2}}$

Zum Weiterlesen: Artikel zum Thema Quotientenregel

Kettenregel

	Funktion	Ableitung
allgemein	$f (x) = u (v (x))$	$f^{'} (x) = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)$
Beispiel	$f (x) = \sin (2 x - 1)$	$f^{'} (x) = \cos (2 x - 1) \cdot 2$

Zum Weiterlesen: Artikel zum Thema Kettenregel

Weitere Beispiele

Ableitung von $a^{x}$

Kennt man die Ableitung der e-Funktion, so lässt sich die Ableitung von $f (x) = a^{x}$ mit $a > 0$ leicht über die Kettenregel berechnen.

Nach den Rechenregeln für die Exponentialfunktion gilt nämlich:

f (x) = a^{x} = \underset{u (x)}{\underset{⏟}{e^{\overset{v (x)}{\overset{⏞}{\ln (a) \cdot x}}}}}

mit $u (x) = e^{x}$ und $v (x) = \ln (a) \cdot x$ .

Wendet man nun die Kettenregel an, so ergibt sich:

f^{'} (x) = e^{\ln (a) \cdot x} \cdot \ln (a) = \ln (a) \cdot a^{x}

Ableitung von $x^{x}$

Berechne die Ableitung von $f (x) = x^{x}$ .

Die Funktion $f$ lässt sich nicht direkt mit einer der obigen Ableitungsregeln ableiten, da sie nicht in der benötigten Form ist. Also formen wir zunächst um und zerlegen $f$ dann:

f (x) = e^{\ln (x) \cdot x} = u (v (x))

mit $u (x) = e^{x}$ und $v (x) = \ln (x) \cdot x$ .

Damit lassen sich zuerst die Kettenregel und dann die Produktregel anwenden:

$f^{'} (x)$	$=$	$[u (v (x))]^{'}$
	↓	Wende die Kettenregel an.
	$=$	$u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)$
	↓	Leite nun $u (x) = e^{x}$ und $v (x) = \ln (x) \cdot x$ ab: $u^{'} (x) = e^{x}$ und mit der Produktregel: $v^{'} (x) = \frac{1}{x} \cdot x + \ln (x) \cdot 1 = 1 + \ln (x)$ . Setze die Ableitungen ein.
	$=$	$e^{\ln (x) \cdot x} \cdot (1 + \ln (x))$
	$=$	$x^{x} \cdot (1 + \ln (x))$

Ableitung von $\log_{a} (x)$

Zu einem gegebenen $a > 0, a \neq 1$ wollen wir $f (x) = \log_{a} (x)$ ableiten.

Wieder ist die Strategie den Funktionsterm von $f$ derart umzuformen, dass sich die bekannten Ableitungsregeln anwenden lassen.

Mit den Rechenregeln für Logarithmen erhalten wir:

f (x) = \log_{a} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (a)}

Da $\ln (a)$ eine Zahl ist und unabhängig von $x$ kannst du die Faktorregel anwenden und erhältst: $f^{'} (x) = \frac{1}{x \cdot \ln (a)}$ .

Übungsaufgaben

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Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Gemischte Aufgaben zum Ableiten von Funktionen

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