Die meisten Funktionen, die in der Schule abgeleitet werden müssen, sind durch Summen, Produkte und Verknüpfungen einiger weniger Funktionen gegeben.

Um Ableitungen erfolgreich zu berechnen genügt es also:

  1. die gegebene Funktion so umzuformen, dass die Ableitungsregeln benutzt werden können,
  2. die Funktion dann passend aufzuspalten,
  3. die Ableitungen der Bestandteile zu kennen und dann
  4. stumpf die Ableitungsregeln anzuwenden.

Ableitungen häufig vorkommender Funktionen

Art der Funktion

Funktion

Ableitung

%%f\left(x\right)=x^n ,\; n\in\mathbb{R}%%

%%f'\left(x\right)=n\cdot x^{n-1}%%

%%f\left(x\right)=e^x%%, wobei %%e%% die eulersche Zahl ist.

%%f'\left(x\right)=e^x%%

%%f\left(x\right)=\ln\left(x\right)%%

%%f'\left(x\right)=\frac1x%%

%%f\left(x\right)=\sin\left(x\right)%%

%%f'\left(x\right)=\cos\left(x\right)%%

$$\;$$

%%f\left(x\right)=\cos\left(x\right)%%

%%f'\left(x\right)=-\sin\left(x\right)%%

$$\;$$

%%f\left(x\right)=\tan\left(x\right)%%

%%f'\left(x\right)=\frac1{\left[\cos\left(x\right)\right]^2}=1+\tan^2(x)%%

Ableitungsregeln

Summenregel

%%f\left(x\right)=u\left(x\right)\pm v\left(x\right)%%

%%f'\left(x\right)=u'\left(x\right)\pm v'\left(x\right)%%

%%\;%%

%%f\left(x\right)=3x+x^2%%

%%f'\left(x\right)=3+2x%%

Faktorregel

%%f\left(x\right)=a\cdot u\left(x\right),\;a\in\mathbb{R}%%

%%f'\left(x\right)=a\cdot u'\left(x\right)%%

%%\;%%

%%f\left(x\right)=2\cdot x^4%%

%%f'\left(x\right)=2\cdot4x^3=8x^3%%

%%f\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)%%

%%f'\left(x\right)=u'\left(x\right)\cdot v\left(x\right)+u\left(x\right)\cdot v'\left(x\right)%%

%%\;%%

%%f\left(x\right)=x\cdot\sin\left(x\right)%%

%%f'\left(x\right)=1\cdot\sin\left(x\right)+x\cdot\cos\left(x\right)%%

%%f\left(x\right)=\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}%%

%%f'\left(x\right)=\frac{u'\left(x\right)\cdot v\left(x\right)-u\left(x\right)\cdot v'\left(x\right)}{\left[v\left(x\right)\right]^2}%%

%%\;%%

%%f\left(x\right)=\frac{x^2+1}{x^3}%%

%%f'\left(x\right)=\frac{x^3\cdot2x-\left(x^2+1\right)\cdot3x^2}{\left(x^3\right)^2}%%

%%f\left(x\right)=u\left(v\left(x\right)\right)%%

%%f'\left(x\right)=u'\left(v\left(x\right)\right)\cdot v'\left(x\right)%%

%%\;%%

%%f\left(x\right)=\sin\left(2x-1\right)%%

%%f'\left(x\right)=\cos\left(2x-1\right)\cdot2%%

Weitere Beispiele

Ableitung von %%a^x%%

Kennt man die Ableitung der e-Funktion, so lässt sich die Ableitung von %%f%% gegeben durch %%f(x)=a^x%% mit %%a>0%% leicht über die Kettenregel berechnen.

Nach den Rechenregeln für die Exponentialfunktion gilt nämlich: $$f(x)=a^x=e^{\ln(a)\cdot x}=u(v(x))$$ mit %%u(x)=e^x%% und %%v(x)=\ln(a)\cdot x%%.

Wendet man nun die Kettenregel an, so ergibt sich: $$f'(x)=e^{\ln(a)\cdot x}\cdot \ln(a)=\ln(a)\cdot a^x$$

Ableitung von %%x^x%%

Berechne die Ableitung von %%f%% gegeben durch %%f(x)=x^x%%.

Die Funktion %%f%% lässt sich nicht direkt mit einer der obigen Ableitungsregeln ableiten, da sie nicht in der benötigten Form ist. Also formen wir zunächst um und zerlegen %%f%% dann:

$$f(x)=e^{\ln(x)\cdot x}=u(v(x))$$ mit %%u(x)=e^x%% und %%v(x)=\ln(x) \cdot x%%.

Damit lassen sich zuerst die Kettenregel und dann die Produktregel anwenden: $$f'(x)=[u(v(x))]'=u'(v(x))\cdot v'(x)=e^{\ln(x)\cdot x} \cdot (\ln(x)+1)=x^x\cdot (\ln(x)+1)$$

Ableitung von %%\log_a(x)%%

Zu einem gegebenen %%a>0,\;a\neq1%% wollen wir %%f%%, gegeben durch %%f(x)=\log_a(x)%%, ableiten.

Wieder ist die Strategie den Funktionsterm von %%f%% derart umzuformen, dass sich die bekannten Ableitungsregeln anwenden lassen.

Mit den Rechenregeln für Logarithmen erhalten wir: $$f(x)=\log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}$$

Die Faktorregel liefert uns direkt: %%f'(x)=\frac{1}{x \cdot \ln(a)}%%.

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